DSP基礎(chǔ)--定點(diǎn)小數(shù)運(yùn)算

        在DSP世界中，由于DSP芯片的限制,經(jīng)常使用定點(diǎn)小數(shù)運(yùn)算。所謂定點(diǎn)小數(shù)，實(shí)際上就是用整數(shù)來進(jìn)行小數(shù)運(yùn)算。下面先介紹定點(diǎn)小數(shù)的一些理論知識，然后以C語言為例，介紹一下定點(diǎn)小數(shù)運(yùn)算的方法。在TI C5000 DSP系列中使用16比特為最小的儲存單位，所以我們就用16比特的整數(shù)來進(jìn)行定點(diǎn)小數(shù)運(yùn)算。

        先從整數(shù)開始，16比特的儲存單位最多可以表示0x0000到0xffff，65536種狀態(tài)，如果它表示C語言中的無符號整數(shù)的話，就是從0到65535。如果需要表示負(fù)數(shù)的話，那么最高位就是符號位，而剩下的15位可以表示32768種狀態(tài)。這里可以看出，對于計算機(jī)或者DSP芯片來說，符號并沒有什么特殊的儲存方式，其實(shí)是和數(shù)字一起儲存的。為了使得無論是無符號數(shù)還是符號數(shù)，都可以使用同樣的加法減法規(guī)則，符號數(shù)中的負(fù)數(shù)用正數(shù)的補(bǔ)碼表示。

        我們都知道-1 + 1 =0，而0x0001表示1，那么-1用什么來表示才能使得-1 + 1 =0呢？答案很簡單：0xffff。現(xiàn)在就可以打開Windows的計算器，用16進(jìn)制計算一下0xffff+0x0001，結(jié)果是0x10000。那么0x10000和0x0000等價麼，我們剛才說過用16比特來表達(dá)整數(shù)，最高位的1是第17位，這一位是溢出位，在運(yùn)算寄存器中沒有儲存這一位，所以結(jié)果是低16位，也就是0x0000?，F(xiàn)在我們知道負(fù)數(shù)的表達(dá)方式了。舉個例子：-100。首先我們需要知道100的16進(jìn)制，用計算器轉(zhuǎn)換一下，可以知道是0x0064，那么-100就是0x10000 - 0x0064，用計算器算一下得0xff9c。還有一種簡單的轉(zhuǎn)換符號的方法，就是取反加一：把數(shù)x寫成二進(jìn)制格式，每位0變1，1變0，最后把結(jié)果加1就是-x了。

        好，復(fù)習(xí)了整數(shù)的相關(guān)知識之后，我們進(jìn)入定點(diǎn)小數(shù)運(yùn)算環(huán)節(jié)。所謂定點(diǎn)小數(shù)，就是小數(shù)點(diǎn)的位置是固定的。我們是要用整數(shù)來表示定點(diǎn)小數(shù)，由于小數(shù)點(diǎn)的位置是固定的，所以就沒有必要儲存它（如果儲存了小數(shù)點(diǎn)的位置，那就是浮點(diǎn)數(shù)了）。既然沒有儲存小數(shù)點(diǎn)的位置，那么計算機(jī)當(dāng)然就不知道小數(shù)點(diǎn)的位置，所以這個小數(shù)點(diǎn)的位置是我們寫程序的人自己需要牢記的。

         先以10進(jìn)制為例。如果我們能夠計算12+34=46的話，當(dāng)然也就能夠計算1.2+3.4 或者 0.12+0.34了。所以定點(diǎn)小數(shù)的加減法和整數(shù)的相同，并且和小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)。乘法就不同了。 12*34=408，而1.2*3.4=4.08。這里1.2的小數(shù)點(diǎn)在第1位之前，而4.08的小數(shù)點(diǎn)在第2位之前，小數(shù)點(diǎn)發(fā)生了移動。所以在做乘法的時候，需要對小數(shù)點(diǎn)的位置進(jìn)行調(diào)整？！可是既然我們是做定點(diǎn)小數(shù)運(yùn)算，那就說小數(shù)點(diǎn)的位置不能動！！怎么解決這個矛盾呢，那就是舍棄最低位。 也就說1.2*3.4=4.1，這樣我們就得到正確的定點(diǎn)運(yùn)算的結(jié)果了。所以在做定點(diǎn)小數(shù)運(yùn)算的時候不僅需要牢記小數(shù)點(diǎn)的位置，還需要記住表達(dá)定點(diǎn)小數(shù)的有效位數(shù)。上面這個例子中，有效位數(shù)為2，小數(shù)點(diǎn)之后有一位。

