鮮為人知的相位噪聲特性

相位噪聲涵蓋范圍很廣，包括相位噪聲特性 、相位噪聲測(cè)量方法 以及它對(duì)系統(tǒng)性能的影響。傳統(tǒng)相位噪聲分析的重點(diǎn)僅放在單載波無(wú)線電系統(tǒng)中正弦波信號(hào)的降低，而相位噪聲對(duì)多載波接收機(jī)、寬帶系統(tǒng)或數(shù)字無(wú)線電的影響則很少涉及。一些鮮為人知的相位噪聲問題現(xiàn)在越來越引起設(shè)計(jì)人員的關(guān)注。

關(guān)于相位噪聲專題的信息有很多，包括相位噪聲特性 、相位噪聲測(cè)量方法 以及它對(duì)系統(tǒng)性能的影響。眾所周知，振蕩器和時(shí)鐘的相位噪聲已成為導(dǎo)致現(xiàn)代無(wú)線電系統(tǒng)性能降低的因素之一。然而，大多數(shù)傳統(tǒng)相位噪聲分析僅將重點(diǎn)放在單載波無(wú)線電系統(tǒng)中正弦波信號(hào)的降低，而相位噪聲對(duì)多載波接收機(jī)、寬帶系統(tǒng)或數(shù)字無(wú)線電的影響則很少涉及。本文將討論一些與采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)相位噪聲有關(guān)的一些鮮為人知的問題，主要是多載波無(wú)線電、寬帶信號(hào)和欠采樣無(wú)線電體系結(jié)構(gòu)等。

采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)的相位抖動(dòng)

計(jì)算采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)中由相位噪聲引起的信噪比（snr）性能降低的最簡(jiǎn)單的方法是將相位噪聲轉(zhuǎn)換成相位抖動(dòng)。利用在給定頻率條件下，時(shí)間延遲與相位延遲相同的原理很容易實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換。擴(kuò)展這一原理并以噪聲功率的形式寫出，得到公式（1）：

其中，{ }=相位噪聲有效值，單位為弧度（rad）

_{ }=相位抖動(dòng)有效值，單位為秒(s)

_{clk}=時(shí)鐘頻率，單位為弧度/秒(rad/s)
也就是說，對(duì)于一個(gè)給定的時(shí)鐘抖動(dòng)誤差，信號(hào)頻率越高則相位誤差越大。 _{ }項(xiàng)是時(shí)鐘的總積分相位噪聲 ，并通過下式定義時(shí)鐘snr：

snr_{clk}=-10log( ^{2}_{ })

這樣，（1）式將總積分相位噪聲，或時(shí)鐘snr與總時(shí)鐘抖動(dòng)聯(lián)系起來。相位噪聲和時(shí)鐘抖動(dòng)是同一現(xiàn)象的兩種不同表述方式。
傳統(tǒng)采樣數(shù)據(jù)snr分析采用圖1作為確定時(shí)鐘噪聲在采樣數(shù)據(jù)中產(chǎn)生誤差的輔助方法，由此可以得到下面幾個(gè)公式。

零均值，獨(dú)立性

由此得到噪聲功率是抖動(dòng)功率和信號(hào)功率導(dǎo)數(shù)的函數(shù)。
用一個(gè)帶有抖動(dòng)的時(shí)鐘對(duì)信號(hào)采樣后的snr定義為：

例如，在一個(gè)單正弦波中，

v_{out}(t)=asin _{o}t
v_{out}(t)=a _{o}cos _{o}t

因此，
e,﹛v_{out}^{2}(t)﹜=v_{out}(t)的功率=frac{a^{2}}{2}

e,﹛v_{out},^{2}(t)﹜=v_{out}(t)的功率=frac{ ^{2}_{o}a^{2}}{2}

利用（2）式，得到

將上述結(jié)論擴(kuò)展到多載波信號(hào)是一件很容易的事。采用與前面相同的過程，只是將v_{out}定義為n個(gè)等幅正弦波的和，

這個(gè)結(jié)論是相對(duì)于總信號(hào)v_{out}的。當(dāng)只相對(duì)于其中一個(gè)載波時(shí)，snr變成該式用于多載波系統(tǒng)中的單載波。

