控制系統(tǒng)的時(shí)域分析法--二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

在分析或設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，二階系統(tǒng)的響應(yīng)特性常被視為一種基準(zhǔn)。雖然在實(shí)際中幾乎沒有二階系統(tǒng)，而是三階或更高階系統(tǒng)，但是它們有可能用二階系統(tǒng)去近似，或者其響應(yīng)可以表示為一、二階系統(tǒng)響應(yīng)的合成。因此，將對(duì)二階系統(tǒng)的響應(yīng)進(jìn)行重點(diǎn)討論。

典型的二階系統(tǒng)的方框圖如圖3-6所示，它由一個(gè)非周期環(huán)節(jié)和一個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

令

則

從上式不難求得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為

(3-12)

式中ζ ：阻尼比

ωn：無阻尼自然振蕩角頻率

振蕩角頻率ωd的單位本為rad/s，但因弧度本身無量綱，只表示比值的概念。在研究控制系統(tǒng)時(shí)習(xí)慣上寫為s-1，同時(shí)也常簡(jiǎn)稱ωd為頻率。

由式（3-12）可知，系統(tǒng)極點(diǎn)的實(shí)部為σ，它控制著時(shí)間響應(yīng)的暫態(tài)分量是發(fā)散還是衰減，以及暫態(tài)分量隨時(shí)間的變化率。當(dāng)σ>0時(shí)，暫態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)而發(fā)散，當(dāng)σ0時(shí)，暫態(tài)響應(yīng)隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減。由于σ＝-ζωn，且ωn不可能為負(fù)值，所以，又可以看出，當(dāng) ζ0時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)將隨時(shí)間增長(zhǎng)而發(fā)散，而當(dāng) ζ>0時(shí)，系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)才能隨時(shí)間增長(zhǎng)而衰減。

當(dāng)阻尼比ζ=1時(shí)，系統(tǒng)具有兩重實(shí)極點(diǎn)，于是系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)中沒有周期分量，暫態(tài)響應(yīng)將隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律而單調(diào)衰減。此時(shí)稱系統(tǒng)處于臨界阻尼情況。

當(dāng)ζ=0時(shí)，系統(tǒng)將具有一對(duì)純虛數(shù)極點(diǎn)，其值為s₁,s₂=±jω此時(shí)稱系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)將是恒定振幅的周期函數(shù)，并且將 稱為無阻尼自然振蕩角頻率，或簡(jiǎn)稱為無阻尼自然振蕩頻率。

當(dāng)0 ζ1時(shí)，系統(tǒng)具有一對(duì)實(shí)部為負(fù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)，系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)將是振幅隨時(shí)間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律衰減的周期函數(shù)，此時(shí)稱系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。

在圖3-7中表示出當(dāng) 為不同值時(shí)，相應(yīng)系統(tǒng)極點(diǎn)的分布與階躍響應(yīng)的圖形。

(a) ζ>1（左半平面有相異實(shí)根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(b) ζ=1（左半平面有相同實(shí)根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(c)0 ζ1（左半平面有帶負(fù)實(shí)根的共軛虛根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(d)ζ =0（虛軸上帶共軛虛根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(e)0>ζ >-1（右半平面有帶正實(shí)根的共軛虛根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

(f) ζ-1（右半平面有相異正實(shí)根）時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)

圖3-8說明系統(tǒng)極點(diǎn)的位置與ζ 、ωn 、σ及ωd之間的關(guān)系。對(duì)于標(biāo)出的一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)ωn是從極點(diǎn)到s平面原點(diǎn)的徑向距離，σ是極點(diǎn)的實(shí)部，ωd是極點(diǎn)的虛部，而阻尼比ζ等于極點(diǎn)到s平面原點(diǎn)間徑向線與負(fù)實(shí)軸之間夾角的余弦，即 ζ=cosθ

阻尼比ζ是二階系統(tǒng)的重要特征參量。

下面分析過阻尼、臨界阻尼和負(fù)阻尼三種情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

(1) 欠阻尼情況( 0 ζ1 )

此時(shí)

式中 ,ωd頻率叫阻尼自然頻率。對(duì)于單位階躍輸入，C(s)可以寫成

為求出上式的拉普拉斯反變換，將上式寫成下列形式

其拉普拉斯反變換為

（3-13）

由上式可以看出，暫態(tài)振蕩頻率為阻尼自然頻率，它是隨阻尼比ζ而變化的。這一系統(tǒng)的誤差信號(hào)，是輸入量與輸出量之差，即

顯然，這個(gè)誤差信號(hào)為一阻尼正弦振蕩。穩(wěn)態(tài)時(shí)或t=∞時(shí)，輸入量與輸出量之間不存在誤差。

如果阻尼比ζ等于零，那么系統(tǒng)的響應(yīng)變?yōu)闊o阻尼等幅振蕩。將ζ=0值代入（3-13），便可得到零阻尼情況下的響應(yīng)c(t)，即

從上式可以看出，ωn代表系統(tǒng)的無阻尼自然頻率。即如果阻尼系數(shù)減少到零時(shí)，系統(tǒng)將以頻率ωn振動(dòng)。如果線性系統(tǒng)具有一定阻尼，就不可能通過實(shí)驗(yàn)得到無阻尼自然頻率，而只能得到阻尼自然頻率ωd，ωd 等于