預測和負延遲濾波器：你應該知道的五件事

圖3：某些數(shù)據(jù)(藍色)，巴特沃斯響應(粉紅色)和補償(綠色)

我們不必使用相同的函數(shù)H來構(gòu)造補償濾波器。如果兩個傳遞函數(shù)HA和HB都具有整體單位DC增益和相同的DC組延遲值，則H1 =HA(2-HB)也有整體DC增益和零DC組延遲。

特別是，如果HB是T值的純時間延遲(相等于HA的DC組延遲)，我們可以得到FIR實現(xiàn)的漂亮簡化。就T恰好等于N個采樣周期的傳遞函數(shù)來說，我們得到H1 = HA(2-Z^- N)，幾乎所有的數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)都能很容易地實現(xiàn)它，因為Z圖的

這些負值直接作用于單位采樣延遲。而2N+1階的對稱FIR濾波器總能滿足該條件;如果多做點工作，它就可以適應不對稱的情況，其中N不是整數(shù)。

因此，無論我們選擇工作在S域或Z域，我們都可以構(gòu)建零DC組延時的低通傳遞函數(shù)。但我們沒必要在零組延時停止;雖然我們可以很容易地使其為負，我們也在此進入預測域。在采樣系統(tǒng)中，有一個其輸出是輸入信號在下一個采樣時刻可以預測的濾波器，會很方便。換句話說，一個濾波器的DC組延遲是負一個采樣周期。在上面提到的FIR的情況，它簡單得幾乎難以置信。我們只須使用2-z^-(N+1)，而不是2-z^-N的補償函數(shù)。

現(xiàn)在，如果在有能量進入濾波器之前，它就實際輸出了一些能量，那就破壞了因果律。所以包含信息的任何信號不可能以負延遲的形式出現(xiàn)在輸出。但有些信號不包含任何信息——如果一些觀察家對其有心理上的期盼，則無論他們怎么想

——所以當組延遲為負時，就沒有因果關(guān)系可去違反。

這種濾波器的表現(xiàn)如何?

這些功能有個有用的屬性。顯然，對常數(shù)(即DC)輸入，輸出電壓等于輸入，與普通低通濾波器的一樣。但現(xiàn)在當輸入以恒定速率變化時，輸出也可以等于輸入。與“標準”低通傳輸函數(shù)不同，在階梯變化激勵下，濾波器的輸出和輸入信號間沒有“滯后”。我們設(shè)計另外一個例子，并更加仔細地檢驗其屬性。

這次，我們以FIR為例。我們HA的起始濾波器是一個對稱的9階FIR濾波器，(因此有4個采樣周期的恒定組延遲)。這是為陷波60Hz左右有不小變化的AC線頻而設(shè)計的。我會解釋理由，且在以后的Filter Wizard中，明確如何設(shè)計這樣一款“撥空號(dial-a-null)”濾波器，但眼下，我們只是看一看。對于我們的HB，為得到零延遲濾波器，我們使用了4個采樣周期的簡單延遲。這使2-HB看起來像一個系數(shù)為(2，0，0，0，-1)的5階FIR濾波器。級聯(lián)的HAHB做成一款單一FIR濾波器，將兩個Z平面序列卷積在一起，獲得一個13階的濾波器。HA和HAHB的幅度和組延時如圖4所示，這次是用LTspice仿真的。圖中，有相當奇怪的頻率和時間，是因為這個濾波器是按工作在220個采樣/每秒設(shè)計的。再次，我們得到一個凹凸不平的通帶并失去了一些阻帶響應。

現(xiàn)在，我們可以進入預測領(lǐng)域。如果我們把HB‘的延遲設(shè)為5個采樣周期而不是4個，然后重新計算該級聯(lián)(現(xiàn)在是14個階遞)，我們得到的HAHB如圖4(綠色線段)所示。與期望的一樣，現(xiàn)在，你可以看到DC組延遲是負4.5ms左右。

圖4：FIR例子，正延遲和負一個采樣周期的情況

那么這里回報是什么?好，我們看看時間域的行為。三個濾波器的激勵源都是上升又下降的三角形信號。激勵和響應如圖5所示。

圖5：無補償和有補償FIR濾波器對三角波激勵的響應

由最初的低通濾波器HA引起的“滯后”顯而易見。如果你試圖檢測信號通過某些極限點的哪個點，你會清楚地體驗到在檢測響應時的延遲。HAHB線段顯示我們零DC組延遲濾波器的輸出——它具有零延遲!這突顯了對于一般低通濾波器來說極為重要的一個事實：這種濾波器的輸出和輸入之間的斜坡滯后在數(shù)值上等于DC組延遲值。因此，如果我們補償濾波器的設(shè)計，使DC組延遲為零，我們就得以消除滯后。當然，代價總是有的，我們可以看到，在輸入波形斜坡發(fā)生突變后，這種濾波器有些疲于應付。

如果你放大HAHB曲線，你會看到，每個新采樣都正好在輸入斜坡曲線上。預測版本HAHB的輸出值移動到斜坡將在下一個采樣周期開始時該有的那個值，我猜，會與我們預測的一樣。

這種濾波器可在哪里派上用場?

有許多工業(yè)監(jiān)測應用，其“正常”行為意味著信號穩(wěn)定(但嘈雜，信號可以是溫度、壓力、物理結(jié)構(gòu)內(nèi)的應力等)。 所謂“異常”行為，是指一些被測的系統(tǒng)參數(shù)變得不可控，并不按規(guī)矩“出牌”。

在反饋路徑需要濾波的控制系統(tǒng)，這種零延遲類型的濾波器很有用。消除很低頻率下的組延時，可以顯著增加抑制這些頻率上某些感知行為的控制回路的功效。工程師習慣于操控系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零以強迫實施所需的回路行為，這正是我們在此以更具分析的意蘊所做的。我們的傳遞函數(shù)算法生成取消極點DC組延遲特性的零。我已經(jīng)說過，不是嗎!

這種零或負延遲濾波器通常還用來處理非電子信號。例如，如果一種金融工具(如股票)的價格被認為呈斜坡線性變化，但該斜坡被短期交易噪聲破壞，零延遲濾波器就可用于有效地提取基本行為。雖然，如圖5所示，當三角形改變方向時，你可以從濾波器的行為進行推斷，但一段時間內(nèi)，這種濾波器會給出極不準確的結(jié)果，直到價格行為再次按平穩(wěn)的斜坡變化。圖3的神秘數(shù)據(jù)，事實上是個股票價值序列。

這些金融工具的交易員實際上對其價格數(shù)據(jù)序列使用了一些相當復雜的濾波流程。我常常被告知，若電子市場股價暴跌，在金融部門，濾波器向?qū)Э隙〞蟹莨ぷ?，用來從巨大的價格數(shù)據(jù)集中梳理出有趣信號。但讓我們繞過暗礁險灘，戴上安全的堅固工程的護身符，并重回正軌!

諸如此類的延遲操控可以大有作為的一個工程應用是補償數(shù)字D類放大器的電源電壓變化。對于給定的分度：間隙因數(shù)由輸出開關(guān)輸出，其放大器的平均輸出電壓與電源電壓成正比——即，它沒有電源抑制。當人們似乎不想在消費類音頻設(shè)備的電源上下大本錢的時候，這并非好事。