控制系統(tǒng)的時域分析法--高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

控制系統(tǒng)的時域分析法--高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)

當(dāng)系統(tǒng)高于二階時，將其稱為高階系統(tǒng)。其傳遞函數(shù)一般可以寫成如下形式

將上式進行因式分解，可寫成

式中 si：傳遞函數(shù)極點，i=1、2、…、n；
zj：傳遞函數(shù)極點，j=1、2、…、m。

假定系統(tǒng)所有零點、極點互不相同，并假定極點中有實數(shù)極點和復(fù)數(shù)極點，而零點中只有實數(shù)零點。當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時，其階躍響應(yīng)的象函數(shù)為

=++

式中 m：傳遞函數(shù)零點總數(shù)；
n：傳遞函數(shù)極點總數(shù)，n=q+2r；
q：實極點數(shù)；
r：共軛復(fù)數(shù)極點的對數(shù)。

對上式求取原函數(shù)，即得高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)：

c(t) = A ++

式中 Ai =

Dk =

θk=

sk=-

由此可見，高階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)是一階和二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)分量的合成。可以得到如下結(jié)論：

1.高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)si及 決定。假設(shè)系統(tǒng)的一對復(fù)數(shù)極點與虛軸間距離為 ，另一對復(fù)數(shù)極點與虛軸間距離是其5倍，即5 ，如按式（3-15）估算，后者對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減時間大約為前者的1/5，由此可知，系統(tǒng)的極點在s平面左半部距虛軸愈遠，相應(yīng)的暫態(tài)分量衰減得愈快。

2. 高階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)各分量的系數(shù)Ai和Dk不僅與s平面中極點的位置有關(guān)，并且與零點的位置也有關(guān)。當(dāng)某極點si愈靠近某一零點zj而遠離其他極點，同時與s平面的原點相距也很遠，則相應(yīng)分量的系數(shù)Ai越小，該暫態(tài)分量的影響就小。若一對零、極點互相接近，則該極點對暫態(tài)響應(yīng)幾乎沒有影響。極端情況，若一對零、極點重合（偶極子），則該極點對暫態(tài)響應(yīng)無任何影響。若某極點si遠離零點，但距S平面原點較近，則相應(yīng)的該分量的系數(shù)Ai就比較大，于是，該分量對暫態(tài)響應(yīng)的影響就較大。因此，對于系數(shù)很小的分量以及遠離虛軸的極點對應(yīng)的衰減很快的暫態(tài)分量?？珊雎?，于是高階系統(tǒng)的響應(yīng)就可以用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似。

3. 如果高階系統(tǒng)中距離虛軸最近的極點，其實部比其他極點的實部的1/5還要小，并且該極點附近沒有零點，則可以認為系統(tǒng)的響應(yīng)主要由該極點決定。這些對系統(tǒng)響應(yīng)起主導(dǎo)作用的極點，稱為系統(tǒng)主導(dǎo)極點。高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點常是共軛復(fù)數(shù)極點。如能找到一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點，則高階系統(tǒng)就可以近似地當(dāng)作二階系統(tǒng)來分析，相應(yīng)地其暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)都可以按二階系統(tǒng)來近似估計。

在設(shè)計一個高階系統(tǒng)的時候，常利用主導(dǎo)極點這一概念選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點，這樣就可以近似地用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來設(shè)計系統(tǒng)。詳見后面有關(guān)系統(tǒng)設(shè)計章節(jié)的內(nèi)容。