基于全相位幅頻特性補償?shù)腇IR濾波器設計

相比于圖3：圖4(a)的子濾波器1、2的傳輸曲線分別往右和往左移動了0．25個△ω。圖4(b)是將兩子濾波器復合疊加的結果：可發(fā)現(xiàn)其低頻區(qū)域凹下一塊，這就是說，復合后的濾波器不具備低通特性，因而需用全相位補償法予以解決。
借助計算機輔助設計可得到G'(ejω)在ω=0和2π／N處的值，令a=|G(ej0)|，b=|G(ej2π/N)|，設置一頻率向量Hc=[1一al一b 0 0 00 0 0 O O O 0 0 0 0 1―b]T，利用Hc采用全相位設計可構造出一補償濾波器：圖5(a)為在加kaiser(N，1)窗與矩形窗卷積形成的單窗下而得到的補償濾波器hc的幅頻曲線，圖5(b)為補償后的濾波器g的幅頻曲線。很明顯，補償后的幅頻曲線消除了低頻區(qū)的凹口，獲得了平坦特性。
由于補償后的濾波器系數(shù)由兩個子濾波器系數(shù)h1'、h2'和補償濾波器hc疊加而來，從而有：

圖5(b)中的邊界頻率為：ωl=2．75△ω，ω2=3．089△ω，ω3=3．75△ω。相比于圖2，都精確地平移0．25個△ω。
由于hl’、h2’系數(shù)互為共軛，且補償濾波器hc的系數(shù)也為實數(shù)，因而濾波器g的系數(shù)也為實數(shù)。

4 全相位補償法下的其他類型濾波器設計
除設計低通濾波器外，采用這種補償?shù)姆椒稍O計任意類型的FIR濾波器，大致都可分為如下步驟：(1)從偶對稱的頻率向量H衍生出兩個互為對稱的向量Hl、H2(2)利用H1、H2按照全相位濾波器設計步驟設計出兩個子濾波器h1，h2(也可形成子濾波器對)。(3)再將子濾波器hl，h2分別乘以互為共軛的相移向量vl、v2，令相移后的子濾波器分別為h1’、h2'。(4)將濾波器h1’、h2’進行復合而得到g'，其對應的幅頻函數(shù)為G'(ejω)。(5)借助于計算機輔助設計，得出G'(ejω)在需要補償?shù)膋△ω頻率點處的值。(6)根據(jù)補償頻率點處的G'(ejω)值構造出補償頻率響應向量Hc，并根據(jù)Hc選擇適當?shù)膯未皹嬙斐鲅a償濾波器hc。(7)將h1'、h2'、hc進行復合疊加得到最后的濾波器g。
各種類型濾波器的構造區(qū)別僅在于步驟(1)的頻率向量的衍生方式、步驟(4)的復合方式及步驟(5)補償頻率點的選擇位置有所不同。由于篇幅所限，對各類型只作簡單描述：
4．1 高通濾波器的設計
將步驟(1)的高通頻率向量H用旁補法的衍生方式形成兩個對稱的頻率向量H1、H2，然后利用幅頻曲線的高頻區(qū)域的幅頻值構造補償濾波器hc，再根據(jù)式(10)得到最后的高通濾波器系數(shù)。
4．2 帶通濾波器的設計
其基本思想是采用兩個截止頻率不同的低通濾波器系數(shù)相減的方法得到帶通濾波器。由于每個低通濾波器可分成2個頻率向量，因此需要分解成4個單邊帶的頻率向量。以N=32為例，設兩個低通頻率向量分別為：

由Ha、Hb可分別分裂成兩個頻率向量，從而可得到四個單邊帶的頻率向量：

設定兩個頻移參數(shù)λ1、λ2，使得Ha1、Ha2對應的濾波器傳遞曲線朝互為相反的方向各自移動λ1個2π/N(rad／s)，而Hb1、Hb2對應的濾波器傳遞曲線朝互為相反的方向各自移動λ2個2π／N(rad／s)，假設平移后四個單邊帶頻率向量對應的濾波器系數(shù)為ha1'、ha2'、hb1'、hb2'，則復合后的帶通濾波器系數(shù)可表述為：

由于ha1、ha2、Hb1、Hb2都對應低通傳輸特性，因此需要補償?shù)念l率點位置也出現(xiàn)在低頻區(qū)，采用3．1旁補法即可得到補償濾波器hc。再按照步驟(7)即可得到最后的帶通濾波器g。
可見，通過設置頻移參數(shù)λ1、λ2就可靈活調整帶通濾波器的頻帶位置及其帶寬，因而控制了邊界頻率。