系統(tǒng)線性的兩個(gè)條件

1. 背景介紹

在信號(hào)與系統(tǒng)課程中，講解線性系統(tǒng)需要同時(shí)滿足兩個(gè)特性：?一是疊加性。?當(dāng)兩個(gè)輸入信號(hào)x1、x2分別引起輸出y1、y2。?那么x1+x2所引起的系統(tǒng)輸出等于y1+y2；第二個(gè)特性是齊次性，?輸入信號(hào)x1引起系統(tǒng)的輸出為 y1。?對(duì)應(yīng)a倍的x1引起系統(tǒng)輸出是a倍的y1。?這兩個(gè)特性需要分別進(jìn)行驗(yàn)證。

2. 相關(guān)舉例

關(guān)于系統(tǒng)的線性兩個(gè)條件，?在數(shù)學(xué)中的函數(shù)、映射中也有相應(yīng)的討論。?疊加性和齊次性是相互獨(dú)立的兩個(gè)性質(zhì)。?通常情況下， 舉例說明滿足其次關(guān)系的系統(tǒng)，不能滿足疊加性相對(duì)比較容易。?但是舉例說明滿足疊加性的系統(tǒng)，不能滿足齊次性相對(duì)困難。?這主要是常見到的工程應(yīng)用中碰到的系統(tǒng)大體都是實(shí)數(shù)信號(hào)，而且滿足連續(xù)性。?在這種情況下，滿足疊加性的系統(tǒng)往往就能夠滿足齊次性。

根據(jù)維基百科中關(guān)于數(shù)學(xué)中線性的定義，?對(duì)于限定尺度數(shù)字a為有理數(shù)時(shí)，?疊加性意味著線性，并給出了簡(jiǎn)要的證明。?對(duì)于連續(xù)函數(shù)，?可以將比例系數(shù)a放寬到實(shí)數(shù)范圍。?這是根據(jù)有理數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)具有稠密特性來決定的。

One short-of-linear functon: Does f(x+y)=f(x)+f(y) imply f(ax)=af(x)?

Additivity and Homogeneity[1]

https://www.maa.org/sites/default/files/0746834255345.di020786.02p04776.pdf

Additive but not homogeneous continuous system?[2]

https://dsp.stackexchange.com/questions/19522/additive-but-not-homogeneous-continuous-system

Wikipedia article on linear system[3]

http://en.wikipedia.org/wiki/Linearity#In_mathematics

在這篇“課堂膠囊”網(wǎng)文中，作者總結(jié)本科數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出了疊加性與齊次性的討論。并給出了一些反例。如果齊次性的比例系數(shù)放寬到復(fù)數(shù)，作者給出了一個(gè)最常見到的映射關(guān)系。比如T7，取輸入信號(hào)的實(shí)部，它滿足疊加性。如果尺度數(shù)字是復(fù)數(shù)的情況下，這個(gè)映射不滿足其次特性。

在這篇博文中對(duì)滿足疊加性是否預(yù)示著齊次性進(jìn)行了討論。作者構(gòu)造了一個(gè)實(shí)數(shù)域內(nèi)的一個(gè)映射，滿足疊加性但不滿足齊次性。下面我們看一下這個(gè)例子。

定義在有理數(shù)向量空間的一個(gè)映射Q。對(duì)于每一有理數(shù)對(duì)（a,b），它們對(duì)應(yīng)的一個(gè)實(shí)數(shù)a加上b倍的根號(hào)2。經(jīng)過映射后等于有理數(shù)a+b，很容易驗(yàn)證這個(gè)映射在向量空間Q中滿足疊加性。構(gòu)造比例因子alpha，可以驗(yàn)證在alpha尺度下，這個(gè)映射不滿足齊次性。

對(duì)于這個(gè)反例，作者也認(rèn)為存在一定缺陷，比如這個(gè)比例因子不屬于原來向量空間Q，而是屬于向量空間Q，根號(hào)2。這個(gè)例子也說明，構(gòu)建實(shí)數(shù)域內(nèi)的反例不是太容易。

3. 總結(jié)

本文討論了信號(hào)與系統(tǒng)中的線性概念。?在數(shù)學(xué)概念中，線性系統(tǒng)需要同時(shí)滿足疊加性和齊次性。?但在實(shí)際常見到的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中， 都是實(shí)數(shù)信號(hào)，且都滿足連續(xù)性。?所以只要滿足疊加性就可以了。