17歲高中生證明數(shù)學(xué)界存在27年難題，「他的論文值得任何數(shù)學(xué)家為之自豪」

英雄出少年，屬于偽素?cái)?shù)的卡邁克爾數(shù)的分布問題被一位高中生弄明白了！

回想一下，你的高中在干什么，有沒有值得驕傲的一件事。本文我們將要介紹的這位學(xué)生，名叫 Daniel Larsen，在高中的最后一年里，他證明了卡邁克爾數(shù)（Carmichael numbers）的關(guān)鍵定理。在他發(fā)表了自己的證明后，Larsen 被 MIT 錄取，主修數(shù)學(xué)。

一位數(shù)學(xué)家對(duì)這一研究給與極高的贊譽(yù)：任何數(shù)學(xué)家攻克這一證明都會(huì)為之自豪。更別說是一位高中生了。

早在 Daniel Larsen 上中學(xué)時(shí)，他就對(duì)填字游戲癡迷，還曾兩次贏得地區(qū)比賽。他的母親 Ayelet Lindenstrauss 曾這樣形容他：Larsen 決定開始干一件事就非常專注，直到成功。迄今為止，Larsen 還保持著這樣一項(xiàng)記錄，他是在《紐約時(shí)報(bào)》上發(fā)表填字游戲最年輕的人，當(dāng)年他才 13 歲。

不過，他的母親表示，Larsen 在過去的一年里開始思考關(guān)于數(shù)學(xué)的問題。這一轉(zhuǎn)變源于一個(gè)更廣泛的問題，曾被數(shù)學(xué)家 Carl Friedrich Gauss（高斯）評(píng)價(jià)為數(shù)學(xué)中最重要的問題之一：如何區(qū)分素?cái)?shù)（只能被 1 和自身整除的數(shù)）和合數(shù)。數(shù)百年來，數(shù)學(xué)家們一直在尋找有效的方法來解決這個(gè)問題。

一個(gè)多世紀(jì)以前，在尋求快速、強(qiáng)大的素性測試 (Primality test) 過程中，數(shù)學(xué)家偶然發(fā)現(xiàn)了一些麻煩——有些數(shù)不是素?cái)?shù)，也會(huì)讓測試誤以為它們是素?cái)?shù)。這些被稱為卡邁克爾數(shù)的偽素?cái)?shù)特別難以掌握。直到 1990 年代中期，數(shù)學(xué)家才證明它們的數(shù)量是無限的。這就引出另一個(gè)問題，要想進(jìn)一步了解它們在數(shù)軸上的分布情況，則是一個(gè)更大的挑戰(zhàn)。

后來 Larsen 提出了一個(gè)新的證明，感興趣的小伙伴可以閱讀下面的論文。發(fā)現(xiàn)這項(xiàng)證明時(shí)，Larsen 只有 17 歲。

論文地址：https://academic.oup.com/imrn/advance-article-abstract/doi/10.1093/imrn/rnac203/6647493?redirectedFrom=fulltext&login=false

打小就對(duì)數(shù)學(xué)感興趣

Larsen 在印第安納州布盧明頓長大，一直被數(shù)學(xué)所吸引。他的父母都是數(shù)學(xué)家，在他和姐姐很小的時(shí)候，父母就向他們介紹了這門學(xué)科。（他的姐姐現(xiàn)在正在攻讀數(shù)學(xué)博士學(xué)位。）當(dāng) Larsen 3 歲時(shí)，他就開始詢問母親關(guān)于無窮大本質(zhì)的哲學(xué)問題。 

幾年前，他還沉浸在填字游戲，偶然的一次機(jī)會(huì)，他發(fā)現(xiàn)了一部關(guān)于張益唐的紀(jì)錄片深受啟發(fā)。張益唐于 2013 年 4 月在《數(shù)學(xué)年刊》上發(fā)表《素?cái)?shù)間的有界間隔》，首次證明了存在無窮多對(duì)間隙為有限的素?cái)?shù)，從而在孿生素?cái)?shù)猜想這一數(shù)論難題上取得質(zhì)的突破。半生潦倒，58 歲時(shí)憑此證明，成為公認(rèn)的數(shù)論學(xué)家。其坎坷而傳奇的數(shù)學(xué)旅程在學(xué)術(shù)圈內(nèi)外引起反響。

在此啟發(fā)下，Larsen 對(duì)數(shù)論的思考根本停不下來，他對(duì)數(shù)論中著名的未解決問題孿生素?cái)?shù)猜想開始產(chǎn)生興趣。該問題可以這樣描述：孿生素?cái)?shù)就是指相差為 2 的素?cái)?shù)對(duì)，例如 3 和 5，5 和 7，11 和 13…