與單載波情況（3）式相比，（4）式中的分母含有n個(gè)頻率項(xiàng)。每個(gè)載波基底的snr（dbc）已經(jīng)降低大約10log(n)。然而，在數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器中，每一個(gè)載波可能都需要根據(jù)信號(hào)統(tǒng)計(jì)量降低10log(n) ～ 20log(n)，以避免削弱量化器。這相當(dāng)于將量化噪聲和熱噪聲本底提高20log(n)，從而使多載波時(shí)鐘抖動(dòng)對(duì)總snr的影響比單載波情況下小。這時(shí)量化噪聲和熱噪聲可能起到更大的作用。

許多現(xiàn)代無(wú)線電系統(tǒng)不使用窄帶載波。調(diào)制后的數(shù)據(jù)經(jīng)常占有相當(dāng)寬的頻譜。為了確定這些系統(tǒng)中時(shí)鐘抖動(dòng)對(duì)snr的影響，為方便起見假設(shè)數(shù)據(jù)具有零均值，并且平坦的頻譜均勻地分布在fl和fh之間（fl < fh），如圖2所示 。將幅度平方并對(duì)帶寬積分，可得到總信號(hào)功率 out 。

帕斯瓦爾定理的一種表述方式指出一個(gè)信號(hào)在時(shí)域的能量與該信號(hào)在頻域的能量相等，也就是，

其中∣g(f)∣^{2}是功率譜密度，單位為w/hz。

此外，使用傅立葉變換的微分定理，即一個(gè)導(dǎo)數(shù)的傅立葉變換等于原函數(shù)的傅立葉變換乘以i ，如下所示：

將上式代入帕斯瓦爾定理，得到v(t)的功率與i g( )的功率相等，如下式所示：

由于g(f)= 定義域在fl 和fh 之間（并且此定義域以外為0），上式變?yōu)椋?/p>

代入（2）式，

這是一個(gè)在fl 和 fh之間均勻分布的寬帶信號(hào)經(jīng)帶有抖動(dòng) t的時(shí)鐘采樣后的snr。為了檢測(cè)其是否正確，設(shè)fl=fh=fo（所有能量都位于一個(gè)單頻率fo處），得到的表達(dá)式與單頻率情況(3)式相同。

假設(shè)fl=fo bw/2，fh=fo+bw/2我們可以得到另一個(gè)表達(dá)式。這種情況下該表達(dá)式變?yōu)?/p>

用于中心頻率為fo帶寬為bw的均勻信號(hào) 。

再做一次正確性檢查，當(dāng)bw=0時(shí)其結(jié)果與單載波情況下的（3）式相同。

上述所有推導(dǎo)得到的一個(gè)結(jié)論是，只要fo>10bw，信號(hào)的帶寬就幾乎可以忽略。將已調(diào)制信號(hào)作為單載波信號(hào)處理會(huì)得到本質(zhì)上相同的結(jié)果。然而，如果該條件不成立，則采用單載波近似將給出過于樂觀的結(jié)果。

本文所討論的重點(diǎn)為采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)，但文中沒有提到混疊的影響。上述推導(dǎo)出的全部公式都假設(shè)沒有混疊現(xiàn)象。抖動(dòng)的帶寬被認(rèn)為完全（并且方便地 ）落在一個(gè)奈奎斯特區(qū)內(nèi)。如果考慮時(shí)鐘抖動(dòng)相當(dāng)壞，并且信號(hào)與奈奎斯特區(qū)邊界足夠接近，則由抖動(dòng)產(chǎn)生的噪聲會(huì)在帶內(nèi)形成混疊，從而進(jìn)一步降低snr。圖3示出了這種影響。時(shí)鐘饋通信號(hào)會(huì)產(chǎn)生類似的問題。如果信號(hào)和時(shí)鐘頻率很接近，則時(shí)鐘產(chǎn)生的相位噪聲會(huì)直接滲漏到輸出端，使噪聲本底變壞。

