控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

在控制理論中，為了描述線性定常系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系，最常用的函數(shù)是所謂的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)，在某些特定條件下也可以擴充到一定的非線性系統(tǒng)中去。

線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義初始條件為零時，輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比。設(shè)有一線性定常系統(tǒng)，它的微分方程是

(2-1)

式中y是系統(tǒng)的輸出量，x是系統(tǒng)的輸入量。初始條件為零時，對方程（2-1）兩端進行拉普拉斯變換，就可以得到該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：

(2-2)

傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)的輸入量與輸出量之間的關(guān)系式，它表達了系統(tǒng)本身的特性，而與輸入量無關(guān)。傳遞函數(shù)包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所必需的單位，但它不能表明系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)（許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的傳遞函數(shù)）。

傳遞函數(shù)分母中s的最高階數(shù)，就是輸出量最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。如果s的最高階數(shù)等于n，這種系統(tǒng)就叫n階系統(tǒng)。

例2-1 圖2-1所示為一彈簧阻尼系統(tǒng)，阻尼器是一種產(chǎn)生粘性磨擦或阻尼的裝置。它由活塞和充滿油液的缸體組成?；钊透左w之間的任何相對運動，都將受到油液的阻滯，因為這時油液必須從活塞的一端，經(jīng)過活塞周圍的間隙（或通過活塞上的專用小孔），而流到活塞的另一端。阻尼器主要用來吸收系統(tǒng)的能量。被阻尼器吸收的能量轉(zhuǎn)變?yōu)闊崃慷⑹У?，而阻尼器本身不貯藏任何動能或位能。

下面來推導(dǎo)這一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的輸入量為外力x(t)，輸出量為質(zhì)量的位移y(t)，按下列步驟進行推導(dǎo)：

1． 寫出系統(tǒng)的微分方程。
2． 假設(shè)全部初始條件等于零，取微分方程的拉普拉斯變換。
3． 求輸出Y(s)與輸入量X(s)之比。這一比值就是傳遞函數(shù)。

為了推導(dǎo)線性常系數(shù)微分方程，假設(shè)阻尼器的磨擦力與 成正比，并設(shè)彈簧為線性彈簧，即彈簧力與y成正比。在這個系統(tǒng)中，m表示質(zhì)量，f表示粘性磨擦系數(shù)，而k表示彈簧剛度。
解 牛頓定律是機械系統(tǒng)中的基本定律。在平移系統(tǒng)中，牛頓定律可表示如下：

ma=ΣF=x-Fs-Ff

其中Fs=ky，

a表示加速度，f表示力。

把牛頓定律應(yīng)用到這一系統(tǒng)可得

或

(2-3)

對方程（2-3）中每一項取拉普拉斯變換，得出

如果設(shè)初始條件等于零，即y(0)=0， (0)=0，即可得出方程（2-3）的拉普拉斯變換：

取Y(s)與X(s)之比，即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

例2-2 機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng) 設(shè)有一系統(tǒng)，如圖2-2所示。它由慣性負載和粘性磨擦阻尼器組成。J為轉(zhuǎn)動慣量，f為粘性磨擦系數(shù)，ω為角速度，T為作用到系統(tǒng)上的轉(zhuǎn)矩。

解 對于機械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，其運動方程可寫成：

其微分方程為：

（2-4）

初始條件為零時，取方程（2-4）的拉普拉斯變換：

取θ(s) 與T(s)之比，即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

例2-3

圖2-3所示為一由電感L、電阻R和電容C組成。

解: 在理想條件下，可得到此電路的電壓平衡方程式：

（2-5）

由于 式中，q為電荷量，C為電容。式（2-5）可改寫為

初始條件為零時，取方程（2-5）的拉普拉斯變換：

取U(s)與Uc(s) 之比，即可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

1. 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，它表示聯(lián)系輸出變量與輸入變量的微分方程的一種運算方法。

2. 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，它與輸入量或驅(qū)動函數(shù)的大小和性質(zhì)無關(guān)。

3. 傳遞函數(shù)包含聯(lián)系輸入量與輸出量所必需的單位，但是它不提供有關(guān)系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)的任何信息（許多物理上完全不同的系統(tǒng)，可以具有相同的傳遞函數(shù)，稱之為相似系統(tǒng)）。

4. 如果系統(tǒng)的傳遞函數(shù)已知，則可以針對各種不同形式的輸入量研究系統(tǒng)的輸出或響應(yīng)，以便掌握系統(tǒng)的性質(zhì)。

5. 如果不知道系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則可通過引入已知輸入量并研究系統(tǒng)輸出量的實驗方法，確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一旦被確定，就能對系統(tǒng)的動態(tài)特性進行充分描述，它不同于對系統(tǒng)的物理描述。

