用導(dǎo)納史密斯圓圖分析RLC元件及實例

了解導(dǎo)納史密斯圓圖，以分析電阻器、電容器和電感器的并聯(lián)連接，并查看電路在掃頻范圍內(nèi)的行為。

由于網(wǎng)絡(luò)分析儀直接在史密斯圓圖上顯示反射系數(shù)數(shù)據(jù)與頻率的關(guān)系，因此熟悉史密斯圓圖以輕松識別RLC組件的組合可以產(chǎn)生顯示的輪廓非常重要。在上一篇文章中，我們使用阻抗史密斯圓圖來檢查串聯(lián)RC、RL和RLC電路的頻率響應(yīng)。史密斯圓圖是電氣工程師菲利普·哈格·史密斯的發(fā)明。

在本文中，我們將推導(dǎo)導(dǎo)納史密斯圓圖，該圖使我們能夠輕松分析電阻器、電容器和電感器的并聯(lián)連接。我們將看到，通過掃頻，并聯(lián)電路的導(dǎo)納在史密斯圓圖上產(chǎn)生了一個輪廓，描述了掃頻范圍內(nèi)的電路行為。

導(dǎo)納史密斯圓圖的建立

串聯(lián)RC、RL和RLC電路的頻率響應(yīng)可以很容易地通過阻抗史密斯圓圖進行分析。從電路理論概念來看，當處理RLC元件的并聯(lián)連接時，使用導(dǎo)納（Y）概念可以簡化計算。以類似的方式，我們可以繪制Γ平面中的導(dǎo)納等值線圖，以分析組件的并聯(lián)連接。這給了我們一個新的史密斯圖，稱為導(dǎo)納史密斯圖。

讓我們看看如何利用我們對阻抗史密斯圓圖的了解來推導(dǎo)導(dǎo)納史密斯圓圖。阻抗史密斯圓圖實際上是Γ平面中z的某些特定值的以下映射函數(shù)的圖：

方程式1

這里z=r+jx是歸一化阻抗。電阻r和電抗x的一些常數(shù)值的上述映射函數(shù)圖為我們提供了阻抗史密斯圓圖，如下圖1所示。

圖1 阻抗史密斯圓圖示例

作為電子工程師，我們知道方程1中參數(shù)z的物理解釋表示電路的阻抗。然而，從數(shù)學(xué)的角度來看，z只是一個復(fù)數(shù)，可以表示任何復(fù)數(shù)參數(shù)。換句話說，有了阻抗史密斯圓圖，我們知道方程1如何將任意復(fù)數(shù)z映射到Γ平面。為了利用這些知識推導(dǎo)Γ平面中的導(dǎo)納輪廓，我們只需要將Γ和導(dǎo)納Y之間的關(guān)系寫成方程1的形式。以阻抗表示的反射系數(shù)方程為：

替換 $Z=\frac{1}{Y}$ 和 $Z_0=\frac{1}{Y_0}$，其中Y0是參考導(dǎo)納，我們得到：

將分子和分母除以Y0，并定義歸一化導(dǎo)納$y=\frac{Y}{Y_0}$，給出了方程式2。

方程式2

注意到y(tǒng)是復(fù)數(shù)（y=g+jb），方程2中的映射函數(shù)與方程1中的映射函數(shù)相同，除了它乘以-1。由于這種代數(shù)變化，通過將阻抗史密斯圓圖旋轉(zhuǎn)180°（因為-1=ejπ），可以獲得Γ平面中的導(dǎo)納輪廓。導(dǎo)納史密斯圓圖如圖2所示。

圖2:導(dǎo)納史密斯圓圖示例

準入史密斯圓圖要點

導(dǎo)納史密斯圓圖提供了Γ平面中歸一化導(dǎo)納y=g+jb的圖，其中g(shù)和b分別表示y的電導(dǎo)和電納。請注意，由于上述180°旋轉(zhuǎn)，圖的上半部分對應(yīng)于b的負值（或負電納）。這是有道理的，因為我們知道電感性阻抗出現(xiàn)在阻抗史密斯圓圖的上半部分，電感性負載也有負電納b。另一方面，導(dǎo)納史密斯圓圖下半部分對應(yīng)于正電納（或電容性組件）。

圖2中的導(dǎo)納史密斯圓圖還顯示了短路（z=0，y=∞，Γ=-1）和開路（z=∞，y=0，Γ=1）負載的位置。請注意，短路和開路負載的位置與阻抗史密斯圓圖的位置一致。這并不奇怪，因為我們只在Γ平面上繪制了一些導(dǎo)納輪廓，這顯然不會改變短路和開路負載的位置。

