對(duì)比兩個(gè)具有無(wú)限間斷點(diǎn)信號(hào)的頻譜

今天想到一個(gè)問(wèn)題，  這里有兩個(gè)都帶有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)的信號(hào)。它們都位于 0,1 之間。?第一個(gè)信號(hào)是從 0 開(kāi)始往1前進(jìn)，  每前進(jìn)剩余路程的一半，幅值降低一半。?第二個(gè)信號(hào)是從 0 往 1 前進(jìn)， 每次都前進(jìn)剩余路程的一半。在前進(jìn)的路程中出現(xiàn)一個(gè)寬度為路程長(zhǎng)度一半的矩形脈沖信號(hào)。?根據(jù)傅里葉變換，  這兩個(gè)信號(hào)都不滿足 Dirichlet 條件。那么他們傅里葉變換是什么呢？

圖1.1.1 第一種間斷點(diǎn)函數(shù)

圖1.1.2 第二種間斷點(diǎn)信號(hào)

二、信號(hào)1頻譜

1、頻譜推導(dǎo)

首先求取第一個(gè)型號(hào)的頻譜。?這是它的數(shù)學(xué)表達(dá)式，?對(duì)于級(jí)數(shù)中每一項(xiàng)，??它都表示一個(gè)矩形脈沖，?高度為 2 的 負(fù) n 次方，?起始點(diǎn)為 1 減去 2 的負(fù) n 次方，?終點(diǎn)為 1 減去 2 的負(fù) n 加 1 次方。??寬度為 2 的 負(fù) n 加 1 次方。??寫(xiě)出該脈沖信號(hào)的頻譜。?請(qǐng)注意， 該信號(hào)的中心應(yīng)該位于 1 減去3 倍的 2 的 負(fù)n 減1次方。?

圖1.2.1 級(jí)數(shù)每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的傅里葉變換

對(duì)于原信號(hào)的頻譜， ??就是需要將級(jí)數(shù)每一項(xiàng)的頻譜都加起來(lái)，?這樣便得到信號(hào)的頻譜了。??

下面是整理后的頻譜公式：

圖1.2.2 信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)分解公式

圖2.2 第一個(gè)型號(hào)的幅度譜

2、驗(yàn)證公式

這是最終推導(dǎo)出來(lái)的信號(hào)頻譜公式， 這也是一個(gè)級(jí)數(shù)。?下面通過(guò)離散傅里葉變換來(lái)驗(yàn)證一下這個(gè)公式。

這是通過(guò) Python 編程， 取正負(fù) 10000 之間的頻頻， 采用 10 萬(wàn)個(gè)頻譜數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)行反變換。?計(jì)算頻譜級(jí)數(shù)取 100 級(jí)。?這是計(jì)算出來(lái)的信號(hào)波形。可以看到它與給定的信號(hào)是一致的。?在 0 點(diǎn)有一個(gè)過(guò)沖， ?其余其它間斷點(diǎn)都有過(guò)沖。?據(jù)此，不僅驗(yàn)證了這個(gè)公式的有效性，  而且還可以大致推斷出該公式應(yīng)該是收斂的。

圖1.2.3 第一個(gè)信號(hào)IFFT的結(jié)果

三、信號(hào)2頻譜

1、頻譜推導(dǎo)

對(duì)于第二個(gè)信號(hào)， ?它表述成無(wú)窮級(jí)數(shù)的形式，?其中每一項(xiàng)信號(hào)?對(duì)應(yīng)的高度都是1，?只是他們的寬度和位置不同。??這里給出了信號(hào)所在的區(qū)域的起始位置和其中脈沖的起始和結(jié)束位置。??每一個(gè) 脈沖的頻譜對(duì)應(yīng)的sinc 函數(shù)。將它們疊加起來(lái)形成整個(gè)信號(hào)的頻譜。

圖1.3.1 單個(gè)脈沖的頻譜推導(dǎo)

下面是推導(dǎo)之后的信號(hào)波形：圖片圖片

第二個(gè)信號(hào)的幅度譜

2、驗(yàn)證公式

為了驗(yàn)證這個(gè)公式的正確性， 依然通過(guò)Python編程， 使用離散傅里葉反變換獲得它對(duì)應(yīng)的波形。?取 正負(fù) 10000之內(nèi)的頻譜， 采樣 10 萬(wàn)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)， ?進(jìn)行傅里葉反變換最終得到信號(hào)的是不波形，  這個(gè)結(jié)果初步驗(yàn)證了公式的正確性。?關(guān)于這個(gè)信號(hào)誤差的收斂性，以后再進(jìn)行仿真驗(yàn)證。?左邊是原始信號(hào)波形，  右邊是利用有限頻譜合成的信號(hào)波形。

圖1.3.2 使用有限帶寬獲得信號(hào)的近似波形

本文對(duì)于兩個(gè)具有無(wú)線間斷點(diǎn)信號(hào)的頻譜進(jìn)行了推導(dǎo)，?它們都是無(wú)限級(jí)數(shù)形式，??并使用 離散傅里葉變換進(jìn)行數(shù)值求解，?通過(guò)仿真波形驗(yàn)證了頻譜公式的正確性。?關(guān)于它們頻譜的收斂性， 以后再進(jìn)行討論。

圖2.1 信號(hào)波形及其頻譜

來(lái)源：卓晴，TsinghuaJoking