自動控制系統(tǒng)的設計--基于根軌跡的串聯(lián)校正設計

（3）根據(jù)公式（6－34）確定夾角 γ：

得到：

（4）由設計要求， ， ， ，求出校正裝置的參數(shù)。

，

，

得到： ， 。因而超前校正裝置的傳遞函數(shù)：

（5）校正后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和主導極點分別為：

G=G0*Gc

Transfer function:

576.8 s + 1921

------------------------------

s^4 + 34 s^3 + 256 s^2 + 384 s

Gl=feedback(G0＊Gc,1)

zpk(Gl)

Zero/pole/gain:

576.8 (s+3.33)

------------------------------------------

(s+25.25) (s+4.745) (s^2 + 4.006s + 16.03)

顯然，系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)為： ，主導極點為： ，設計基本符合要求。

6.4.2 遲后校正
通過設置校正裝置的零極點，使之形成一對在S平面上靠近原點的偶極子，這樣，在基本保持原系統(tǒng)主導極點的前提下，可提高系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)而不致使系統(tǒng)的動態(tài)性能變壞。

例如，對于一單位反饋系統(tǒng)，若其開環(huán)傳遞函數(shù)：G0(S)=K/s(s+a)(s+b),則靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=K/ab ，因為系統(tǒng)主導極點為Sd，則K=|Sd|·|Sd+a|·|Sd+b|。串聯(lián)遲后校正裝置后，開環(huán)傳遞函數(shù)：

若要求主導極點基本不變，則

(6-35)

由于設計時選取的-1/τ和-1/βτ均靠近原點，因此

,

但此時

可見校正后靜態(tài)誤差系數(shù)增大了約β倍，而主導極點可基本保持不變。

由上，可得出遲后校正的根軌跡法步驟：

（１）畫出未校正開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡；

（２）根據(jù)系統(tǒng)設計的時域指標，確定主導極點Sd，進而計算未校正系統(tǒng)的增益Ｋ及靜態(tài)誤差系數(shù)Kv ；

（３）將要求的靜態(tài)誤差系統(tǒng)與未校正系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)進行比較；得出遲后校正裝置的β值；

（４）確定校正裝置的零點和極點。零點的確定方法是：以主導極點Sd為頂點，引線為起起始邊，向左旋轉(zhuǎn)5°-10° ，此邊與負實軸的交點即為校正裝置的零點-1/τ ，由（３）中β值進而確定校正裝置極點-1/βτ。

（５）畫出校正后系統(tǒng)的根軌跡。若新的主導極點Sd1或靜態(tài)誤差系數(shù)與設計要求相關較大，則宜適當調(diào)整β或-1/υ ，直至滿足要求。

需要說明的是，上述推導過程中按Kv 進行說明，但對于Kp或Ka結論相似。

例6－8 已知一單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求校正后的系統(tǒng)能滿足下列的性能指標：阻尼比ξ=0.5 ；調(diào)整時間ts=10s；靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv≥5/s。解：（１）繪制未校正系統(tǒng)的根軌跡如圖６—23中的虛線所示。

（２）根據(jù)給定的性能指標，確定系統(tǒng)的無阻尼自然頻率為

據(jù)此，求得希望的閉環(huán)主導極點

（３）由根軌跡的幅值條件，確定未校正系統(tǒng)在 處的增益，即根據(jù) ，求得 ,,相應的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為

（４）基于校正后的系統(tǒng)要求，據(jù)此算出遲后校正裝置的參數(shù)β值，即

考慮到遲后校正裝置在 點處產(chǎn)生遲后角的影響，所選取的β值應大于７.5，現(xiàn)取β＝１０。

（５）由點 作一條與線段Ｏ 成 角的直線，此直線與負實軸的交點就是校正裝置的零點，由圖６—23 可知，零點 ，極點為 。這樣，校正裝置的傳遞函數(shù)

校正后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

校正后系統(tǒng)的根軌跡如圖６—23中的實線所示。由該圖可見，若要使 ，則校正后系統(tǒng)主導極點的位置略偏離要求值，即由 點移到