6. 用傳遞函數(shù)表示的常用連續(xù)系統(tǒng)有兩種比較常用的數(shù)學(xué)模型，說明如下

第一種表示方式為：

第二種表示方式也叫零極點增益模型，具體形式為：

這兩種模型各有不同的適用范圍，可以相互轉(zhuǎn)換，在不同的場合需要用不同的模型。如：在根軌跡分析中，用零極點模型就比較合適。 相似系統(tǒng) 相似系統(tǒng)這一概念，在實踐中是很有用的，因為一種系統(tǒng)可能比另一種系統(tǒng)更容易通過實驗來處理。例如，可以通過建造和研究一個與機械系統(tǒng)相似的電模擬系統(tǒng)來代替對機械系統(tǒng)的制造和研究，因為一般來說，電的或電子的系統(tǒng)更容易通過實驗進行研究。表2-1所示為相似系統(tǒng)的相似變量。

y=f(x) （2-6）

如果系統(tǒng)的額定工作狀態(tài)相應(yīng)于 ，，那么方程（2-6）可以在該點附近展開成泰勒級數(shù)：

式中都在x=df/dx,d²f/dx²,… 點進行計算。如果x- 很小，可以忽略x- 的高階項。因此方程可以寫成

方程（2-8）可以改寫成

上式說明y- 與x- 成正比。方程（2-9）就是由方程（2-6）定義的非線性系統(tǒng)的線性數(shù)學(xué)模型。下面來研究另一種非線性系統(tǒng)，它的輸出量y是兩個輸入量x1和x2的函數(shù)，因而

為了得到這一非線性系統(tǒng)的線性近似關(guān)系，將方程（2-10）在額定工作點, 附近展開成泰勒級數(shù)。這時方程（2-10）可寫成

式中偏導(dǎo)數(shù)都在x₁=,x₂=上進行計算。在額定工作點附近，近似將高階項忽略。于是在額定工作狀態(tài)附近，這一非線性系統(tǒng)的線性數(shù)學(xué)模型可以寫成

這里介紹的線性化方法只有在工作狀態(tài)附近才是正確的。當工作狀態(tài)的變化范圍很大時，線性化方程就不合適了，這時必須使用非線性方程。應(yīng)當特別注意，在分析和設(shè)計中采用的具體數(shù)學(xué)模型，只有在一定的工作條件下才能精確表示實際系統(tǒng)的動態(tài)特性，在其他工作條件下它可能是不精確的。

比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為

(2-11)

這表明，輸出量與輸入量成正比，動態(tài)關(guān)系與靜態(tài)關(guān)系都一樣，不失真也不遲延，所以又稱為"無慣性環(huán)節(jié)"或"放大環(huán)節(jié)"。比例環(huán)節(jié)的特征參數(shù)只有一個，即放大系數(shù)K。工程上如無彈性變形的杠桿傳動、電子放大器檢測儀表、比例式執(zhí)行機構(gòu)等都是比例環(huán)節(jié)的一些實際例子。

2.4.2慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)又稱非周期環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為

(2-12)

T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，K為比例系數(shù)。
當輸入信號為單位階躍函數(shù)時，其環(huán)節(jié)的輸出為

它是一條指數(shù)曲線，當時間t=3T~4T時，輸出量才接近其穩(wěn)態(tài)值。實際系統(tǒng)中，慣性環(huán)節(jié)是比較常見的，例如直流電機的勵磁回路等。

2.4.3積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2-13)

在單位階躍輸入的作用下，積分環(huán)節(jié)的輸出c(t)為

這表明，只要有一個恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，其輸出量就與時間成正比地無限增加。積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，當輸入信號突然除去時，輸出總要變化下去。在控制系統(tǒng)設(shè)計中，常用積分環(huán)節(jié)來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。

2.4.4微分環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2-14)

理想微分環(huán)節(jié)的輸出與輸入量的變化速度成正比。在階躍輸入作用下的輸出響應(yīng)為一理想脈沖（實際上無法實現(xiàn)），由于微分環(huán)節(jié)能預(yù)示輸出信號的變化趨勢，所以常用來改善系統(tǒng)的動態(tài)特性。

實際上可實現(xiàn)的微分環(huán)節(jié)都具有一定的慣性，其傳遞函數(shù)如下：

它有一個負極點和一個位于S平面原點的零點。實際微分環(huán)節(jié)在單位階躍輸入作用下的輸出響應(yīng)為

2.4.5振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2-15)

或

式中，T為振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；K為放大系數(shù)；ζ為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比； 稱為無阻尼自然振蕩頻率。

2.4.6延遲環(huán)節(jié)

延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(2-16)

延遲環(huán)節(jié)在單位階躍輸入作用下的輸出響應(yīng)為c(t)=1(t-T)

