深入淺出的學習傅里葉變換

　　再看一個看似簡單的波形：

　　這個波形有點像正弦波，但是，比正弦波尖，俗稱“尖頂波”，多見于變壓器空載電流輸入波形。

　　我們很難準確定量其與正弦波的區(qū)別。

　　采用傅里葉變換后，得到下述頻譜(幅值譜)：

　　主要包括3、5、7、9次諧波，一目了然!

　　傅里葉變換是一種信號分析方法，讓我們對信號的構成和特點進行深入的、定量的研究。把信號通過頻譜的方式(包括幅值譜、相位譜和功率譜)進行準確的、定量的描述。

　　這就是傅里葉變換的主要目的。

　　現(xiàn)在，我們知道傅里葉變換的目的了， 剩下的問題是：

　　2為什么傅里葉變換要把信號分解為正弦波的組合，而不是方波或三角波?

　　其實，如果張三能夠證明， 任意信號可以分解為方波的組合，其分解的方法不妨稱為張三變換;李四能夠證明，任意信號可以分解為三角波的組合，其分解的方法也可以稱為李四變換。

　　傅里葉變換是一種信號分析的方法。既然是分析方法，其目的應該是把問題變得更簡單，而不是變得更復雜。傅里葉選擇了正弦波，沒有選擇方波或其它波形，正好是其偉大之處!

　　正弦波有個其它任何波形(恒定的直流波形除外)所不具備的特點：正弦波輸入至任何線性系統(tǒng)，出來的還是正弦波，改變的僅僅是幅值和相位，即：正弦波輸入至線性系統(tǒng)，不會產(chǎn)生新的頻率成分(非線性系統(tǒng)如變頻器，就會產(chǎn)生新的頻率成分，稱為諧波)。用單位幅值的不同頻率的正弦波輸入至某線性系統(tǒng)，記錄其輸出正弦波的幅值和頻率的關系，就得到該系統(tǒng)的幅頻特性，記錄輸出正弦波的相位和頻率的關系，就得到該系統(tǒng)的相頻特性。

　　線性系統(tǒng)是自動控制研究的主要對象，線性系統(tǒng)具備一個特點，多個正弦波疊加后輸入至一個系統(tǒng)，輸出是所有正弦波獨立輸入時對應輸出的疊加。

　　也就是說，我們只要研究正弦波的輸入輸出關系，就可以知道該系統(tǒng)對任意輸入信號的響應。

　　這就是傅里葉變換的最主要的意義!

　　四如何求傅里葉變換?

　　文章開始就說了，具體求傅里葉變換，有成熟的函數(shù)可供調用。本文只講述如何理解傅里葉變換的思想。如果你掌握了這個思想，不用再記公式，也不用去調用什么函數(shù)，自己編個簡單程序就可實現(xiàn)。就算你不會編程，只要你學過三角函數(shù)，至少可以理解傅里葉變換的過程。

　　傅里葉的偉大之處不在于如何進行傅里葉變換，而是在于給出了“任何連續(xù)周期信號可以由一組適當?shù)恼仪€組合而成”這一偉大的論斷。

　　知道了這一論斷，只要知道正弦函數(shù)的基本特性，變換并不難，不要記公式，你也能實現(xiàn)傅里葉變換!

　　正弦函數(shù)有一個特點，叫做正交性，所謂正交性，是指任意兩個不同頻率的正弦波的乘積，在兩者的公共周期內的積分等于零。

　　這是一個非常有用的特性，我們可以利用這個特性設計一個如下的檢波器(下稱檢波器A)：

　　檢波器A由一個乘法器和一個積分器構成，乘法器的一個輸入為已知頻率f的單位幅值正弦波(下稱標準正弦信號f)，另一個輸入為待變換的信號。檢波器A的輸出只與待變換信號中的頻率為f的正弦分量的幅值和相位有關。

　　待變換信號可能包含頻率為f的分量(下稱f分量)，也可能不包含f分量，總之，可能包含各種頻率分量。一句話，待變換信號是未知的，并且可能很復雜!

　　沒關系，我們先看看，待變換信號是否包含f分量。

　　因為其它頻率分量與標準正弦信號f的乘積的積分都等于零，檢波器A可以當它們不存在!經(jīng)過檢波器A，輸出就只剩下與f分量有關的一個量，這個量等于待變換信號中f分量與標準正弦信號f的乘積的積分。

　　很容易得到的結論是：

　　如果輸出不等于零，就說明輸入信號包含f分量!

　　這個輸出是否就是f分量呢?

　　答案：不一定!

　　正弦波還有下述的特性：

　　相同頻率的正弦波，當相位差為90°時(正交)，在一個周期內的乘積的積分值等于零;當相位相同時，積分值達到最大，等于兩者的有效值的乘積，當相位相反時，積分值達到最小，等于兩者的有效值的乘積取反。

　　我們知道標準正弦信號f的初始相位為零，但是，我們不知道f分量的初始相位!如果f分量與標準正弦信號f的相位剛好差90°(或270°)，檢波器A輸出也等于零!為此，我們再設計一個檢波器B：

　　檢波器B與檢波器A的不同之處在于檢波器B用一個標準余弦信號f(與標準正弦信號A相位差90°)替代濾波器A中的標準正弦信號f。如果待變換信號中包含f分量，檢波器A和檢波器B至少有一個輸出不等于零。

　　利用三角函數(shù)的基礎知識可以證明，不論f分量的初始相位如何，檢波器A和檢波器B輸出信號的幅值的方和根就等于f分量的幅值;而檢波器B和檢波器A的幅值的比值等于f分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f分量的相位。

　　我們再把標準正弦信號f和標準余弦信號f的頻率替換成我們關心的任意頻率，就可以得到輸入信號的各種頻率成分。如果知道輸入信號的頻率，把這個頻率作為基波頻率f0，用f0、2f0、3f0依次替代標準正弦信號f和標準余弦信號f的頻率，就可以得到輸入信號的基波、2次諧波和3次諧波。

　　這就是傅里葉變換!

　　什么?不會積分?

　　沒有關系，實際上，在諧波檢測儀、電能質量分析儀等各類電參量測量儀器中，現(xiàn)在用的都是基于交流采樣的離散傅里葉變換，在離散信號處理中，累加就是積分!

　　傅里葉變換就是這么簡單，您學會了嗎?