單片機(jī)浮點(diǎn)數(shù)的實(shí)用快速除法介紹

作為單片機(jī)程序員來說，在編寫程序時(shí)經(jīng)常要檢驗(yàn)程序中的浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算結(jié)果是否正確，但手中又沒有合適的檢驗(yàn)工具，非常麻煩。而一般單片機(jī)是沒有浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算指令的，必須自行編制相應(yīng)軟件。在進(jìn)行除法計(jì)算時(shí)，通常使用的方法是比較除法，即利用循環(huán)移位和減法操作來得到24～32位商，效率很低。這里給出一種浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算的實(shí)用快速算法。該方法以數(shù)值計(jì)算中的預(yù)估-修正方法為指導(dǎo)，充分利用了16位單片機(jī)的乘除法功能，很輕易地實(shí)現(xiàn)了浮點(diǎn)數(shù)的除法。

　　1 浮點(diǎn)數(shù)格式

　　IEEE的浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了單精度（4字節(jié)）、雙精度（8字節(jié)）和擴(kuò)展精度（10字節(jié)）三種浮點(diǎn)數(shù)的格式。最常用的是單精度浮點(diǎn)數(shù)，格式如圖1所示。但是這種格式的階碼不在同一個(gè)字節(jié)單元內(nèi)，不易尋址，從而會(huì)影響運(yùn)算速度。

　　通常在單片機(jī)上采用的是一種變形格式的浮點(diǎn)數(shù)，如圖2所示。其中的23位尾數(shù)加上隱含的最高位1，構(gòu)成一個(gè)定點(diǎn)原碼小數(shù)，即尾數(shù)為小于1大于等于0.5的小數(shù)。

　　2 快速除法的算法原理

　　在16位單片機(jī)中只有16位的乘除法，而浮點(diǎn)數(shù)的精度（即尾數(shù)的有效位數(shù)）達(dá)24位，因此無法直接相除，但依然可以利用16位的乘除法指令來實(shí)現(xiàn)24位除法。不過，如果只進(jìn)行一次16位的除法必定會(huì)帶來很大誤差，因此問題的關(guān)鍵在于如何消除這個(gè)誤差，從而達(dá)到要求的精度。這其實(shí)就是通常數(shù)值計(jì)算中所采用的預(yù)估-修正方法。

　　假設(shè)兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)經(jīng)過預(yù)處理后，被除數(shù)和除數(shù)尾數(shù)擴(kuò)展為32位（末8位為0）分別放入X和Y中。鄰YL為Y的低16位，并記YH=Y-YL。顯然YH≈Y，X/Y與Y/YH相差不多：

　　可見只需要在X/YH的基礎(chǔ)上再乘以一個(gè)修正因子（YH-YL）/YH，就可以得到X/Y的一次校準(zhǔn)值。不難證明這個(gè)值已經(jīng)達(dá)到了24位的精度要求。事實(shí)上，相對誤差滿足：

　　這說明這個(gè)一次校準(zhǔn)值完全可以作為最終的結(jié)果。

　　3 算法的具體實(shí)現(xiàn)

　　在具體實(shí)現(xiàn)本算法時(shí)，主要經(jīng)過下列步驟：

　　這里的YH雖仍是32位，但其低16位已為0，計(jì)算時(shí)可以將它視為16位數(shù)，這不會(huì)影響計(jì)算精度。通過兩次16位除法，就可得到精確的32位結(jié)果。例如，計(jì)算Q0時(shí)，第一次除法，X除以YH的高16位，得到的商為Q0的高16位，而16位余數(shù)末尾添0成32位，再除以YH的高16位，得到Q0的低16位（余數(shù)舍去）。由此得到了32位的Q0。

　　在具體運(yùn)算中，X應(yīng)選除以4（X左移2位），以保證Q0不會(huì)溢出（YH取高16位）：

　　由于X為32位（末8位為0），這一操作不影響有效數(shù)字。而，不存在溢出的問題。最后計(jì)算校準(zhǔn)值Q時(shí)，有。

　　在計(jì)算Q0'、Q1時(shí)，均進(jìn)行了兩次16位除法，使得Q0'、Q1均為精確的32位，保證了計(jì)算過程中的精度，減小了累積誤差。對于YL=0即除數(shù)只有16位有效數(shù)字的特殊情況，直接有Q1=1，還能省去兩次16位除法。