有限帶寬信號(hào)采樣和混疊的數(shù)學(xué)分析

接下來(lái)對(duì)g(f)進(jìn)行采樣。我們可以利用數(shù)學(xué)形式表示該操作，即g(f)乘以一個(gè)時(shí)間間隔為t的沖激函數(shù)序列。通過(guò)將g(f)與沖激函數(shù)相乘，我們得到對(duì)應(yīng)于沖激函數(shù)發(fā)生時(shí)刻的g(f)值，其它任何時(shí)間的乘積都為零。這類似于以fsampling = 1/t的頻率對(duì)g(f)采樣。該操作可用公式1表示，采樣后的新信號(hào)稱為s(t)：

下一步是找出已采樣信號(hào)s(t)的頻譜。通過(guò)對(duì)公式1進(jìn)行傅立葉變換可得到：

計(jì)算上面的積分比較復(fù)雜。為了簡(jiǎn)化計(jì)算，注意到s(t)是g(f)與沖激脈沖序列的乘積。同時(shí)我們還知道時(shí)域的乘法對(duì)應(yīng)頻域的卷積。(關(guān)于這一結(jié)論的證明可參考任何有關(guān)傅立葉變換的資料。) 因此，s(f)可以表示為：

注意公式3中的星號(hào)表示卷積，而不是相乘。我們已經(jīng)知道原始信號(hào)的頻譜g(f)，因此只需要算出沖激函數(shù)序列的傅立葉變換。我們知道沖激函數(shù)序列是一個(gè)周期函數(shù)，因而可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示。如下式：

其中傅立葉系數(shù)為：

公式5中積分的上下限只指定為一個(gè)周期。當(dāng)處理沖激函數(shù)時(shí)，這沒有問(wèn)題。然而，為了使上面的表達(dá)式具有更好的通用性，可以進(jìn)行如下代換處理：用一個(gè)從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的傅立葉積分代替該積分，并用單個(gè)沖激函數(shù)—t周期信號(hào)的基本信號(hào)替代周期性的沖激函數(shù)序列。因而，公式5可以改寫為：

這樣一來(lái)沖激函數(shù)序列可采用以下易于進(jìn)行傅立葉變換的簡(jiǎn)化表達(dá)式：

考慮到一個(gè)信號(hào)可以從其傅立葉變換積分得到，如下式：

并且：

最終表達(dá)式如下：

根據(jù)以上結(jié)果，再重新考慮已采樣的基帶信號(hào)。其傅立葉變換表達(dá)式如下：

兩個(gè)信號(hào)a(f)和b(f)的卷積定義為：

則s(f)可表示為：

計(jì)算的結(jié)果為公式13，通常稱為采樣定理。它表明在時(shí)域里按周期t (秒)采樣得到的信號(hào)會(huì)以1/t的頻率重復(fù)原始信號(hào)的頻譜，如圖2所示。這一結(jié)果反過(guò)來(lái)可以清楚且直觀地回答先前的問(wèn)題：如何采樣模擬信號(hào)才能夠保持原始信號(hào)的全部信息？

混疊效應(yīng)

為保留原始基帶信號(hào)的所有信息，必須確保每一個(gè)重復(fù)頻譜“輪廓”之間不發(fā)生交疊。如果相互交疊(這種現(xiàn)象稱為混疊)，就不可能再?gòu)牟蓸有盘?hào)中恢復(fù)出原始信號(hào)。這會(huì)使高頻成分混疊到低頻頻段，如圖3所示。

為了避免混疊，必須滿足以下條件：1/t > 2，或1/t > 2bw。該結(jié)論也可用采樣頻率表示為：

因此，不會(huì)產(chǎn)生混疊的最小采樣頻率為2bw。這就是眾所周知的奈奎斯特定律。

圖3給出了產(chǎn)生混疊的采樣信號(hào)。注意高頻信號(hào)分量fh呈現(xiàn)為低頻分量。您可以用一個(gè)低通濾波器來(lái)恢復(fù)原始頻譜，并將其它頻譜分量濾掉(衰減)。當(dāng)使用截止頻率為的低通濾波器恢復(fù)信號(hào)時(shí)，它無(wú)法將混疊的高頻信號(hào)濾掉，從而造成有用信號(hào)的劣化。

考慮到混疊會(huì)惡化有用信號(hào)，再來(lái)考慮帶通信號(hào)這類特定的有限帶寬信號(hào)。帶通信號(hào)的低頻邊界不是零。如圖4所示，帶通信號(hào)的信號(hào)能量分布在l與>u之間，其帶寬定義為u - l。因此，帶通信號(hào)和基帶信號(hào)的主要區(qū)別在于它們的帶寬定義：基帶信號(hào)的帶寬等于它的最高頻率，而帶通信號(hào)的帶寬為最高頻率和最低頻率之差。

