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運(yùn)放噪聲評(píng)估的來(lái)龍去脈

發(fā)布人:yingjian 時(shí)間:2023-05-16 來(lái)源:工程師 發(fā)布文章

在運(yùn)放第2期文章“運(yùn)放-2-放大器的電阻的選擇 ”,我們簡(jiǎn)單計(jì)算了下運(yùn)放的輸出端電壓噪聲,有些兄弟可能不明白為什么是這么算,這期就詳細(xì)說(shuō)一說(shuō)。

友情提示,運(yùn)放電路的噪聲分析還是比較復(fù)雜的,不論是基礎(chǔ)理論還是對(duì)應(yīng)的推導(dǎo)過(guò)程,都不是特別容易。考慮到兄弟們的基礎(chǔ)參差不齊,所以我還是盡量說(shuō)清楚點(diǎn),這樣導(dǎo)致看起來(lái)就有點(diǎn)羅里吧嗦,也會(huì)看起來(lái)超級(jí)復(fù)雜,希望不會(huì)勸退。

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1、關(guān)于噪聲我想過(guò)的幾個(gè)問(wèn)題

我一般是帶著一些問(wèn)題去學(xué)一些東西,找答案,個(gè)人感覺(jué)這樣主動(dòng)式的要比被動(dòng)式的理解更為透徹。說(shuō)下我之前想過(guò)的一些問(wèn)題吧,這些問(wèn)題也會(huì)在后面得到解答。

問(wèn)題1:白噪聲是隨機(jī)的,并且是全帶寬的,如果某個(gè)時(shí)刻,正好是各個(gè)頻率噪聲的波峰疊在一起,那噪聲電壓不是無(wú)窮大?概率雖然低,可能性是存在的吧,但是我們好像不會(huì)在電路設(shè)計(jì)中考慮這個(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題2:一般運(yùn)放手冊(cè)給出的噪聲參數(shù)有兩種,分別是電壓噪聲頻譜密度和電流噪聲頻譜密度,單位分別是伏特除以根號(hào)赫茲,和安培除以根號(hào)赫茲。這個(gè)是什么意思,如何轉(zhuǎn)化為我們常規(guī)理解的電壓信號(hào)呢?


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問(wèn)題3:運(yùn)放的噪聲跟構(gòu)成的電路增益有關(guān)嗎?會(huì)不會(huì)被放大?

問(wèn)題4:對(duì)于一個(gè)具體的運(yùn)算放大器放大電路,如何評(píng)估輸出端的電壓噪聲大???

我們就帶著上面的問(wèn)題來(lái)學(xué)習(xí)下。

2、噪聲參數(shù)與分析基本原理


 

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a、噪聲類(lèi)型

噪聲可以分為兩類(lèi):外部噪聲和固有噪聲,我們本節(jié)主要評(píng)估運(yùn)放的固有噪聲。

外部噪聲:外部電路或自然因素導(dǎo)致的噪聲,比如220V的市電干擾,宇宙輻射都是外部噪聲。外部噪聲很難估計(jì)。

固有噪聲:固有噪聲是由電路的元器件引起的,比如電阻和半導(dǎo)體器件都可以產(chǎn)生噪聲。固有噪聲可以估計(jì)。

b、噪聲波形特點(diǎn)

寬帶噪聲波形(高斯分布):


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1/f噪聲波形(高斯分布):


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爆米花噪聲波形(幾個(gè)高斯分布疊加):



可能看這個(gè)圖一下子有點(diǎn)蒙,噪聲的波形倒是很直觀(guān),但是右邊那個(gè)旋轉(zhuǎn)90°的正態(tài)分布是個(gè)什么啥意思?這就不得不說(shuō)噪聲的分析方法。

c、噪聲的分析方法

我們?cè)陔娐分型ǔP枰u(píng)估電路噪聲在時(shí)域的峰峰值。但是噪聲又是一個(gè)隨機(jī)的過(guò)程,幅度隨時(shí)間變化而變化,我們沒(méi)辦法預(yù)估一個(gè)噪聲信號(hào)在某一個(gè)時(shí)刻的瞬間值,所以我們是在統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)上對(duì)噪聲進(jìn)行分析的。

啥叫在統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)上分析呢?就比如我們丟硬幣,正面和反面是隨機(jī)的,沒(méi)法預(yù)先知道我們下一次丟硬幣到底是正面還是反面,但是我們知道各自的概率是50%,如果實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠多,那么最終正面和反面的次數(shù)各占總次數(shù)的50%。