即輸出完全復(fù)現(xiàn)輸入，只是延遲了T時間。T為延遲環(huán)節(jié)的特征參數(shù)，稱為"延遲時間"或"滯后時間"。

以上介紹了六種典型環(huán)節(jié)，這是控制系統(tǒng)中最見的基本環(huán)節(jié)

方塊圖 :
系統(tǒng)方塊圖，是系統(tǒng)中每個元件的功能和信號流號的圖解表示。方塊圖表明了系統(tǒng)中各種元件間的相互關(guān)系。方塊圖優(yōu)于純抽象的數(shù)學(xué)表達式，因為它能夠清楚地表明實際系統(tǒng)中的信號流動情況。

在方塊圖中，通過函數(shù)方塊，可以將所有的系統(tǒng)變量聯(lián)系起來。"函數(shù)方塊"或簡稱為"方塊"，是對加到方塊上的輸入信號的一種運算符號，運算結(jié)果以輸出量表示。元件的傳遞函數(shù)，通常寫進相應(yīng)的方塊中，并以標明信號流向的箭頭，將這些方塊連接起來。應(yīng)當指出，信號只能沿箭頭方向通過。這樣，控制系統(tǒng)的方塊圖就清楚地表示了它的單向特性。

T為慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)，K為比例系數(shù)。
當輸入信號為單位階躍函數(shù)時，其環(huán)節(jié)的輸出為

圖2-4表示了一個方塊圖單元。指向方塊的箭頭表示輸入，而從方塊出來的箭頭則表示輸出。在這些箭頭上標明了相應(yīng)的信號。

應(yīng)當指出，方塊輸出信號等于輸入信號與方塊中傳遞函數(shù)的乘積。

用方塊圖表示系統(tǒng)的優(yōu)點是：只要依據(jù)信號的流向，將各元件的方塊連結(jié)起來，就能夠容易地組成整個系統(tǒng)的方塊圖，通過方塊圖，還可以評價每一個元件對系統(tǒng)性能的影響。

總之，方塊圖比物理系統(tǒng)本身更容易體現(xiàn)系統(tǒng)的函數(shù)功能。方塊圖包含了與系統(tǒng)動態(tài)特性有關(guān)的信息，但它不包括與系統(tǒng)物理結(jié)構(gòu)有關(guān)的信息。因此，許多完全不同和根本無關(guān)的系統(tǒng)，可以用同一個方塊圖來表示。

應(yīng)當指出，在方塊圖中沒有明顯表示出系統(tǒng)的主能源，而且對于一定的系統(tǒng)來說，方塊圖也不是唯一的。由于分析角度的不同，對于同一個系統(tǒng)，可以畫出許多不同的方塊圖。

誤差檢測器 誤差檢測器產(chǎn)生的輸出信號，等于控制系統(tǒng)的參考輸入信號與反饋信號之差。在設(shè)計中，選擇誤差檢測器是一件很重要的工作，需要仔細確定。因為誤差檢測器中的任何缺陷，都必然會降低整個系統(tǒng)的性能。圖2-5表示了誤差檢測器的方塊圖。

需要注意的是，圖中進行相加或相減的一些量，應(yīng)具有相同的量綱和單位。

閉環(huán)系統(tǒng)方塊圖 在圖2-6上，表示了一個閉環(huán)系統(tǒng)的方塊圖。輸出量C(s)反饋到相加點，并且在相加點與參考輸入量R(s)進行比較。系統(tǒng)的閉環(huán)性質(zhì)，在圖上清楚地表示了出來。在這種情況下，方塊的輸出量C(s)，等于方塊的輸入量E(s)乘以傳遞函數(shù)G(s)。

任何線性控制系統(tǒng)，都可以用由方塊、相加點和分支點組成的方塊圖來表示。所謂分支點，就是由方塊出來的輸出信號，從這一點起同時進入另一個方塊或相加點。

當輸出量反饋到相加點與輸入量進行比較時，必須將輸出信號轉(zhuǎn)變?yōu)榕c輸入信號相同的形式。例如，在溫度控制系統(tǒng)中，輸出信號通常為被控溫度。具有溫度量綱的輸出信號，在與輸入信號進行比較之前，必須轉(zhuǎn)變?yōu)榱蛭恢?。這種轉(zhuǎn)換由反饋元件來完成，反饋元件的另一個重要作用，是在輸出量與輸入量進行比較之前，改變輸出量。對于正在討論的例子，反饋到相加點與輸入量進行比較的反饋信號為B(s)=H(s)C(s)。

