如何學(xué)習(xí)李群和李代數(shù)？

首選不直接對什么是李群什么是李代數(shù)進行闡述，目前的資料太過同化了吧！在我們上初中的時候我們知道要想求取函數(shù)的最值需要求取導(dǎo)數(shù)，而在優(yōu)化問題中也需要求取導(dǎo)數(shù)（梯度下降、高斯牛頓、L-M法）。現(xiàn)在已經(jīng)學(xué)到應(yīng)用數(shù)學(xué)的時候了，讓我們來看下slam是怎么的優(yōu)化問題？如何求導(dǎo)？我研究的是三維激光slam，就以三維激光slam為例子？二維激光slam，視覺slam都是如此。假如我們有兩個傳感器，一個是三維激光一個是IMU。使用IMU可以預(yù)測到機器人的運動，我們稱其為運動方程，而使用三維激光雷達通過一些算法（ICP或者NDT）也可以得到機器人的運動，稱為觀測方程。那到底聽這兩個傳感器誰的？那么可以構(gòu)建不同優(yōu)化問題，批量估計的最小二乘問題或者增量估計的濾波方法。不管哪種方法最終都逃不脫式1-1的形式，后續(xù)會對的形式進行討論，首先我們來明確下待優(yōu)化的變量X是什么？我們都知道在slam問題中首先需要建立世界坐標(biāo)系，即你建立的地圖的坐標(biāo)原點需要指定，在你不指定的時候，目前是建圖和定位的起始幀的坐標(biāo)為世界坐標(biāo)系的原點。其次需要明白的是相機也有自己的坐標(biāo)系，但是他是運動的。當(dāng)相機下的一個坐標(biāo)點需要轉(zhuǎn)換到世界坐標(biāo)系下，你該怎么做，是不是需要乘以一個旋轉(zhuǎn)平移矩陣R。那么當(dāng)這個點就是相機坐標(biāo)系的原點時，那么旋轉(zhuǎn)平移矩陣是不是就代表著機器人的運動，因此待優(yōu)化變量是個矩陣，而且是正交單位陣。此時你已經(jīng)知道了slam問題即定位問題是個矩陣了，那為什么我說他是正交單位陣那？首先需要你知道的是我們在學(xué)習(xí)矩陣的時候都是先學(xué)習(xí)的坐標(biāo)系然后再學(xué)習(xí)的向量，因此我們需要先改變一個概念，坐標(biāo)系并不只有像墻角那樣垂直的坐標(biāo)系，其次向量是真實存在的，但是向量的是唯一的，但是向量的坐標(biāo)是不一定的，因為坐標(biāo)系是由線性不相關(guān)的向量構(gòu)成的向量組，也可以稱為基底，一般選擇正交的單位陣，符合人類的直覺。選擇不正交且不是單位陣的矩陣作為坐標(biāo)系嗎？我猜你在定位問題中不會。如公式1-2。是一個坐標(biāo)系的基底。是在該基底下向量的坐標(biāo)，其含義是在三個向量的加和構(gòu)成了需要表示的向量。同理在基底下的坐標(biāo)表示為。因為都是對同一向量的表示因此二者相等。那么可由式1-3得出。觀察是基底向量的內(nèi)積留下的是余弦函數(shù)，將看成是世界坐標(biāo)系下的原點，此時R代表了旋轉(zhuǎn)。表示了旋轉(zhuǎn)的方向，因此R稱為方向余弦矩陣也稱為旋轉(zhuǎn)矩陣。是機器人姿態(tài)的變換，是slam中待優(yōu)化的變量，也是我們實時要知道的值，這樣才可以知道機器人是如何旋轉(zhuǎn)的，至此我們就明白了待優(yōu)化的變量不僅是個矩陣而且是個單位正交陣。而且這個旋轉(zhuǎn)矩陣相乘，仍然是旋轉(zhuǎn)矩陣，這個性質(zhì)挺有意思吧，整數(shù)相加仍然是整數(shù)和其類似，數(shù)學(xué)中把像旋轉(zhuǎn)平移矩陣和乘法，做完運算后還是旋轉(zhuǎn)平移矩陣的稱為群（這是群的封閉性，即運算完還是自己。我認為集合和運算在滿足封閉性后，很大概率上就是群，當(dāng)然嚴(yán)格定義共需要滿足4個條件，自行查找吧），至此我們可以得出slam中待優(yōu)化的變量是矩陣，是正交矩陣，還是群。并且這個群的乘法代表著旋轉(zhuǎn)變換，而且旋轉(zhuǎn)變換是連續(xù)的，平滑的，旋轉(zhuǎn)多微小的變化都可以，因此又稱為李群。OK,這便是待優(yōu)化的變量。

