電路基礎(chǔ)系列：交流電路篇-5復(fù)數(shù)和相量

電氣工程中使用的數(shù)學(xué)加電阻,電流或直流電壓使用所謂的“實(shí)數(shù)”作為整數(shù)或分?jǐn)?shù)。

但實(shí)際并不是唯一的號(hào)碼我們需要使用尤其是在處理頻率依賴正弦來(lái)源和向量。 以及使用正?；?qū)崝?shù),復(fù)數(shù)介紹了允許復(fù)雜的方程式解決數(shù)字是負(fù)數(shù)的平方根,√1。

電氣工程這種類型的數(shù)量被稱為一個(gè)“虛數(shù)”和區(qū)分一個(gè)實(shí)數(shù)的虛數(shù)字母“j“已知通常在電氣工程j-operator,使用。 因此,字母“j”是放置在前一個(gè)實(shí)數(shù)表示虛數(shù)的操作。

虛數(shù)的例子有：j3 ,j12 ,j100等等，然后復(fù)數(shù)由兩個(gè)不同但又非常相關(guān)的部分組成，一個(gè)“實(shí)數(shù)”加上一個(gè)“虛數(shù)”。

復(fù)數(shù)代表點(diǎn)在二維復(fù)雜或s平面所引用的兩個(gè)不同的軸。 水平軸叫做“實(shí)軸”,而縱軸稱為“虛軸”。 一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的再保險(xiǎn)(z)和Im (z),分別。

復(fù)數(shù)是由真實(shí)的(活性成分)和想象的(無(wú)功部分)數(shù)字可以添加,減去,以完全相同的方式使用初等代數(shù)用于分析直流回路。

數(shù)學(xué)中使用的規(guī)則和法律的加法或減法虛數(shù)是一樣的實(shí)數(shù),衛(wèi)星j2 +閣下=等。唯一的區(qū)別是乘法,因?yàn)閮蓚€(gè)虛數(shù)相乘變成負(fù)的實(shí)數(shù)。 實(shí)數(shù)也可以被認(rèn)為是一個(gè)復(fù)數(shù),但零虛部j?標(biāo)簽。

的j-operator有一個(gè)值相等嗎√1,所以連續(xù)乘法” j ”,(j x)將導(dǎo)致j有以下值,1, - j和+ 1。 隨著j-operator通常用來(lái)表示矢量的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),每一次乘法或的力量” j ”,j2j3等,將迫使矢量旋轉(zhuǎn)90通過(guò)一個(gè)固定的角度o在一個(gè)逆時(shí)針?lè)较蛉缦滤尽?同樣的,如果在一個(gè)向量的乘法運(yùn)算結(jié)果- j運(yùn)營(yíng)商相移將達(dá)到-90o,即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。

通過(guò)乘以一個(gè)虛數(shù)j2將旋轉(zhuǎn)向量180o逆時(shí)針?lè)较?乘以j3旋轉(zhuǎn)它270o并通過(guò)j4旋轉(zhuǎn)它360o還是回到原來(lái)的位置。 乘法的j10或通過(guò)j30將導(dǎo)致適量向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。 在每個(gè)連續(xù)旋轉(zhuǎn),矢量的大小總是保持不變。

在電氣工程有不同的方式來(lái)表示一個(gè)復(fù)數(shù)圖形或數(shù)學(xué)。 這樣的一個(gè)方式,利用余弦和正弦規(guī)則被稱為笛卡兒或矩形形式。

在過(guò)去的教程相量代表,我們看到一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的普遍形式:

• 地點(diǎn):

• Z——表示向量的復(fù)數(shù)

• x——是真正的部分或活性成分

• y虛部或活性成分

• j——定義為√1

在矩形形式,一個(gè)復(fù)數(shù)可以表示成一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)二維的平面稱為復(fù)雜的或s平面。 舉個(gè)例子,Z = 6 +閣下代表一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代表6水平實(shí)軸和4縱虛軸如圖所示。