反饋信號B(s)與作用誤差信號E(s)之比，叫做開環(huán)傳遞函數(shù)。即

輸出量C(s)與作用誤差信號E(s)之比，叫做前向傳遞函數(shù)，因而

如果反饋傳遞函數(shù)等于1，那么開環(huán)傳遞函數(shù)與前向傳遞函數(shù)相同。在圖2-6所示系統(tǒng)中，輸出量C(s)與輸入量R(s)的關(guān)系，可推導(dǎo)如下：

C(s)=G(s)E(s)
E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

從上述方程中消去E(s)，得

C(s)=G(s)[R(s)-H(s)C(s)]

于是可得

(2-17)

C(s)與R(s)之間的傳遞函數(shù)，叫做閉環(huán)傳遞函數(shù)。這一傳遞函數(shù)，將閉環(huán)系統(tǒng)的動特性，與前向通道元件和反饋通道元件的動態(tài)特性聯(lián)系在一起了。

由方程（2-17），可求得C(s)為

因此，閉環(huán)系統(tǒng)的輸出量，顯然取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入量的性質(zhì)。

擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng) 圖2-7為一個在擾動作用下的閉環(huán)系統(tǒng)。當兩個輸入量（參考輸入量和擾動量）同時作用于線性系統(tǒng)時，可以對每一個輸入量單獨地進行處理，將與每一個輸入量單獨作用時相應(yīng)的輸出量疊加，即可得到系統(tǒng)的總輸出量。每個輸入量加進系統(tǒng)的形式，用相加點上的加號或減號來表示。

現(xiàn)在來討論圖2-7上表示的系統(tǒng)。在研究擾動量N(s)對系統(tǒng)的影響時，可以假設(shè)系統(tǒng)在開始時是靜止的，并且假設(shè)無誤差信號，這樣就可以單獨計算系統(tǒng)對擾動的響應(yīng)CN(s)。這一響應(yīng)可由下式求得：

另一方面，在研究系統(tǒng)對參考輸入量的響應(yīng)時，可以假設(shè)擾動量等于零。這時系統(tǒng)對參考輸入量R(s)的響應(yīng)CR(s)可由下式求得：

將上述兩個單獨的響應(yīng)相加，就可以得到參考輸入量和擾動量同時作用時的響應(yīng)。換句話說，參考輸入量R(s)和擾動量N(s)同時作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)的響應(yīng)C(s)為

另一方面，當G1(s)G2(s)H(s)的增益增大時，閉環(huán)傳遞函數(shù)CR(s)/R(s)趨近于1/H(s)。這表明，當 >>1時，閉環(huán)傳遞函數(shù)CR(s)/R(s)將變成與G1(s)和G2(s)無關(guān)，而只與H(s)成反比關(guān)系，因此G1(s)和G2(s)的變化，不影響閉環(huán)傳遞函數(shù)CR(s)/R(s)。這是閉環(huán)系統(tǒng)的另一個優(yōu)點。可以容易地看出：任何閉環(huán)系統(tǒng)，當反饋傳遞函數(shù)H(s)=1時，系統(tǒng)的輸入量與輸出量相等。

畫方塊圖的步驟 在繪制系統(tǒng)的方塊圖時，首先列寫描述每一個元件動態(tài)特性的方程式。然后假定初始條件等于零，對這些方程式進行拉普拉斯變換，并將每一個拉普拉斯變換方程分別以方塊的形式表示出來。最后將這些方塊單元結(jié)合在一起，以組成完整的方塊圖。

方塊圖的簡化 應(yīng)當強調(diào)指出，只有當一個方塊的輸出量不受其后的方塊影響時，才能夠?qū)⑺鼈兇?lián)連接。如果在這些元件之間存在著負載效應(yīng)，就必需將這些元件歸并為一個單一的方塊。
任意數(shù)量串聯(lián)的、表示無負載效應(yīng)元件的方塊，可以用一個單一的方塊代替，它的傳遞函數(shù)，就等于各單獨傳遞函數(shù)的乘積。

一個包含著許多反饋回路的復(fù)雜的方塊圖，可以應(yīng)用方塊圖的代數(shù)法則，經(jīng)過逐步重新排列和整理而得到簡化。在表2-1中，列舉了一些比較常見的方塊圖代數(shù)法則。這些代數(shù)法則說明，同一個方程式可以用不同的方法表示。通過重新排列和代換，將方塊圖簡化后，可以使以后的數(shù)學(xué)分析工作很容易進行。但是應(yīng)當指出，當方塊圖得到簡化后，新的方塊卻變得更加復(fù)雜了，因為產(chǎn)生了新的極點和零點。

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在方塊圖簡化過程中，應(yīng)記住以下兩條原則：

1．前向通道中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變；
2．回路中傳遞函數(shù)的乘積必須保持不變。

方塊圖簡化的一般法則是移動分支點和相加點，交換相加點，減少內(nèi)反饋回路。下面舉例說明方塊圖的變換和化簡。