15年磨一劍：張益唐證明黎曼猜想相關(guān)問(wèn)題？11月論文見(jiàn)

這兩天，張益唐「攻克」朗道-西格爾零點(diǎn)猜想（Landau-Siegel Zeros Conjecture）的傳聞鋪天蓋地。

據(jù)稱，張益唐在參加10月15日北京大學(xué)校友Zoom線上會(huì)議時(shí)，在口頭上承認(rèn)了這一點(diǎn)。

曾經(jīng)解決了「孿生質(zhì)數(shù)猜想」從0到1的一步時(shí)，張益唐就已經(jīng)轟動(dòng)全世界數(shù)學(xué)圈。而如果他真的解決了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，無(wú)疑會(huì)引發(fā)一場(chǎng)大地震。

不過(guò)，相關(guān)論文似乎得等到下個(gè)月才能看到。

讓我們搓手以待。

這篇論文，張益唐修改了9年

上一次張益唐在互聯(lián)網(wǎng)上引起這么大的關(guān)注，還是在2013年。

當(dāng)時(shí)，他完成了論文《素?cái)?shù)間的有界距離》，證明了「弱化版本的孿生素?cái)?shù)猜想」。

論文于2013年發(fā)表在《數(shù)學(xué)年刊》上。

《素?cái)?shù)間的有界距離》手稿

作為數(shù)學(xué)界耳熟能詳?shù)娜A人「大?！?，一般人可能會(huì)以為張益唐成果頗豐。

但實(shí)際上，他在40多年的學(xué)術(shù)生涯里，只發(fā)表過(guò)屈指可數(shù)的幾篇論文。

其中比較出名的幾篇，除了2013年發(fā)表的「弱化版孿生素?cái)?shù)猜想」之外，另外兩篇分別發(fā)表在2001年的《杜克數(shù)學(xué)期刊》和1985年的《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》上，都是關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的。

在接受《人物》周刊采訪時(shí)，張益唐曾解釋道：長(zhǎng)久不發(fā)論文的原因，是因?yàn)樽约汉茈y接受「Partial result」——他手上已經(jīng)攢了一些隨時(shí)可以出成果的研究，但他不甘心拿出來(lái)，因?yàn)椤竿耆鐾曛竽贸鰜?lái)的東西就是大東西了?！?/span>

這與如今主流數(shù)學(xué)家的做法都不同。

在成名前，張益唐就已經(jīng)研究了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想很多年。

2007年5月，他還在University of New Hampshire時(shí)，就曾為此寫(xiě)過(guò)一篇論文草稿。

論文地址：https://arxiv.org/abs/0705.4306

當(dāng)時(shí)，這篇論文還不完整，只是關(guān)于朗道-西格爾猜想的一個(gè)大概的證明綱要，張益唐把它在預(yù)印本服務(wù)器上保存了下來(lái)，然后就把它「撂下」，跑去做快要成了的「孿生素?cái)?shù)」問(wèn)題了。

天才的預(yù)判果然很有道理，接下來(lái)發(fā)生的事，你們已經(jīng)知道了。

關(guān)于「孿生素?cái)?shù)猜想」的論文讓他大爆，一躍成為學(xué)界「頂流」。

Nature在「突破性新聞」欄目里對(duì)此成果做了專題報(bào)道。同時(shí)，羅夫·肖克獎(jiǎng) 、柯?tīng)枖?shù)論獎(jiǎng)、麥克阿瑟天才獎(jiǎng)等重量級(jí)獎(jiǎng)項(xiàng)，張益唐都拿到手軟。