采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)中的相位噪聲

前面的討論中也沒有考慮到時(shí)鐘相位噪聲對(duì)頻譜的影響。只是考慮了利用（1）式從總積分相位噪聲計(jì)算出總的抖動(dòng)（有效值，單位為秒）。為了了解時(shí)鐘相位噪聲頻譜如何影響采樣數(shù)據(jù)頻譜，最便捷的方法是利用一個(gè)單正弦波信號(hào)。將（1）和（3）結(jié)合推導(dǎo)出（6）。

采樣信號(hào)的snr與時(shí)鐘的snr相同，只是相差一個(gè)比例系數(shù)，即時(shí)鐘和信號(hào)頻率比。當(dāng)信號(hào)頻率變高時(shí)，snr會(huì)以20log的形式降低。這就說明為什么欠采樣系統(tǒng)（即帶通信號(hào)頻率僅占據(jù)高于奈奎斯特頻帶的一小部分）要求時(shí)鐘比基帶采樣系統(tǒng)具有好得多的相位抖動(dòng)性能。事實(shí)上，中頻采樣數(shù)字無(wú)線電結(jié)構(gòu)的性能通常受到時(shí)鐘相位噪聲而非數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器性能的限制。

雖然從（6）式中沒有看出，但是如圖3所示，時(shí)鐘相位噪聲的頻譜形狀會(huì)加在采樣數(shù)據(jù)之上。這可以通過使用混頻器模擬采樣過程的方法直觀地看到。如圖4所示，當(dāng)將一個(gè)具有相位噪聲 的時(shí)鐘施加到混頻器時(shí)，其輸出會(huì)包含兩個(gè)混頻的乘積，每一個(gè)都包含時(shí)鐘的完全相位噪聲 。雖然這一簡(jiǎn)化的模型沒有顯示出（6）式所描述的比例系數(shù)，但它可用來顯示出時(shí)鐘相位頻譜如何影響作為結(jié)果的信號(hào)。

通過相位調(diào)制時(shí)鐘并將其輸入一個(gè)adc很容易測(cè)試。通過施加不同的信號(hào)頻率，還可以驗(yàn)證（6）式。當(dāng)ad9430 adc的時(shí)鐘頻率為61.44 mhz時(shí)調(diào)制時(shí)鐘相位使其第一邊帶為 60dbc。圖5a，5b和5c顯示了這一實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。

圖5a示出的是輸入信號(hào)頻率為3.84 mhz時(shí)得到的結(jié)果。時(shí)鐘調(diào)制分量可以看成是靠近基頻信號(hào)的兩個(gè)雜散頻率或毛刺。根據(jù)（6）式，時(shí)鐘調(diào)制毛刺應(yīng)為 60 20log(61.44/3.86)= 84 dbc。這與圖5a所示的結(jié)果非常接近。

圖5b示出的是輸入信號(hào)頻率為65.28 mhz時(shí)得到的結(jié)果。這是第3奈奎斯特區(qū)。fft顯示基帶混疊與圖5a中3.84 mhz信號(hào)的位置相同（即，65.28 mhz 61.44 mhz = 3.84 mhz）。這里fclk~fsig和 60dbc時(shí)鐘雜散頻率可以很容易的被看成是雜散頻率加在信號(hào)之上，也是 60dbc。這正是按照（6）式所期望的結(jié)果。

圖5c示出的是輸入信號(hào)頻率為124.72 mhz時(shí)第5奈奎斯特區(qū)的結(jié)果。該頻率大約是圖5b所示頻率的2倍，并且根據(jù)(6)式，雜散頻率應(yīng)該增加大約6 db，這從圖中也可以看到。

這樣就說明時(shí)鐘頻譜確實(shí)出現(xiàn)在采樣信號(hào)附近并且具有一個(gè)由（6）式?jīng)Q定的比例系數(shù)。但是，到目前為止上述討論并未區(qū)分adc和dac。dac表現(xiàn)出的特性會(huì)和adc相同嗎？可以在ad9744 dac上做相似的實(shí)驗(yàn)，時(shí)鐘頻率為61.44 mhz，通過相位調(diào)制給出 40 dbc邊帶，從而生成11 mhz正弦波，5個(gè)奈奎斯特頻帶的結(jié)果如圖6所示。

