變形耦合發(fā)電機混沌系統(tǒng)的追蹤控制研究

0 引 言

混沌系統(tǒng)的控制和同步是當(dāng)前自然科學(xué)基礎(chǔ)研究的熱門課題，它在通信、信息科學(xué)、醫(yī)學(xué)、生物、工程等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，各種控制和同步方法也應(yīng)運而生。在混沌控制研究中，追蹤問題是研究的一個熱點。追蹤問題即通過施加控制使受控系統(tǒng)的輸出信號達到事先給定的參考信號，更具有一般性。特別是，如果追蹤的參考信號是由混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的，這種追蹤控制便演化成為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步，它包括自同步和異結(jié)構(gòu)同步，這方面的工作已經(jīng)有了許多研究。電網(wǎng)之間的互聯(lián)是現(xiàn)代電力系統(tǒng)發(fā)展的必然趨勢，它將使電網(wǎng)的發(fā)電和輸電變得更經(jīng)濟、更高效。與此同時，電力系統(tǒng)運行的穩(wěn)定性受到前所未有的挑戰(zhàn)。隨著分岔、混沌理論在電力系統(tǒng)非線性動力學(xué)行為研究中的應(yīng)用，人們發(fā)現(xiàn)電力系統(tǒng)中除了低頻振蕩外，還存在混沌振蕩。這種振蕩不僅對系統(tǒng)的穩(wěn)定具有極強的破壞力，而且不能依靠附加傳統(tǒng)的勵磁控制器來抑制或消除。自20世紀(jì)90年代以來，國內(nèi)外許多研究人員對電力系統(tǒng)的分岔、混沌振蕩產(chǎn)生機理進行了充分、有益的探討，但對電力系統(tǒng)混沌控制方法的研究尚屬少見。在此針對變形耦合發(fā)電機昆沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點，并基于非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，設(shè)計了一個統(tǒng)一形式的非線性追蹤控制器，可以實現(xiàn)變形耦合發(fā)電機系統(tǒng)的狀態(tài)變量與任意給定參考信號的廣義同步。該控制器簡單、易于實現(xiàn)。

1 系統(tǒng)模型

耦合發(fā)電機系統(tǒng)由一個具有混沌特征的三維自治方程組來描述，它是由連接在一起的2臺發(fā)電機組成，其中任何一臺發(fā)電機都處于另一臺發(fā)電機產(chǎn)生的電流所形成的磁場之中。文獻在基于耦合發(fā)電機系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，給出了變形耦合發(fā)電機系統(tǒng)：

式(1)中，u和a是正的控制參數(shù)，當(dāng)u=2和a=1時系統(tǒng)出現(xiàn)混沌行為。圖1所示為系統(tǒng)1的典型混沌吸引子。由圖可見，系統(tǒng)1的混沌吸引子除具有低維混沌吸引子的一般特點外，還具有其獨特之處；吸引子的二維投影具有更復(fù)雜的折疊和拉伸軌線。這說明系統(tǒng)1在局部上比低維混沌系統(tǒng)具有更強的不穩(wěn)定性。這使得對系統(tǒng)1的控制難度大大增加。

2 控制器的設(shè)計

對系統(tǒng)1施加控制，使系統(tǒng)的狀態(tài)變量xi(i=1，2，3)追蹤給定參考信號，受控后的系統(tǒng)方程為：

不論參考信號的形式如何，設(shè)計如下統(tǒng)一形式的控制器：

式中，r1，r2，r3為給定參考信號。

定理 對于受控系統(tǒng)2，當(dāng)采用式(3)所示的控制器時，系統(tǒng)狀態(tài)變量xi(i=1，2，3)可以追蹤任意連續(xù)可微的參考信號ri(i=1，2，3)。

證明 設(shè)追蹤誤差變量為ei=xi一ri(i=1，2，3)，結(jié)合式(2)和式(3)，可得追蹤誤差系統(tǒng)為：

式(4)的平衡點為(0，O，O)。由式(4)可知，誤差變量的零點即為誤差系統(tǒng)的平衡點。式(4)在平衡點處的Ja—cobian陣為：

特征方程為：(λ+u)(λ+u)(λ+1)=O，可解得矩陣J的特征根為λ1=一u，λ2=一u，λ2=一l，由于參數(shù)“為正，所以矩陣J的所有特征根均為負(fù)數(shù)。由非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，誤差系統(tǒng)的零解漸近穩(wěn)定。即lim|ei|=0。

3 數(shù)值仿真

3．1 追蹤常值信號

系統(tǒng)1有5個平衡點，分別為S0(0，0，0)，S1(1．175 6，一1．902 1，一2．236 1)，S2(一1．175 6，1．902 1，一2．236 1)，S3，4(±1．902 1，±1．175 6，2．236 1)。取參考信號為系統(tǒng)平衡點S1，即r1=1．175 6，r2=一1．902 1，r3=一2．236 1。由式(3)得控制器為：

采用四階龍格庫塔法進行數(shù)值仿真，系統(tǒng)2的初值為(0．02，0．006，O．001)，仿真步長為0．01，仿真結(jié)果如圖2所示。由圖可知，系統(tǒng)變量x(t)經(jīng)6 s后追蹤上給定的常值參考信號，廣義同步誤差穩(wěn)定在零值處。

3．2 追蹤周期信號

取參考信號為正弦周期信號r1=sin 4t，r2=cos 2t，r3=sin t，此時控制器為：

同樣采用四階龍格庫塔法進行數(shù)值仿真，系統(tǒng)2的初值為(O．02，O．006，O．001)，仿真步長為0．01，仿真結(jié)果如圖3所示。由圖可知，變量x1(t)，x2(t)和x3(t)在2 s前追蹤上參考信號，而廣義同步誤差e(t)穩(wěn)定在零值附近。

3．3 追蹤混沌信號

Lorenz系統(tǒng)是一個典型的混沌系統(tǒng)，其系統(tǒng)方程為：

系統(tǒng)2的初值為(O．02，0．006，O．001)，Lorenz系統(tǒng)的初值為(O．2，O．07，0．1)，仿真步長為0．01，仿真結(jié)果如圖4所示。由圖可知，變量x1(t)，x2(t)和x3(t)在7 s前追蹤上參考信號，廣義同步誤差e(t)穩(wěn)定在零值處。

4 結(jié) 語

針對變形耦合發(fā)電機混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點，并基于非線性系統(tǒng)的線性化穩(wěn)定理論，設(shè)計了一個統(tǒng)一形式的非線性追蹤控制器。該控制器可以實現(xiàn)變形耦合發(fā)電機系統(tǒng)的狀態(tài)變量與任意給定參考信號的廣義同步，分別以常值信號，周期信號和混沌信號為參考信息進行了數(shù)值仿真，仿真結(jié)果與理論分析一致。設(shè)計的控制器使用范圍很廣，在控制混沌和利用混沌系統(tǒng)進行數(shù)字保密通信方面有很廣的應(yīng)用前景。