關(guān)于他的神奇事跡也被各媒體爭(zhēng)相報(bào)道。

現(xiàn)在，時(shí)隔9年，因?yàn)樗囊痪湓挘瑪?shù)學(xué)圈忽然又沸騰了。

推測(cè)一下，應(yīng)該是被他「撂下」多年的那篇朗道-西格爾零點(diǎn)猜想論文大綱已經(jīng)補(bǔ)充完畢，完整論文出爐了。

這次，張益唐是準(zhǔn)備二「爆」了？

朗道-西格爾零點(diǎn)猜想

所以，朗道-西格爾零點(diǎn)猜想是什么呢？

在數(shù)論中，朗道-西格爾零點(diǎn)問(wèn)題可以看作廣義黎曼猜想的一種特殊并且可能弱得多的形式。

2019年，香港中文大學(xué)舉辦的「大師講堂」上，張益唐介紹了朗道-西格爾零點(diǎn)問(wèn)題的歷史和應(yīng)用，并解釋為何這個(gè)問(wèn)題這么重要，并且難以解決。

根據(jù)香港中文大學(xué)（深圳）整理的資料，張益唐本人是這樣介紹的——

張益唐研究的意義有多重大？

為何關(guān)于張益唐的爆料一出，就驚動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)圈？

因?yàn)槔杪孪胧钱?dāng)今數(shù)學(xué)界最重要的數(shù)學(xué)難題之一，意義重大。

要想理解它的意義，我們不妨先了解一下數(shù)論的大背景。

數(shù)論是純粹數(shù)學(xué)的分支，研究的是數(shù)的性質(zhì)，可以說(shuō)是最純粹的數(shù)學(xué)。畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得、斐波那契、笛卡爾、費(fèi)爾馬、萊布尼茲、拉格朗日、歐拉、高斯、希爾伯特等著名的數(shù)學(xué)家都曾在數(shù)論的研究史上留下濃墨重彩的一筆。

高斯：數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后

數(shù)論的研究產(chǎn)生了很多的猜想，這些猜想將極大地推動(dòng)數(shù)學(xué)的研究進(jìn)展。

1900年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴維·希爾伯特曾在第二屆數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出了「20世紀(jì)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題」。

而2000年克雷數(shù)學(xué)研究所「千禧年大獎(jiǎng)難題」提出了7個(gè)重要的猜想，這項(xiàng)猜想如果能被解決，密碼學(xué)、航天和通訊等領(lǐng)域都會(huì)發(fā)生驚人的突破。

在眾多的猜想中，黎曼猜想是唯一同時(shí)出現(xiàn)在希爾伯特23個(gè)問(wèn)題和千禧年大獎(jiǎng)難題中的猜想。

雖然在知名度上，黎曼猜想不及費(fèi)爾馬猜想和哥德巴赫猜想，但它在數(shù)學(xué)上的重要性，要遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)后兩者。黎曼猜想與費(fèi)馬大定理已經(jīng)成為廣義相對(duì)論和量子力學(xué)融合的m理論的幾何拓?fù)漭d體。

目前，很多數(shù)論的猜想都已經(jīng)被證實(shí)。1995年，費(fèi)爾馬大定理被證明；2002年，卡塔蘭猜想被證明；2013年，孿生數(shù)猜想被證明；2013年，奇數(shù)哥德巴赫問(wèn)題被證明。

但黎曼猜想一直都懸而未決?？梢韵胂?，如果有人證明了黎曼猜想，將是一個(gè)多么轟動(dòng)的事件。

同理，如果黎曼猜想被證偽，也是數(shù)學(xué)界驚天動(dòng)地的大事。

而張益唐如果真的證偽了黎曼猜想，或者證明了朗道-西格爾零點(diǎn)的存在，都無(wú)疑是核爆級(jí)的消息。

黎曼猜想

讓我們看一下黎曼猜想的起源。

1859年，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼在論文「論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)」中，首次提及這個(gè)猜想。

對(duì)此，「科學(xué)大抖宅」正巧在一篇文章中對(duì)此做了非常白話的解釋。

我們都知道，2、3、5、7、11這些數(shù)，除了1跟自己本身以外，不能被其他正整數(shù)整除，因此它們被稱作質(zhì)數(shù)。而所有大于1的正整數(shù)，都能夠以質(zhì)數(shù)的乘積來(lái)表示。 

但如果要問(wèn)：「比某個(gè)特定數(shù)值要小的質(zhì)數(shù)有多少個(gè)呢？質(zhì)數(shù)在整個(gè)數(shù)列中的分布情況又是如何？」