可以清楚地看出dac輸出固有的sinc函數(shù)。但是時(shí)鐘雜散頻率發(fā)生了什么變化？這可以在每一個(gè)輸出圖形中清楚地看出，只是其振幅不像在adc中那樣增加。相對(duì)于滿度值，其雜散頻率成分的幅度保持不變。

可以從幾個(gè)方面來解釋這一點(diǎn)。當(dāng)從dbc角度觀看時(shí)，隨著信號(hào)頻率增大，調(diào)制雜散頻率按照（6）式所描述的相同方式變壞。sinc函數(shù)同時(shí)作用于信號(hào)幅度和產(chǎn)生的時(shí)鐘相位噪聲。計(jì)算與每個(gè)載波相關(guān)的雜散頻率幅度（以dbc的形式），（6）式是個(gè)很好的描述。

另一方面，sinc函數(shù)特性定義為

噪聲的幅度由（6）式的倒數(shù)給出

也就是說，噪聲直接與時(shí)鐘相位噪聲和信號(hào)頻率成比例。將sinc函數(shù)平方（因?yàn)闄z測(cè)的是功率譜密度）并將兩者相乘以得到dac產(chǎn)生的合成噪聲傳遞函數(shù)：

正弦函數(shù)引起的周期零點(diǎn)特性仍然存在。然而，sinc函數(shù)的分母是產(chǎn)生高頻滾降的原因。這一幅度的減弱恰好與（6）式所描述的在高頻處增加的相位噪聲相抵消。這樣一來，dac產(chǎn)生的相位噪聲不會(huì)在高頻部分增長(zhǎng)。

在系統(tǒng)調(diào)試中的應(yīng)用

上述結(jié)論除了能夠解決與系統(tǒng)設(shè)計(jì)相關(guān)的一些明顯問題以減小信號(hào)降低，還具有其他一些值得一提的作用。這與發(fā)現(xiàn)未知毛刺和噪聲源有關(guān)。例如，如果dac輸出端的本底噪聲升高，則絕大多數(shù)情況下不是由時(shí)鐘相位噪聲引起的，可能是由于數(shù)字信號(hào)耦合到輸出電路引起。

如果在采樣信號(hào)中存在毛刺，檢驗(yàn)毛刺是否是由時(shí)鐘引起的一個(gè)比較好的測(cè)試方法就是改變信號(hào)幅度。模擬失真項(xiàng)的變化率將是信號(hào)幅度變化率的2倍（2階失真）或3倍（3階失真）。當(dāng)信號(hào)幅度改變時(shí)，由數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換器量化過程的非線性產(chǎn)生的毛刺可能完全不會(huì)變化，或者如果它們變化，也將是不可預(yù)測(cè)的變化。另一方面，由時(shí)鐘產(chǎn)生的毛刺會(huì)以db為單位隨信號(hào)呈線性變化。

為了確定采樣數(shù)據(jù)信號(hào)中毛刺的來源，不僅要看可能由信號(hào)直接耦合到輸出端所產(chǎn)生明顯的雜散頻率處的毛刺，還要看偏移該信號(hào)頻率處的毛刺。例如，如果毛刺與載波相差10 mhz，要檢查系統(tǒng)中是否存在10 mhz振蕩器。如果存在，該頻率很可能通過時(shí)鐘滲透到輸出信號(hào)。

結(jié)論

本文討論了相位噪聲和時(shí)鐘抖動(dòng)之間的關(guān)系，推導(dǎo)出當(dāng)用帶有抖動(dòng)的時(shí)鐘對(duì)信號(hào)采樣時(shí)所出現(xiàn)的snr降低，并將這一結(jié)論擴(kuò)展到多載波和寬帶調(diào)制數(shù)據(jù)系統(tǒng)。隨后討論了時(shí)鐘相位噪聲頻譜問題，并且通過adc和dac輸出信號(hào)頻譜驗(yàn)證了這些結(jié)論。最后，將這些結(jié)論用于調(diào)試可能存在非正常毛刺的系統(tǒng)，除了上述結(jié)論其他理由可能都無(wú)法解釋。