張益唐的研究證明了存在無窮多對(duì)相差小于 7000 萬的素?cái)?shù)，之后其他人也加入進(jìn)來，隨后的幾個(gè)月內(nèi)，數(shù)學(xué)家 James Maynard 和陶哲軒他們獨(dú)立地證明了關(guān)于素?cái)?shù)差距的研究。此后，這一差距縮小到 246 個(gè)。

Larsen 想了解 Maynard 和陶哲軒研究背后的數(shù)學(xué)原理，不過 Larsen 發(fā)現(xiàn)他們的論文太復(fù)雜了，他試圖閱讀相關(guān)的作品，卻發(fā)現(xiàn)這些也難以理解。Larsen 一直在堅(jiān)持，直到 2021 年 2 月，他發(fā)現(xiàn)了一篇他認(rèn)為既漂亮又易于理解的論文，主題是：卡邁克爾數(shù)，這些奇怪的合數(shù)有時(shí)會(huì)偽裝成素?cái)?shù)。

卡邁克爾數(shù)

17 世紀(jì)中葉，法國數(shù)學(xué)家皮埃爾 · 德 · 費(fèi)馬 (Pierre de Fermat) 給他的朋友兼知己 Frénicle de Bessy 寫了一封信，他在信中陳述了后來被稱為費(fèi)馬小定理（little theorem）的東西。即如果 N 是素?cái)?shù)，那么無論 b 是什么，b^N- b 始終是 N 的倍數(shù)。例如，7 是素?cái)?shù)，因此 2^7 – 2（等于 126）是 7 的倍數(shù)，類似地，3^7 – 3 是 7 的倍數(shù)，依此類推。

數(shù)學(xué)家看到了完美檢驗(yàn)給定數(shù)字是素?cái)?shù)還是合數(shù)的潛力。他們知道如果 N 是素?cái)?shù)，則 b^N – b 總是 N 的倍數(shù)。如果反過來會(huì)成立嗎？也就是說，如果 b^N – b 是所有值 b 的 N 的倍數(shù)，那么 N 一定是素?cái)?shù)嗎？

事實(shí)證明，在極少數(shù)情況下，N 可以滿足這個(gè)條件并且仍然是合數(shù)。最小的數(shù)字是 561：對(duì)于任何整數(shù) b，b^561 – b 始終是 561 的倍數(shù)，即使 561 不是素?cái)?shù)。像這樣的數(shù)字是以數(shù)學(xué)家 Robert Carmichael 的名字命名的。

Larsen 完成證明后，他給數(shù)論領(lǐng)域的一些頂尖人士都發(fā)了一份草稿。令他驚訝的是，他們都讀了并回復(fù)了他。

數(shù)學(xué)家想要更好地了解這些與數(shù)論中最基本對(duì)象素?cái)?shù)非常相似的數(shù)字。事實(shí)證明，在 1899 年，另一位數(shù)學(xué)家 Alwin Korselt 提出了一個(gè)等價(jià)的定義，這要比 Carmichael 的結(jié)果早了十年。當(dāng)時(shí)，他只是不知道是否存在任何符合要求的數(shù)字。

根據(jù) Korselt 的準(zhǔn)則，當(dāng)且僅當(dāng)滿足以下三個(gè)屬性時(shí)，一個(gè)數(shù) N 即是一個(gè)卡邁克爾數(shù)。首先它必須有 1 個(gè)以上的素因數(shù)；其次沒有任何重復(fù)的素因數(shù)；最后對(duì)于每個(gè)能整除 N 的素?cái)?shù) p，p-1 也能整除 N-1。再次考慮數(shù)字 561，它等于 3 × 11 × 17，它顯然滿足 Korselt 準(zhǔn)則中的前兩個(gè)屬性。為了滿足最后一個(gè)屬性，從每個(gè)素因數(shù)中減去 1，得到 2、10 和 16。此外，561 也減去 1，這樣 2、10 和 16 都是 560 的除數(shù)。因此數(shù)字 561 是卡邁克爾數(shù)。

盡管數(shù)學(xué)家們質(zhì)疑卡邁克爾數(shù)有無限多個(gè)，但與素?cái)?shù)相比相對(duì)較少，這使得它們難以確定。之后在 1994 年，Red Alford、Andrew Granville 和 Carl Pomerance 發(fā)表了一篇突破性的論文，他們最終證明這些偽素?cái)?shù)確實(shí)是無限多的。

論文地址：https://www.jstor.org/stable/2118576?origin=crossref

遺憾的是，他們提出的方法無法說出這些卡邁克爾數(shù)的「真實(shí)面目」，比如它們是否沿著數(shù)軸成簇出現(xiàn)以及中間是否有很大的間隔？又或者是否總能在短時(shí)間內(nèi)找到一個(gè)卡邁克爾數(shù)？Granville 表示，「你會(huì)想，如果能證明它們的數(shù)量是無窮多的就好了。當(dāng)然你應(yīng)該能夠證明它們之間沒有很大的間隔，它們應(yīng)該相對(duì)間隔開?！?/span>