上圖中的圓圈對應(yīng)于y平面中的恒定電導(dǎo)線g（見圖3）。

圖3 史密斯圓圖中的圓圈對應(yīng)于y平面中的恒定電導(dǎo)線

請注意，對于被動負載，|Γ|不能超過1，我們處理的導(dǎo)納為正電導(dǎo)，g≥0。此外，如圖4所示，導(dǎo)納史密斯圓圖中的弧線對應(yīng)于恒定電納線。

圖4 導(dǎo)納史密斯圓圖中與恒定電納線對應(yīng)的電弧的視覺效果

如您所見，較小的圓形和弧形分別對應(yīng)于較大的電導(dǎo)和電納值。因此，如果你增加導(dǎo)納的g或b分量，你將向史密斯圓圖中較小的圓和弧移動。

在給定頻率下，并聯(lián)RLC電路具有等效的歸一化導(dǎo)納y=g+jb，因此可以用導(dǎo)納史密斯圓圖上的一個點來表示。如果掃頻，導(dǎo)納的虛部會發(fā)生變化，我們可以在史密斯圓圖上得到描述電路行為的導(dǎo)納輪廓。讓我們來看一些例子。

導(dǎo)納史密斯圓圖示例

在本節(jié)中，您將找到六個不同的示例，這些示例有助于在我們繼續(xù)學(xué)習(xí)的過程中建立各種導(dǎo)納史密斯圓圖概念。

示例1：添加并聯(lián)電容器

當歸一化負載導(dǎo)納為y1=0.2-j0.5時，反射系數(shù)為Γ1=0.72∠54.62°（方程式2）。如果我們在這個導(dǎo)納上加上一個10 pF的并聯(lián)電容器（C1=10 pF），新的導(dǎo)納和反射系數(shù)是多少？

假設(shè)工作頻率為222.82 MHz，參考導(dǎo)納為Y0=20 mS（對應(yīng)于參考阻抗Z0=50Ω）。負載導(dǎo)納y1和相關(guān)反射系數(shù)Γ1如圖5所示。

圖5 導(dǎo)納史密斯圓圖顯示了負載導(dǎo)納（y1）和相關(guān)的反射系數(shù)（Γ1）

并聯(lián)電容器僅影響新導(dǎo)納的電納。因此，新的導(dǎo)納也位于g=0.2的恒定電導(dǎo)圓上。在222.82 MHz下，10 pF電容器的歸一化電納為j0.7：

電容器將初始電納增加了j0.7，將我們從-j0.5移動到j(luò)0.2恒定電納弧。新的導(dǎo)納y2位于g=0.2恒定電導(dǎo)圓和b=0.2恒定電納電弧的交點處，如上圖所示。測量從原點到y(tǒng)2的矢量的長度和相位角，我們得到Γ2=0.68∠-23.5°.

如果我們在y2上添加第二個10 pF并聯(lián)電容器（C2=10 pF），新的導(dǎo)納y3是多少？新電容器使電納又增加了0.7。因此，我們最終到達點y3=0.2+j0.9，如下圖所示（圖6）。

圖6導(dǎo)納史密斯圓圖顯示，繼續(xù)添加更多并聯(lián)電容器會使導(dǎo)納沿恒定電導(dǎo)圓順時針移動

上述示例表明，通過繼續(xù)添加越來越多的并聯(lián)電容器，總導(dǎo)納沿恒定電導(dǎo)圓順時針方向移動。

示例2：掃描并聯(lián)電容器的值

如果我們將并聯(lián)電容器CP添加到y(tǒng)1=0.2-j0.5的歸一化負載導(dǎo)納中，并將電容器值從0掃到20pF，史密斯圓圖上的總導(dǎo)納輪廓是什么？

我們可以用前面例子的結(jié)果來回答這個問題。首先，用等效電路替換圖6的電路原理圖，如圖7所示。

圖7 替換圖6中等效電路的示例圖

可以看出，通過增加并聯(lián)電容器的值，總導(dǎo)納沿恒定電導(dǎo)圓順時針方向移動。

示例3：添加并聯(lián)電感器

并聯(lián)電感器的加入使導(dǎo)納的電納分量更負。例如，假設(shè)工作頻率為222.82 MHz，Y0=20 mS。如果我們將71.42 nH并聯(lián)電感器添加到y(tǒng)1=0.2-j0.5，歸一化電納分量將變化-j0.5：