但作為一個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的矩形形式可以是正數(shù)或負(fù)數(shù),那么真實(shí)與虛軸必須也在積極和消極兩個(gè)方向延伸。 這產(chǎn)生一個(gè)復(fù)雜的飛機(jī)有四個(gè)象限稱為根圖如下所示。

根圖,橫軸代表所有正實(shí)數(shù)的右邊垂直虛軸和所有負(fù)實(shí)數(shù)左邊的垂直虛軸。 一切積極虛數(shù)高于水平軸表示盡管所有消極的虛數(shù)低于水平實(shí)軸。 這就產(chǎn)生一個(gè)二維復(fù)平面有四個(gè)不同的象限貼上標(biāo)簽,氣, QII, QIII,QIV。

上面的根圖也可以用來(lái)代表一個(gè)旋轉(zhuǎn)相量在復(fù)平面的點(diǎn)半徑的大小是由相量將為每一個(gè)周圍畫一個(gè)完整的循環(huán)2π/ω秒。

然后我們可以進(jìn)一步擴(kuò)展這個(gè)想法給的定義一個(gè)復(fù)數(shù)在極地和矩形形式旋轉(zhuǎn)90o。

復(fù)數(shù)也可以有“零”實(shí)部或虛部如:Z = 6 + j?或Z = 0 +閣下。 在這種情況下,點(diǎn)直接繪制到真實(shí)的或假想的軸。 一個(gè)復(fù)數(shù)的角度也可以使用簡(jiǎn)單的三角函數(shù)計(jì)算計(jì)算直角三角形的角度,或測(cè)量逆時(shí)針繞著根圖從正實(shí)軸。

然后角度0到90之間o將在第一象限(我)、角(θ90年和180年之間)o在第二象限(2)。 第三象限(3)包含角在180年和270年之間o而第四個(gè)也是最后一個(gè)象限(4),完成完整的圓,包括270年和360年之間的角度o等等。 在所有的四個(gè)象限相關(guān)的角度可以發(fā)現(xiàn):

棕褐色-1(虛構(gòu)的組件÷真正的組件)

復(fù)數(shù)的加法或減法可以做數(shù)學(xué)或矩形形式的圖形。 之外,真正的部分首先加在一起形成真正的總和的一部分,然后虛部形成的虛部和和使用兩個(gè)復(fù)數(shù)這一過(guò)程如下一個(gè)和B作為例子。

兩個(gè)向量定義為,一個(gè)= 4 + j - 1和B: = 2 + j3分別。 確定兩個(gè)向量的總和和差異在兩個(gè)矩形(+ jb)形式和圖形作為根圖。

除了

減法

的復(fù)數(shù)乘法矩形形式服從或多或少相同的規(guī)則對(duì)于正常代數(shù)以及一些額外的規(guī)則的連續(xù)乘法j-operator地點(diǎn):j2= 1。 舉個(gè)例子,我們一起從上面兩個(gè)向量相乘一個(gè)= 4 + j - 1和B: = 2 + j3將給我們下面的結(jié)果。

數(shù)學(xué)上,分工的復(fù)數(shù)矩形形式更難以執(zhí)行,因?yàn)樗枰褂梅帜腹曹椇瘮?shù)分母方程轉(zhuǎn)化為一個(gè)實(shí)數(shù)。 這就是所謂的“合理化”。 然后分工的復(fù)數(shù)是最好使用“極坐標(biāo)形式”,稍后我們將看看。 然而,例如矩形形式讓發(fā)現(xiàn)的價(jià)值向量一個(gè)除以向量B。

的復(fù)共軛,或者只是共軛找到一個(gè)復(fù)數(shù)的扭轉(zhuǎn)復(fù)數(shù)的代數(shù)符號(hào)虛數(shù)只有在保持實(shí)數(shù)的代數(shù)符號(hào)相同的和確定的復(fù)共軛z符號(hào)z使用。 例如,的共軛z = 6 +閣下是z= 6 -閣下,同樣的共軛z = 6 -閣下是z= 6 +閣下。