       現(xiàn)在進(jìn)入二進(jìn)制。我們的定點(diǎn)小數(shù)用16位二進(jìn)制表達(dá)，最高位是符號位，那么有效位就是15位。小數(shù)點(diǎn)之后可以有0 - 15位。我們把小數(shù)點(diǎn)之后有n位叫做Qn，例如小數(shù)點(diǎn)之后有12位叫做Q12格式的定點(diǎn)小數(shù)，而Q0就是我們所說的整數(shù)。

       Q12的正數(shù)的最大值是 0 111 . 111111111111，第一個0是符號位，后面的數(shù)都是1，那么這個數(shù)是十進(jìn)制的多少呢，很好運(yùn)算，就是 0x7fff / 2^12 = 7.999755859375。對于Qn格式的定點(diǎn)小數(shù)的表達(dá)的數(shù)值就它的整數(shù)值除以2^n。在計算機(jī)中還是以整數(shù)來運(yùn)算，我們把它想象成實(shí)際所表達(dá)的值的時候，進(jìn)行這個運(yùn)算。

       反過來把一個實(shí)際所要表達(dá)的值x轉(zhuǎn)換Qn型的定點(diǎn)小數(shù)的時候，就是x*2^n了。例如 0.2的Q12型定點(diǎn)小數(shù)為：0.2*2^12 = 819.2，由于這個數(shù)要用整數(shù)儲存， 所以是819 即 0x0333。因?yàn)樯釛壛诵?shù)部分，所以0x0333不是精確的0.2，實(shí)際上它是819/2^12 =0.199951171875。

我們用數(shù)學(xué)表達(dá)式做一下總結(jié)：
x表示實(shí)際的數(shù)（*一個浮點(diǎn)數(shù)）， q表示它的Qn型定點(diǎn)小數(shù)（一個整數(shù)）。
q = (int) (x * 2^n)
x = (float)q/2^n

由以上公式我們可以很快得出定點(diǎn)小數(shù)的+-*/算法：
假設(shè)q1，q2，q3表達(dá)的值分別為x1，x2，x3
q3 = q1 + q2   若 x3 = x1 + x2
q3 = q1 - q2   若 x3 = x1 - x2
q3 = q1 * q2 / 2^n若 x3 = x1 * x2
q3 = q1 * 2^n / q2若 x3 = x1 / x2
我們看到加減法和一般的整數(shù)運(yùn)算相同，而乘除法的時候，為了使得結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)位不移動，對數(shù)值進(jìn)行了移動。
用c語言來寫定點(diǎn)小數(shù)的乘法就是：
short q1,q2,q3;
....
q3=((long q1) * (long q2)) >> n;

由于/ 2^n和* 2^n可以簡單的用移位來計算，所以定點(diǎn)小數(shù)的運(yùn)算比浮點(diǎn)小數(shù)要快得多。下面我們用一個例子來驗(yàn)證一下上面的公式：
用Q12來計算2.1 * 2.2，先把2.1 2.2轉(zhuǎn)換為Q12定點(diǎn)小數(shù)：
2.1 * 2^12 = 8601.6 = 8602
2.2 * 2^12 = 9011.2 = 9011
(8602 * 9011) >> 12 = 18923
18923的實(shí)際值是18923/2^12 = 4.619873046875 和實(shí)際的結(jié)果 4.62相差0.000126953125，對于一般的計算已經(jīng)足夠精確了