從前面的討論可知，采樣信號(hào)以1/t的周期重復(fù)原始信號(hào)的頻譜。因?yàn)檫@個(gè)頻譜實(shí)際上包括從0hz到原始帶通信號(hào)低頻截止頻率之間的零幅值頻帶，所以實(shí)際的信號(hào)帶寬要比u低。因此可以在頻域內(nèi)做一定的頻率偏移，從而允許采樣頻率低于當(dāng)信號(hào)頻譜占據(jù)整個(gè)零至u范圍時(shí)要求的采樣頻率。例如，假定信號(hào)帶寬為u/2，采樣頻率取為u即可滿足奈奎斯特定律，采樣信號(hào)的頻譜如圖5所示。

該采樣過(guò)程沒有產(chǎn)生混疊，因此如果有理想的帶通濾波器，可完全從采樣信號(hào)中恢復(fù)出原始信號(hào)。在本例中，注意到基帶和帶通信號(hào)的差別是非常重要的。對(duì)于基帶信號(hào)，帶寬和相應(yīng)的采樣頻率只由最高頻率決定。而帶通信號(hào)的帶寬通常都要比最高頻率小。

以上特性決定了從采樣信號(hào)中恢復(fù)原始信號(hào)的方法。對(duì)于最高頻率相同的基帶信號(hào)和帶通信號(hào)，只要采用合適的帶通濾波器來(lái)隔離原始信號(hào)頻譜 (圖5中的白色矩形部分)，帶通信號(hào)就可以采用較低的采樣頻率。由于信號(hào)頻譜中包括陰影部分，用于基帶信號(hào)恢復(fù)的低通濾波器在這種情況下無(wú)法恢復(fù)出原始帶通信號(hào)，如圖5所示。所以如果要用低通濾波器恢復(fù)圖5中的帶通信號(hào)，采樣頻率必須在2u以上以避免混疊。

有限帶寬信號(hào)必須在滿足奈奎斯特定律的情況下才能被完全恢復(fù)。對(duì)于帶通信號(hào)，只有用帶通濾波器時(shí)奈奎斯特采樣頻率才可以避免混疊。否則就必須使用更高的采樣頻率。在實(shí)際應(yīng)用中選擇轉(zhuǎn)換器采樣頻率時(shí)，這一點(diǎn)很重要。

還要注意的是對(duì)有限帶寬信號(hào)的假設(shè)。從數(shù)學(xué)上分析，一個(gè)信號(hào)不可能是真正有限帶寬的。傅立葉變換定律告訴我們，如果一個(gè)信號(hào)的持續(xù)時(shí)間是有限的，則它的頻譜就會(huì)延展到無(wú)限頻率范圍，如果它的帶寬是有限的，則它的持續(xù)時(shí)間是無(wú)限的。很顯然，我們找不到一個(gè)持續(xù)無(wú)限時(shí)間的時(shí)域信號(hào)，所以也不可能有真正的有限帶寬信號(hào)。不過(guò)絕大部分實(shí)際信號(hào)的頻譜能量都集中在有限帶寬內(nèi)，因此前面的分析對(duì)這些信號(hào)仍然有效。

采樣正弦信號(hào)

采樣正弦信號(hào)可以非常簡(jiǎn)單和方便地展示發(fā)生混疊時(shí)高頻成分呈現(xiàn)為低頻成分這一固有現(xiàn)象。純粹正弦信號(hào)的頻譜僅包括相應(yīng)頻點(diǎn)上的尖峰信號(hào) (沖激函數(shù))，出現(xiàn)混疊時(shí)，尖峰會(huì)從一個(gè)頻點(diǎn)移到另一個(gè)頻點(diǎn)。

以下結(jié)果是用125msps、12位adc max19541測(cè)試得出的。圖6所示為輸入信號(hào)頻率fin = 11.5284mhz時(shí)變換器輸出信號(hào)的頻譜。數(shù)據(jù)顯示主尖峰正好出現(xiàn)在該頻點(diǎn)上。頻譜中還有一些其它的尖峰，它們是由轉(zhuǎn)換器的非線性引起的諧波，和本文的討論主題無(wú)關(guān)。由于采樣頻率fsampling = 125mhz，遠(yuǎn)大于奈奎斯特定律要求的兩倍輸入頻率，所以不會(huì)出現(xiàn)混疊。

接下來(lái)考慮如果把輸入頻率提高到fin = 183.4856mhz，主尖峰的位置會(huì)發(fā)生什么變化。該輸入頻率大于fsampling/2，可以想象會(huì)有混疊出現(xiàn)。圖7給出了得到的頻譜，主尖峰落在58.48mhz頻點(diǎn)，這就是混疊信號(hào)。換言之，在58.48mhz頻點(diǎn)出現(xiàn)了一個(gè)原始信號(hào)中不包含的頻率信號(hào)。注意圖6和圖7中都只給出了奈奎斯特頻率以下的頻譜，因?yàn)轭l譜是周期性的，圖中的顯示部分已經(jīng)包含了所有必要信息。