為共軛復(fù)數(shù)根圖上的點(diǎn)有相同的水平位置與原始復(fù)數(shù)實(shí)軸,但相反的垂直位置。 因此,復(fù)雜的軛合物可以被認(rèn)為是一個(gè)復(fù)數(shù)的反映。 下面的示例顯示了一個(gè)復(fù)數(shù),6 +閣下和其在復(fù)平面的共軛。

復(fù)數(shù)及其復(fù)共軛的總和永遠(yuǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)正如我們所看到的。 然后添加一個(gè)復(fù)數(shù)及其共軛給結(jié)果作為實(shí)數(shù)或活性成分,而他們的減法了虛數(shù)或活性成分。 的共軛復(fù)數(shù)用于電氣工程是一個(gè)重要的元素的視在功率來(lái)確定交流電路使用矩形形式。

與情節(jié)點(diǎn)在復(fù)平面矩形形式,極坐標(biāo)形式復(fù)數(shù)的寫的大小和角度。 因此,提出了極坐標(biāo)形式向量為:Z =一個(gè)∠±θ,地點(diǎn):Z是極性的復(fù)數(shù)形式,一個(gè)向量的模和級(jí)嗎θ其角或論點(diǎn)的嗎一個(gè)這可以是積極的還是消極的。 點(diǎn)的大小和角度仍然一樣上面的長(zhǎng)方形形式中,這次是在極坐標(biāo)形式表示點(diǎn)的位置在一個(gè)“三角形式”,如下所示。

作為一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)表示法是基于三角形式,我們可以用簡(jiǎn)單的三角形的幾何和特別是三角學(xué)和畢達(dá)哥拉斯定理在三角形發(fā)現(xiàn)大小和角度的復(fù)數(shù)。 當(dāng)我們記得從學(xué)校,三角函數(shù)處理雙方之間的關(guān)系和三角形的角度我們可以描述雙方之間的關(guān)系為:

再次使用三角,角θ的一個(gè)給出如下。

然后在極坐標(biāo)形式的長(zhǎng)度一個(gè)和它的角代表復(fù)數(shù)而不是一個(gè)點(diǎn)。 同樣在極坐標(biāo)形式,共軛復(fù)數(shù)具有相同的大小或模角的符號(hào),變化,例如共軛6∠30o將6∠- 30o。

在矩形形式我們可以表達(dá)一個(gè)向量的直角坐標(biāo)系中,橫軸是實(shí)軸,縱軸是虛軸或j分量。 在極坐標(biāo)形式這些真實(shí)和虛構(gòu)的軸是由“一個(gè)∠θ”。 然后使用上面的例子中,矩形形式和極坐標(biāo)形式之間的關(guān)系可以被定義為。

我們也可以從矩形形式轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式如下。

矩形形式最適合加減復(fù)數(shù)以上我們看到,但是極坐標(biāo)形式通常是更好的乘法、除法。 一起用兩個(gè)向量在極坐標(biāo)形式,我們必須首先把兩個(gè)模量或他們的角度大小,然后添加在一起。

乘在一起6∠30o和8∠- 45o在極坐標(biāo)形式給我們。

同樣地,一起把兩個(gè)向量在極坐標(biāo)形式,我們必須把兩個(gè)模量,然后減去他們的角度如圖所示。

幸運(yùn)的是今天的現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算器建立數(shù)學(xué)函數(shù)(檢查你的書),允許簡(jiǎn)單的矩形轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)形式,(R→P)和從極性矩形形式,(R→P)。

到目前為止,我們已經(jīng)考慮復(fù)雜的數(shù)字矩形形式,(+ jb)和極坐標(biāo)形式,(一個(gè)∠±θ)。 但也有三分之一表示復(fù)數(shù)方法相似的極坐標(biāo)形式對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度(大小)和相位角正弦信號(hào)但使用自然對(duì)數(shù)的基礎(chǔ),e281 = 2.718 . .復(fù)數(shù)的價(jià)值。 第三個(gè)方法被調(diào)用指數(shù)形式。