特別地，Granville 及其合著者希望證明一個(gè)這樣的說法，即給定足夠大的數(shù)字 X，在 X 和 2X 之間總會(huì)有一個(gè)卡邁克爾數(shù)。對(duì)此，美國國防分析研究所從事相關(guān)工作的數(shù)學(xué)家 Jon Grantham 表示，「這是表達(dá)卡邁克爾數(shù)無處不在的另一種方式。」

但幾十年來，沒有人能夠證明這一點(diǎn)。Alford、Granville 和 Pomerance 提出的方法讓我們能夠證明存在很多卡邁克爾數(shù)，但并沒有真正指出它們到底出現(xiàn)在哪里。

2021 年 11 月，轉(zhuǎn)機(jī)來了。Granville 收到了一封來自 Larsen 的電子郵件，并附上一張證明紙。令 Granville 驚訝的是，他的證明看起來是正確的。雖然讀起來并不容易，但很明顯他并不是在胡鬧，提出了絕妙的想法。

Pomerance 閱讀了 Larsen 證明的更新版本，同意其證明非常先進(jìn)，并表示「這將是一篇任何數(shù)學(xué)家都為寫下它而感到自豪的論文，況且這是一個(gè)高中生寫的?！?/span>

Larsen 證明的關(guān)鍵也是最開始將他吸引到卡邁克爾數(shù)的工作，即 Maynard 和 Terence Tao 在素?cái)?shù)間隔上的結(jié)果。

從不太可能到并非不可能

當(dāng) Larsen 第一次著手證明總能在很短的時(shí)間內(nèi)找到一個(gè)卡邁克爾數(shù)時(shí)，他表示，「卡邁爾克數(shù)看起來切切實(shí)實(shí)存在，證明它又有多難呢？」不過，他很快意識(shí)到這確實(shí)很難，并認(rèn)為這是一個(gè)考驗(yàn)我們時(shí)代技術(shù)的問題。

在 Alford、Granville 和 Pomerance 等人 1994 年的論文中，他們展示了如何創(chuàng)建無限多個(gè)卡邁克爾數(shù)。但是他們無法控制用于構(gòu)建它們的素?cái)?shù)的大小。這就是 Larsen 構(gòu)建規(guī)模相對(duì)接近的卡邁克爾數(shù)需要做的事情。

他的父親 Michael Larsen 也對(duì)這個(gè)問題的難度表示擔(dān)憂，并表示，「我不認(rèn)為這是不可能的，但我覺得我兒子不太可能成功。他在這件事上花了很長時(shí)間，如果為此付出了很多卻得不到好的結(jié)果，那對(duì)他將是毀滅性的打擊。」

不過，他父親也知道自己最好不要阻止，「當(dāng) Larsen 沉迷于自己真正感興趣的事情時(shí)，他會(huì)不顧一切地堅(jiān)持下去?！?/span>

所以，Larsen 重新回到 Maynard 的論文，特別是為了證明如果采用了某些具有足夠數(shù)字的序列，這些數(shù)字的子集一定是素?cái)?shù)。Larsen 改進(jìn)了 Maynard 的方法，將它們與 Alford、Granville 和 Pomerance 使用的方法相結(jié)合。這使他能夠確保自己最終得到的素?cái)?shù)大小不同，足以生成落在他想要的間隔內(nèi)的卡邁克爾數(shù)。

Granville 表示，「Larsen 對(duì)事情的控制比我們以往任何時(shí)候都要好，他通過巧妙地利用 Maynard 的研究實(shí)現(xiàn)了這一目標(biāo)。」芬蘭圖爾庫大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Kaisa Matom?ki 也表示，「在素?cái)?shù)之間的短間隔上利用這一研究并不容易，很高興他能夠?qū)⑺c關(guān)于卡邁克爾數(shù)字的問題結(jié)合起來?！?/span>

事實(shí)上，Larsen 的論證不僅僅讓他證明了卡邁克爾數(shù)必須始終出現(xiàn)在 X 和 2X 之間。他的證明也適用于更小的間隔。

目前，正在 MIT 讀大一的 Larsen 不確定下一步要解決什么問題。他努力上課學(xué)習(xí)，并始終保持開放的心態(tài)。Jon Grantham 對(duì)他評(píng)價(jià)稱，「他在未接受本科教育的情況下就完成了這一切，不敢想象他上了研究生又會(huì)取得哪些成果?！?/span>

原文鏈接：https://www.quantamagazine.org/teenager-solves-stubborn-riddle-about-prime-number-look-alikes-20221013/