這個(gè)問(wèn)題就復(fù)雜了。

而黎曼發(fā)現(xiàn)，質(zhì)數(shù)的分布跟某個(gè)函數(shù)有著密切關(guān)系：

這個(gè)公式中，s是復(fù)數(shù)，可以寫(xiě)成s=a+bi這樣的形式（a是s的實(shí)部、b是s的虛部、i則是根號(hào)負(fù)一）。

數(shù)學(xué)家們可以輕易證明，只要s的實(shí)部大于1，那么整個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)里，把每一項(xiàng)的絕對(duì)值相加后，會(huì)得到收斂并趨近于某個(gè)定值的結(jié)果。

不過(guò)，對(duì)于s的實(shí)部小于1的狀況，事情就沒(méi)那么簡(jiǎn)單了：整個(gè)級(jí)數(shù)和可能會(huì)發(fā)散。

但我們又想要擴(kuò)充函數(shù)的定義，讓它適用更廣泛的范圍，那該怎么辦呢？

只需運(yùn)用一些「簡(jiǎn)單的」數(shù)學(xué)技巧，就可以把上面的黎曼ζ函數(shù)改寫(xiě)為：

其中的 Г ，稱為伽瑪函數(shù)（gamma function）。

由此可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)s為負(fù)偶數(shù)（s= -2, -4, -6…）時(shí)，黎曼ζ函數(shù)為零。這些s的值，就稱為平凡零點(diǎn)。

但是，除了平凡零點(diǎn)之外，還有其他一些s的值，能夠讓黎曼ζ函數(shù)為零──稱為非平凡零點(diǎn)；它們不但對(duì)質(zhì)數(shù)的分布有著決定性影響，實(shí)數(shù)部分還全都位于零和一之間。

到了這一步，已經(jīng)到達(dá)了黎曼本人也無(wú)法證明的難度了。

不過(guò)他做了一個(gè)猜測(cè)，這些非平凡零點(diǎn)有著共同的特性：黎曼ζ函數(shù)所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是二分之一。

這就是赫赫有名的黎曼猜想。

孿生素?cái)?shù)猜想

最后，讓我們看看曾讓張益唐名聲大震的「孿生質(zhì)數(shù)猜想」相關(guān)論文。

1992年博士畢業(yè)于普渡大學(xué)，張益唐度過(guò)一段坎坷的時(shí)光，終于在2013年，他對(duì)于「存在無(wú)窮多個(gè)差值小于7000萬(wàn)的質(zhì)數(shù)對(duì)」的證明在五周內(nèi)被《數(shù)學(xué)年刊》接收。

論文地址：https://annals.math.princeton.edu/2014/179-3/p07

在這篇論文中，他找到了孿生素?cái)?shù)對(duì)差值的上界——7000萬(wàn)，這是「孿生質(zhì)數(shù)猜想」的重大進(jìn)展，實(shí)現(xiàn)了從0到1的跨越。

后來(lái)，陶哲軒等數(shù)學(xué)家迅速將這個(gè)差距縮小到了246，但這相當(dāng)于從1到2的跨越。相較而言，張益唐從0到1的這一步，意義更加重大。

關(guān)于兩位數(shù)學(xué)家的研究成果，已經(jīng)被拍成紀(jì)錄片。

根據(jù)《光明日?qǐng)?bào)》記者王慶環(huán)的整理，在2016年度的「求是獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)典禮」上，著名科學(xué)家楊振寧曾用小學(xué)生聽(tīng)得懂的語(yǔ)言講解了張益唐所做的研究——

對(duì)于以上解釋，張益唐本人表示：「楊振寧教授的介紹既通俗又清楚，如果讓我自己講的話，我肯定講不了那么好?！?/span>

目前，坊間已經(jīng)在熱議，如果傳說(shuō)為真，張益唐的成就是否能超越丘成桐、陳景潤(rùn)。

讓我們靜等11月，看看張益唐是否會(huì)交出令自己滿意的「大東西」。

來(lái)源：新智元