那么在優(yōu)化過程中我們需要求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，我們知道我去待優(yōu)化變量是需要做減法的如式2-1所示，而矩陣做減法沒有意義，這該如何是好？以下公式是前人想到的啊，我也不知道是怎么想到的，兩個字就是牛逼。已知任意旋轉(zhuǎn)矩陣滿足式2-2.對式2-2求導(dǎo)得整理得有一個結(jié)論，任意一個向量都可以用一個反對稱矩陣表示同時任意一個反對稱矩陣都可以用一個向量表示。這是結(jié)論，不允許你問為什么。根據(jù)結(jié)論式2-4可以表示為式2-5等式兩邊右乘R(t)，由于R為正交陣得到式2-6通過上式的推導(dǎo)可以看出反對稱矩陣對應(yīng)的向量是矩陣的導(dǎo)數(shù)，由于旋轉(zhuǎn)矩陣是關(guān)于時間變量連續(xù)的，故待優(yōu)化變量也成了時間t的函數(shù)。以直代曲的逼近過程是可以將導(dǎo)數(shù)看成常數(shù)故得2-7.解式2-7的微分方程得式2-8當(dāng)t=0時刻時，矩陣沒有變化因此帶入2-8可得最終的式2-9即c=0;通過推導(dǎo)將矩陣變換看成時間的導(dǎo)數(shù)，并推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)變換矩陣與指數(shù)函數(shù)的相關(guān)。那矩陣的乘法也就變成了指數(shù)的乘法，指數(shù)的乘法的運算規(guī)則是加法，所以這是不是可以對旋轉(zhuǎn)變換矩陣進行求導(dǎo)了，答;必須滴！那這個就成為李代數(shù)，每個李群都有與之對應(yīng)的李代數(shù)，李代數(shù)描述了李群的局部性質(zhì)，這里對矩陣以直代曲就是李代數(shù)最直觀的體現(xiàn)，在t=0時刻的泰勒展開就是李代數(shù)和李群最直觀的聯(lián)系如式2-10.后文我還會繼續(xù)深究，起始此向量是旋轉(zhuǎn)向量對應(yīng)的向量空間。后面細究。先有個直觀感受。設(shè),并設(shè)此時旋轉(zhuǎn)矩陣為。按照導(dǎo)數(shù)定義,可以把在t=0附近進行一階泰勒展開:回到剛才，有了指數(shù)的加法是否可以得到式2-11或者式2-12

答不可以，只有高中學(xué)的是標(biāo)量才可以，當(dāng)是向量的時候不可以，BCH這三人得出了是標(biāo)量時的公式2-13

忽略高次項可得結(jié)論式2-14，想知道為什么需要自己推導(dǎo)。

和2-12差不多少了，只是多了一個雅可比矩陣或者（二者取其一）雅克比的具體表達如式2-15

至此優(yōu)化問題出現(xiàn)的對矩陣求導(dǎo)無法滿足導(dǎo)數(shù)定義的問題通過李代數(shù)將旋轉(zhuǎn)變換矩陣通過指數(shù)函數(shù)進行表示，而指數(shù)函數(shù)有加法，可以滿足導(dǎo)數(shù)定義。

相機坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點在世界坐標(biāo)系下的坐標(biāo)點P,通過算法得到R,現(xiàn)在要對R求導(dǎo)。如式3-1通過李代數(shù)的替換為式3-2根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義對3-2式進行展開第2行為線性近似,第3行為泰勒展開舍去高階項后的近似,4行和5是將反對稱符號看作外積（兩個向量的外積可以化作反對稱矩陣和另外一個向量的乘積）,交換之后變號。不過問題在于需要求取這可是很麻煩的如式2-14。不過不要被導(dǎo)數(shù)定義定死了，導(dǎo)數(shù)的定義用一句話來講是函數(shù)的微小變化和自變量微小變化的比值。按照如下想法可以得如下推導(dǎo)過程。這沒有了雅可比多簡潔啊，這個求法稱為擾動模型。

1. 李代數(shù)

這里就不仔細推導(dǎo)了，具體推導(dǎo)過程是將泰勒展開，最終可得這個向量是旋轉(zhuǎn)向量，什么是旋轉(zhuǎn)向量，除了上文推導(dǎo)出的旋轉(zhuǎn)矩陣即方向余弦矩陣，還有旋轉(zhuǎn)向量，方向余弦矩陣用了9個變量表示roll pitch yaw冗余了，使用旋轉(zhuǎn)向量即方向表示旋轉(zhuǎn)的向量的繞軸，大小代表轉(zhuǎn)過的角度。這樣不冗余了。而旋轉(zhuǎn)向量和方向余弦矩陣可以通過羅德里格旋轉(zhuǎn)表示。這里需要自行查找資料，其實推導(dǎo)不難。只需記住結(jié)論：李代數(shù)是旋轉(zhuǎn)向量組成的空間。最后提示一下，本文只提起了旋轉(zhuǎn)矩陣R,但是機器人的運動自由度有六個，我沒有提及平移變換，而平移和旋轉(zhuǎn)組成的4*4齊次矩陣依然是和旋轉(zhuǎn)矩陣一個性質(zhì)，也是一個群，也有對應(yīng)的李群，方法一樣的，可以替換的。