有源濾波器中的相位關(guān)系

作者：時(shí)間：2011-06-03 來源：網(wǎng)絡(luò)

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在使用濾波器的應(yīng)用中，通常人們對幅值響應(yīng)的興趣要比對相位響應(yīng)的興趣更濃厚。但是，在某些應(yīng)用中，濾波器的相位響應(yīng)也很重要。一個(gè)實(shí)例是濾波器用于過程控制環(huán)路中的情形。這里，人們關(guān)心的是總的相移量，因?yàn)樗绊懙江h(huán)路的穩(wěn)定性。用來搭建濾波器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是否會(huì)造成在某些頻率點(diǎn)處符號(hào)出現(xiàn)相反，是非常重要的。

將有源濾波器視為兩個(gè)級聯(lián)的濾波器是一個(gè)有用的方法。如圖1所示，其中一個(gè)濾波器是理想的濾波器，用于體現(xiàn)傳遞函數(shù)；另一個(gè)是構(gòu)成濾波器的放大器。在閉環(huán)的負(fù)反饋環(huán)路中所采用的放大器可以被視為一個(gè)具有一階響應(yīng)的、簡單的低通濾波器。當(dāng)頻率超過某一點(diǎn)后，增益將隨著頻率的增長而出現(xiàn)滾降現(xiàn)象。此外，如果放大器使用反相放大結(jié)構(gòu)的話，則所有頻率點(diǎn)上還將出現(xiàn)附加的180°相移。

圖1. 以兩個(gè)級聯(lián)的傳遞函數(shù)的形式表示的濾波器

濾波器設(shè)計(jì)過程可分為兩步。首先選定濾波器的響應(yīng)特性，接下來選出適當(dāng)?shù)碾娐方Y(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)它。濾波器的響應(yīng)是指衰減曲線的形狀，這常?？梢詺w為經(jīng)典的響應(yīng)特性中的一種，如Butterworth、Bessel或者某種Chebyshev型。雖然這些響應(yīng)特性的選擇往往會(huì)影響幅值響應(yīng)特性，但它們也會(huì)影響相位響應(yīng)特性的形狀。在本文中，為了進(jìn)行比較，忽略幅值響應(yīng)，認(rèn)為其幾乎不變。

濾波器的復(fù)雜性往往通過濾波器的“階數(shù)”來定義，該參數(shù)與儲(chǔ)能元件（電感和電容）的數(shù)量有關(guān)。濾波器傳遞函數(shù)分母的階數(shù)定義了隨著頻率的上升而呈現(xiàn)的衰減速率。漸近線型的濾波器滾降速率為－6ndB/倍頻程，或者－20ndB/十倍頻程，其中n是極點(diǎn)的數(shù)量。倍頻程是指頻率的二倍或者一半，十倍頻程是頻率的十倍增長或者縮減。因此，一個(gè)一階（或者單極點(diǎn)）濾波器的滾降速率為－6dB/倍頻程或者－20dB/十倍頻程。類似的，一個(gè)二階（或者2極點(diǎn)）濾波器的滾降速率為－12dB/倍頻程或者－40dB/十倍頻程。更高階次的濾波器往往是由級聯(lián)的一階和二階基本單元所構(gòu)成的。自然，我們可以利用單個(gè)有源放大電路級來構(gòu)建三階、甚至四階濾波器，但是對于元件值的敏感，以及元件之間的相互作用對頻率響應(yīng)所造成影響的大幅度上升，會(huì)使這些選擇不那么具有吸引力。

傳遞函數(shù)

首先，我們考察一下傳遞函數(shù)的相位響應(yīng)。對于同樣階數(shù)的濾波器選項(xiàng)來說，它們的傳遞函數(shù)的相移特性都相同。

對于單極點(diǎn)、低通的情形，傳遞函數(shù)的相移為φ，由下式給出。

（¹）

式中：ω = 頻率（弧度/秒）

ω₀= 中心頻率（弧度/秒）

以弧度/秒為單位的頻率等于2π乘以以Hz為單位的頻率，這是因?yàn)槊總€(gè)360°周期對應(yīng)著2π弧度。由于上面的表達(dá)式是一個(gè)無量綱的比值，故f和ω都可以采用。

中心頻率還可以被稱為截止頻率（即該單極點(diǎn)、低通濾波器的幅值響應(yīng)特性下降3dB——約30％——的頻率點(diǎn)）。在相位關(guān)系方面，中心頻率是相移量達(dá)到其最終值－–90°（在這個(gè)例子中）的50％時(shí)的頻率點(diǎn)。圖2是一幅半對數(shù)圖，描述了公式1所表述的相位響應(yīng)關(guān)系，其頻率范圍是中心頻率以下的兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上的兩個(gè)十倍頻程。中心頻率（＝1）處的相位移動(dòng)為–45°。

圖2. 一個(gè)單極點(diǎn)、低通濾波器在中心頻率附近的相位響應(yīng)（同相，左軸；反相響應(yīng)，右軸）圖中：Normalized Frequency——?dú)w一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

類似的，一個(gè)單極點(diǎn)的高通濾波器可以由下式給出：

(2)