這將我們移動到y(tǒng)2=0.2-j，如圖8所示。

圖8 史密斯圓圖顯示了添加并聯(lián)電感器時的偏移

該圖還顯示了添加另一個并聯(lián)電感器Lp2=0.5×71.42 nH=35.71 nH如何將歸一化電納降低j1，產(chǎn)生0.2-j2的等效歸一化導(dǎo)納。可以看出，添加越來越多的串聯(lián)電感器使我們沿著逆時針方向的恒定電導(dǎo)圓移動。如果我們用等效電路替換圖8的電路原理圖，我們得到以下等效圖（圖9）。

圖9 示例圖顯示了添加更多電感器并用等效電路替換圖8的電路原理圖

上圖顯示，如果我們減小并聯(lián)電感器的值，總導(dǎo)納將沿著相應(yīng)的恒定電導(dǎo)圓逆時針移動。

示例4：并聯(lián)RC網(wǎng)絡(luò)的頻率掃描

接下來，讓我們看看并聯(lián)RC電路的導(dǎo)納如何隨頻率變化。假設(shè)R=25Ω，C=10pF，Y0=20mS。該并聯(lián)RC電路的歸一化導(dǎo)納為：

歸一化導(dǎo)納的實部為g=2。因此，該電路的導(dǎo)納在g=2的恒定電導(dǎo)圓上，電納始終為正。當頻率從直流掃到無窮大時，x從0變?yōu)?∞。因此，無論電容器的值如何，導(dǎo)納軌跡都包括g=2恒定電導(dǎo)圓的下半部分。

請注意，由于b隨頻率從0變?yōu)?∞，因此隨著頻率的增加，我們沿著圓順時針移動。圖10曲線中的青色曲線顯示了史密斯圓圖上的導(dǎo)納軌跡。

圖10史密斯圓圖上的導(dǎo)納軌跡

示例5：并行RL網(wǎng)絡(luò)的頻率掃描

如果我們將頻率從直流掃到無窮大，R=25Ω和L=30nH的并聯(lián)RL電路的導(dǎo)納輪廓是什么？

當Y0=20mS時，該RL網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納位于g=2的恒定電導(dǎo)圓上。電敏感組件是$b=?\frac{1}{L\omega Y_0}$,，它總是負數(shù)。當頻率從直流掃到無窮大時，b從-∞變?yōu)?。因此，無論電感器的值如何，導(dǎo)納軌跡都包括g=2恒定電導(dǎo)圓的上半部分，如圖11所示。

圖11 史密斯圓圖顯示導(dǎo)納軌跡，包括g=2的上半部分

請注意，由于b隨頻率從-∞變?yōu)?，因此隨著頻率的增加，我們沿著圓順時針移動。

示例6:并行RLC網(wǎng)絡(luò)的頻率掃描

最后一個問題是，如果我們將頻率從直流掃到無窮大，R=25Ω，L=20nH，C=2pF的并聯(lián)RLC電路的導(dǎo)納輪廓是什么？

當Y0=20mS時，該并聯(lián)RLC網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納位于g=2的恒定電導(dǎo)圓上。在諧振頻率fr下，電感器的電納抵消了電容器的電納，留下了純電阻導(dǎo)納。因此，在fr處，我們處于g=2恒定電導(dǎo)圓和史密斯圓圖水平對角線的交點處（圖12）。

圖12 史密斯圓圖顯示了g=2常數(shù)電導(dǎo)和史密斯圓圖水平對角線交點處的fr

低于fr，電感性電納的幅度大于電容性電納，因此電路是電感性的。這意味著對于0<f<fr，電路是電容性的，我們處于恒定電導(dǎo)圓的下半部分。另一方面，對于f>fr，電路是電容性的，我們處于恒定電導(dǎo)圓的下半部分。上述示例表明，隨著頻率的增加，導(dǎo)納輪廓始終沿順時針方向遵循恒定電導(dǎo)圓。

導(dǎo)納史密斯圓圖基礎(chǔ)概述

在給定的頻率下，并聯(lián)RLC電路可以用導(dǎo)納史密斯圓圖上的一個點來表示。如果掃頻，導(dǎo)納的虛部會發(fā)生變化，我們可以在史密斯圓圖上得到描述電路行為的導(dǎo)納輪廓。熟悉史密斯圓圖以識別哪種類型的電路配置可以產(chǎn)生給定的導(dǎo)納輪廓是很重要的。