的指數(shù)形式使用的三角函數(shù)sin (罪)和余弦(因?yàn)?一個(gè)直角三角形定義的值的復(fù)指數(shù)作為旋轉(zhuǎn)點(diǎn)復(fù)雜的飛機(jī)。 指數(shù)形式的發(fā)現(xiàn)基于點(diǎn)的位置歐拉的身份命名瑞士數(shù)學(xué)家歐拉和給出:

然后歐拉恒等式可以表示為以下復(fù)平面旋轉(zhuǎn)相量圖。

我們可以看到,歐拉身份非常類似于上面的極坐標(biāo)形式,它告訴我們,等一個(gè)e jθ1級(jí)的也是一個(gè)復(fù)數(shù)。 我們不僅可以復(fù)數(shù)的指數(shù)形式很容易轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式如:2e j30= 2∠30, 10e j120= 120∠或6e j9090 = 6∠,但歐拉身份也給了我們一種復(fù)數(shù)的指數(shù)形式轉(zhuǎn)換成矩形。 之間的關(guān)系指數(shù),極地、矩形定義一個(gè)復(fù)數(shù)形式給出。

到目前為止,我們已經(jīng)看到不同的方式來(lái)表示一個(gè)旋轉(zhuǎn)向量或一個(gè)固定使用復(fù)數(shù)向量定義在復(fù)平面上一個(gè)點(diǎn)。 相量表示法是一個(gè)過(guò)程,構(gòu)建一個(gè)復(fù)數(shù)振幅和相位角的正弦波形。

然后相量表示法或相量變換,有時(shí)被稱為轉(zhuǎn)移正弦函數(shù)的實(shí)部:一個(gè)(t)=一個(gè)mcos(ωt±Φ)從時(shí)域到復(fù)數(shù)域也稱為頻域。 例如:

請(qǐng)注意√2將最大振幅轉(zhuǎn)換成一個(gè)有效的或均方根值和相角的弧度,(ω)。

然后總結(jié)本教程復(fù)數(shù)在電氣工程和復(fù)數(shù)的使用。

• 復(fù)雜的數(shù)字由兩個(gè)不同的數(shù)字,一個(gè)實(shí)數(shù)+虛數(shù)。

• 虛數(shù)是區(qū)分一個(gè)實(shí)數(shù)j-operator的使用。

• 數(shù)字與字母”j在確定了它作為一個(gè)在復(fù)平面虛數(shù)。

• 根據(jù)定義,j-operatorj≡√1

• 可以添加虛數(shù),減去,增加和分裂一樣的實(shí)數(shù)。

• ”的乘法j“通過(guò)”j“讓j2= 1

• 在長(zhǎng)方形的復(fù)數(shù)形式是由一個(gè)點(diǎn)在復(fù)平面上的空間。

• 在極坐標(biāo)形式復(fù)雜的數(shù)字是由一條線的長(zhǎng)度是振幅和相位角。

• 指數(shù)形式的復(fù)數(shù)是由一條線和相應(yīng)的角度,使用基本的自然對(duì)數(shù)。

• 一個(gè)復(fù)數(shù)可以在三種方式之一:Z = x +司法院?矩形形式Z =一個(gè)∠Φ?極坐標(biāo)形式Z =一個(gè)e jΦ?指數(shù)形式

• 歐拉恒等式可以用于復(fù)數(shù)的指數(shù)形式轉(zhuǎn)換成矩形形式。

在前面的教程包括這個(gè)我們已經(jīng)看到,我們可以使用相量表示正弦波形和振幅和相位角可以用復(fù)數(shù)的形式寫的。 我們也看到了這一點(diǎn)復(fù)數(shù)可以在矩形,極地或指數(shù)形式之間的轉(zhuǎn)換每個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式包括加法、減法、乘法和除法。

在接下來(lái)的幾個(gè)教程與AC系列電路的相量關(guān)系,我們將看看一些常見的被動(dòng)電路元件的阻抗和畫出相量圖的電流通過(guò)組件和在它開始交流電阻的電壓。

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