圖3描繪了公式2所表示的、在中心頻率以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程這一范圍內(nèi)的響應(yīng)特性。其歸一化的中心頻率（＝1）處的相移為+45°。

顯然，高通和低通特性類似，只是相互間存在90°的相位差（π/2 radians）

圖3. 一個(gè)單極點(diǎn)、低通濾波器在中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)（同相，左軸；反相響應(yīng)，右軸）圖中：Normalized Frequency——?dú)w一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

對于二階、低通的情形，傳遞函數(shù)的相移可以由下式近似表示為

(3)

式中α是濾波器的阻尼比。它將決定幅值響應(yīng)曲線上的峰值以及相位曲線過渡段的陡峭程度。它是電路的Q值的倒數(shù)，這也決定了幅值滾降或相位偏移的陡峭程度。 Butterworth響應(yīng)的α為1.414（Q＝0.707），可以產(chǎn)生最大平坦度響應(yīng)特性。更低的α?xí)狗淀憫?yīng)特性曲線上出現(xiàn)尖峰。

圖4. 一個(gè)雙極點(diǎn)、低通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)（同相，左軸；反相響應(yīng)，右軸）圖中：Normalized Frequency——?dú)w一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

圖4描繪了該式所表示的（α＝1.414）、在中心頻率以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程這一范圍內(nèi)的響應(yīng)特性。這里，中心頻率（＝1）處出現(xiàn)的相位偏移為–90°。一個(gè)2極點(diǎn)、高通濾波器的相位特性響應(yīng)可以由下式近似表示

⁽⁴⁾圖5描繪了該式所表示的響應(yīng)特性（同樣有α＝1.414），其范圍是中心頻率（＝1）以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程，相應(yīng)的相移為

圖5. 一個(gè)雙極點(diǎn)、高通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)（同相，左軸；反相響應(yīng)，右軸）圖中：Normalized Frequency——?dú)w一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

同樣的，顯然高通和低通相位響應(yīng)是類似的，僅僅存在180°的相位偏移（π弧度）。在更高階數(shù)的濾波器中，每個(gè)附加段的相位響應(yīng)都累加到總的相移量之上。這一特性將在下面進(jìn)一步予以討論。為了與通常的實(shí)踐保持一致，所示出的相移被限制為±180°的范圍之內(nèi)。例如，–181° 事實(shí)上等價(jià)于 +179°，360°等價(jià)于0°，依此類推。

一階濾波器段
一階濾波器段可以以多種方式來構(gòu)建。圖6示出最簡單的一種結(jié)構(gòu)，即使用無源的R－C架構(gòu)。該濾波器的中心頻率為1/(2πRC)。它之后往往接一個(gè)同相的緩沖放大器，以防止濾波器之后的電路對其產(chǎn)生負(fù)載效應(yīng)，負(fù)載會(huì)改變?yōu)V波器的響應(yīng)特性。此外，緩沖器還可以提供一定的驅(qū)動(dòng)能力。相位響應(yīng)如圖2所示，即在中心頻率點(diǎn)處產(chǎn)生45°的相移，正如傳遞函數(shù)所預(yù)測的那樣，這是因?yàn)闆]有另外的元件改變相移特性。這種響應(yīng)特性將被稱為同相、一階、低通響應(yīng)特性。只要緩沖器的帶寬顯著高于濾波器，那么緩沖器就不會(huì)帶來相移。

圖6. 無源低通濾波器

請記住，這些圖中的頻率值是歸一化的，即相對于中心頻率的比值。例如，若中心頻率是5kHz，則這些圖將展示50Hz到500kHz范圍內(nèi)的相位響應(yīng)特性。

圖 7示出另外一種結(jié)構(gòu)。該電路增加了一個(gè)并聯(lián)電阻，對積分電容進(jìn)行連續(xù)放電，從根本上來說它是一個(gè)有損耗的積分器。其中心頻率同樣是1/(2πRC)。因?yàn)樵摲糯笃魇且苑聪嗄Ｊ焦ぷ鞯?，故反相模式將在相移特性上引入附加?80°相位。圖2示出了輸入－輸出的相位差隨頻率的變化，其中包括了放大器引入的反相（右軸）。該響應(yīng)特性將被稱為反相的、一階、低通響應(yīng)。

圖7. 利用工作在反相模式的運(yùn)放搭建的有源、單極點(diǎn)、低通濾波器

上面所示的電路可以衰減高頻分量而通過低頻分量，均屬于低通濾波器?？梢酝ㄟ^高頻分量的電路則與之類似。圖8示出一個(gè)無源的一階、高通濾波器電路結(jié)構(gòu)，其相位隨著歸一化頻率的變化特性則示于圖3中（同相響應(yīng)）。

圖8. 無源高通濾波器

圖3（左軸）的曲線被稱為同相、一階、高通響應(yīng)特性。該高通濾波器的有源電路示于圖9中。其相位隨頻率的變化示于圖3中（右軸）。這將被稱為反相、一階、高通響應(yīng)。

圖9. 有源、單極點(diǎn)、高通濾波器