控制系統(tǒng)的時域分析法--二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應

在分析或設計系統(tǒng)時，二階系統(tǒng)的響應特性常被視為一種基準。雖然在實際中幾乎沒有二階系統(tǒng)，而是三階或更高階系統(tǒng)，但是它們有可能用二階系統(tǒng)去近似，或者其響應可以表示為一、二階系統(tǒng)響應的合成。因此，將對二階系統(tǒng)的響應進行重點討論。

典型的二階系統(tǒng)的方框圖如圖3-6所示，它由一個非周期環(huán)節(jié)和一個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

令

則

從上式不難求得閉環(huán)系統(tǒng)的極點為

(3-12)

式中ζ ：阻尼比

ωn：無阻尼自然振蕩角頻率

振蕩角頻率ωd的單位本為rad/s，但因弧度本身無量綱，只表示比值的概念。在研究控制系統(tǒng)時習慣上寫為s-1，同時也常簡稱ωd為頻率。

由式（3-12）可知，系統(tǒng)極點的實部為σ，它控制著時間響應的暫態(tài)分量是發(fā)散還是衰減，以及暫態(tài)分量隨時間的變化率。當σ>0時，暫態(tài)響應隨時間增長而發(fā)散，當σ0時，暫態(tài)響應隨時間增長而衰減。由于σ＝-ζωn，且ωn不可能為負值，所以，又可以看出，當 ζ0時，系統(tǒng)暫態(tài)響應將隨時間增長而發(fā)散，而當 ζ>0時，系統(tǒng)暫態(tài)響應才能隨時間增長而衰減。

當阻尼比ζ=1時，系統(tǒng)具有兩重實極點，于是系統(tǒng)暫態(tài)響應中沒有周期分量，暫態(tài)響應將隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律而單調衰減。此時稱系統(tǒng)處于臨界阻尼情況。

當ζ=0時，系統(tǒng)將具有一對純虛數(shù)極點，其值為s₁,s₂=±jω此時稱系統(tǒng)處于無阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)的暫態(tài)響應將是恒定振幅的周期函數(shù)，并且將 稱為無阻尼自然振蕩角頻率，或簡稱為無阻尼自然振蕩頻率。

當0 ζ1時，系統(tǒng)具有一對實部為負的復數(shù)極點，系統(tǒng)的暫態(tài)響應將是振幅隨時間按指數(shù)函數(shù)規(guī)律衰減的周期函數(shù)，此時稱系統(tǒng)處于欠阻尼狀態(tài)。

在圖3-7中表示出當 為不同值時，相應系統(tǒng)極點的分布與階躍響應的圖形。

(a) ζ>1（左半平面有相異實根）時系統(tǒng)響應

(b) ζ=1（左半平面有相同實根）時系統(tǒng)響應

(c)0 ζ1（左半平面有帶負實根的共軛虛根）時系統(tǒng)響應

(d)ζ =0（虛軸上帶共軛虛根）時系統(tǒng)響應

(e)0>ζ >-1（右半平面有帶正實根的共軛虛根）時系統(tǒng)響應

(f) ζ-1（右半平面有相異正實根）時系統(tǒng)響應

圖3-8說明系統(tǒng)極點的位置與ζ 、ωn 、σ及ωd之間的關系。對于標出的一對共軛復數(shù)極點ωn是從極點到s平面原點的徑向距離，σ是極點的實部，ωd是極點的虛部，而阻尼比ζ等于極點到s平面原點間徑向線與負實軸之間夾角的余弦，即 ζ=cosθ

阻尼比ζ是二階系統(tǒng)的重要特征參量。

下面分析過阻尼、臨界阻尼和負阻尼三種情況下，二階系統(tǒng)的單位階躍響應。

(1) 欠阻尼情況( 0 ζ1 )

此時

式中 ,ωd頻率叫阻尼自然頻率。對于單位階躍輸入，C(s)可以寫成

為求出上式的拉普拉斯反變換，將上式寫成下列形式

其拉普拉斯反變換為

（3-13）

由上式可以看出，暫態(tài)振蕩頻率為阻尼自然頻率，它是隨阻尼比ζ而變化的。這一系統(tǒng)的誤差信號，是輸入量與輸出量之差，即

顯然，這個誤差信號為一阻尼正弦振蕩。穩(wěn)態(tài)時或t=∞時，輸入量與輸出量之間不存在誤差。

如果阻尼比ζ等于零，那么系統(tǒng)的響應變?yōu)闊o阻尼等幅振蕩。將ζ=0值代入（3-13），便可得到零阻尼情況下的響應c(t)，即

從上式可以看出，ωn代表系統(tǒng)的無阻尼自然頻率。即如果阻尼系數(shù)減少到零時，系統(tǒng)將以頻率ωn振動。如果線性系統(tǒng)具有一定阻尼，就不可能通過實驗得到無阻尼自然頻率，而只能得到阻尼自然頻率ωd，ωd 等于