邏輯代數(shù)的化簡算法

邏輯代數(shù)的化簡算法

觀察函數(shù)

1.該函數(shù)有四個(gè)邏輯變量，可表示成

Y=f(A、B、C、D)

2.該函數(shù)有三個(gè)乘積項(xiàng)：第一項(xiàng)有四個(gè)因子——四個(gè)變量在乘積項(xiàng)中都出現(xiàn)了。第二項(xiàng)有三個(gè)因子——缺少變量B（或）。第三項(xiàng)缺少變量C、D（或、）。

3.第一個(gè)乘積項(xiàng)是A、B、C、D的一個(gè)最小項(xiàng)，其余二項(xiàng)均不是A、B、C、D的最小項(xiàng)。

最小項(xiàng)：n個(gè)邏輯變量A1、A2、…… An組成的邏輯系統(tǒng)中含n個(gè)因子的乘積項(xiàng)——每個(gè)變量（或）在乘積項(xiàng)中只出現(xiàn)一次，稱這樣的乘積項(xiàng)為最小項(xiàng)。

兩個(gè)邏輯變量A、B有22＝4個(gè)最小項(xiàng)，分別是：、、、。

三個(gè)邏輯變量A、B、C有23＝8個(gè)最小項(xiàng)，分別是：、、、、、、、。

四個(gè)邏輯變量A、B、C、D有24＝16個(gè)最小項(xiàng)。

練習(xí)：寫出A、B、C、D的十六個(gè)最小項(xiàng)。

最小項(xiàng)的性質(zhì)：

（1）對變量的任意一組取值，只有一個(gè)最小項(xiàng)為1，其余最小項(xiàng)全為0。二變量A、B的最小項(xiàng)為：、、、。對A、B的任意一組取值：

A=0 B=0 =1 其余三項(xiàng)全為0，即＝＝＝0

A=0 B=1 = 1 其余三項(xiàng)全為0

A=1 B=0 = 1 其余三項(xiàng)全為0

A=1 B=1 = 1 其余三項(xiàng)全為0

（2）全體最小項(xiàng)之和為1。（讀者自己證明）

（3）任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0。

最小項(xiàng)的編號：

三變量A、B、C的八組取值000、001、……111能分別使八個(gè)最小項(xiàng)的值為1，又與十進(jìn)制數(shù)0，1……7的二進(jìn)制數(shù)表示相同。用0～7編號八個(gè)最小項(xiàng)，記為：m0、m1、m2、m3、m4、m5、m6、m7，則m7＝m111＝，……m4＝m100＝，m0＝m000＝。

練習(xí)：讀者試寫出四變量A、B、C、D的十六個(gè)最小項(xiàng)m0、m1……m15。

邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和形式

任何邏輯函數(shù)都可化為最小項(xiàng)之和的標(biāo)準(zhǔn)形式

例：將下列函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式

反函數(shù)的最小項(xiàng)之和表示

例：求二變量A，B的邏輯函數(shù)的反函數(shù)。

解一：

解二：列真值表

由真值表寫出的邏輯表達(dá)式

(全體最小項(xiàng)之和)

如三變量A,B,C的邏輯函數(shù)則必有

結(jié)論：在n個(gè)變量的邏輯系統(tǒng)中，如果Y為i個(gè)最小項(xiàng)之和，則必為余下的（n－i）個(gè)最小項(xiàng)之和。

異或運(yùn)算與同或運(yùn)算

定義： 稱A與B異或，為異或運(yùn)算符

A與B同或，為同或運(yùn)算符

顯然：

異或與同或互為反函數(shù)

由此推得：

即兩者相等為0，不相等為1

同或運(yùn)算則與之相反，且有

同學(xué)自己證明并牢記。

例1． 將下列函數(shù)化為最簡與或式。

例2． A，B的波形如下圖所示,試畫出的波形。

最小項(xiàng)的相鄰性

任何兩個(gè)最小項(xiàng)如果他們只有一個(gè)因子不同，其余因子都相同，則稱這兩個(gè)最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)。

顯然，m0與m1具有相鄰性，而與不相鄰，因?yàn)樗麄冇袃蓚€(gè)因子不相同。m3與m4也不相鄰，而m3與m2相鄰。

相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)之和可以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。如：

卡諾圖

卡諾圖是美國工程師卡諾（Karnaugh）發(fā)明的。用小方塊（格）來表示最小項(xiàng)。三變量的卡諾圖畫八個(gè)小方塊（格）來表示八個(gè)最小項(xiàng)，四變量的卡諾圖畫十六個(gè)小方塊來表示十六個(gè)最小項(xiàng)?！?/P>