現(xiàn)在我們?cè)u(píng)估的噪聲也是隨機(jī)的,我們也沒(méi)辦法知道下一刻噪聲信號(hào)具體長(zhǎng)什么樣子,但是我們可以評(píng)估,如果我們拿示波器去采樣這個(gè)信號(hào)的話(huà),會(huì)知道它落在某一個(gè)電壓范圍的概率是多少,根據(jù)這個(gè)概率信息,我們可以推斷出我們的噪聲的峰峰值是多大。

在電路分析中,使用概率分布函數(shù)將均方根噪聲轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲。如下圖,左邊為噪聲的時(shí)域波形,右邊為高斯分布,高斯分布也叫正態(tài)分布。



正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù),一個(gè)叫期望值μ(也叫平均值),另外一個(gè)參數(shù)叫標(biāo)準(zhǔn)差σ,圖中有一個(gè)非常重要的地方,那就是RMS值等于標(biāo)準(zhǔn)差σ(μ=0)。

d、為啥噪聲的有效值Vrms等于其正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ呢?

這可以從有效值的這個(gè)詞的意義里面推導(dǎo)出來(lái)。

有效值:如果某個(gè)交流電,與某個(gè)電壓的直流電熱效應(yīng)相等,那么就可以認(rèn)為該直流電的電壓就是這個(gè)交流電電壓的有效值。



從有效值的定義看,有效值是熱效應(yīng)的等效,也就是針對(duì)做功來(lái)說(shuō)的。



我們?cè)倏礃?biāo)準(zhǔn)差的公式:



前面說(shuō)了,噪聲電壓符合高斯分布,用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法來(lái)看,有下面的推導(dǎo)過(guò)程:



以上過(guò)程只是為了理解一句話(huà):噪聲的有效值Vrms等于其正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ。

上面推導(dǎo)過(guò)程看著有點(diǎn)費(fèi)勁,看不明白記住也行,這也不是本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)。

總之,我們就是知道了:噪聲電壓的有效值等于其正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ,那這有什么用呢?

回到我們的目標(biāo)——我們要知道噪聲的峰峰值有多大。

我們通??梢杂?jì)算出噪聲的有效值有多大,但這不是我們的最終目的,我們的最終目的是要知道噪聲的峰峰值有多大,這是我們?cè)O(shè)計(jì)電路時(shí)更關(guān)心的。在我們知道了有效值,那么也就知道了噪聲電壓對(duì)應(yīng)正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差,最終我們就能知道某個(gè)時(shí)刻噪聲電壓在某個(gè)范圍內(nèi)的概率有多大。

還記得大學(xué)教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》最后面附表里面的“標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)數(shù)據(jù)分布表”嗎?我在網(wǎng)上找了一個(gè)更為精確的正態(tài)分布表,精確到了小數(shù)點(diǎn)15位,如下圖:



我們可以從中得到峰峰值電壓小于某一個(gè)值的概率,如下表所示:



可能還是不太明白這個(gè)表是啥意思?簡(jiǎn)單說(shuō)就是,我們對(duì)有效值為Vrms的噪聲進(jìn)行采樣,其采樣值落在-σ到+σ之間的概率是68%,落在-2σ和+2σ之間的概率是95.45%,落在-3σ和+3σ之間的概率是99.73%。這意味著幅值很大的電壓值出現(xiàn)的概率很小,比如落在-4σ和+4σ的概率是99.994%,即電壓超過(guò)±4σ的電壓出現(xiàn)的概率是0.006%,這個(gè)概率是很低的。如果我們拿示波器去測(cè)量這個(gè)電壓,在示波器界面可能是看不到超過(guò)±4σ的電壓信號(hào)的,畢竟示波器采樣的數(shù)據(jù)量有限,除非說(shuō)我們觀(guān)察非常久的時(shí)間,可能捕捉到一個(gè)更高的電壓信號(hào),但通常我們也不會(huì)這么干。

從前面的正態(tài)分布表也可以知道,采樣值落在8σ內(nèi)的概率已經(jīng)是99.9999999999999%,也就是說(shuō)電壓值超出±8σ的概率是0.0000000000001%。

基于上面的概率問(wèn)題,一般評(píng)估噪聲的峰峰值電壓是±3σ對(duì)應(yīng)的換算系數(shù),也就是認(rèn)為噪聲的峰峰值為6*vrms,如果對(duì)噪聲容忍程度非常低,可以用±4σ或更高的換算系數(shù)。

以上就是使用統(tǒng)計(jì)學(xué)評(píng)估噪聲的基本原理,到這里已經(jīng)可以回答前面的問(wèn)題1:

問(wèn)題1:白噪聲是隨機(jī)的,并且是全帶寬的,如果某個(gè)時(shí)刻,正好是各個(gè)頻率的波峰疊在一起,那噪聲電壓不是無(wú)窮大?概率雖然低,但可能性是在的吧,但是我們好像不會(huì)考慮這個(gè)問(wèn)題。

答:如果用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法看,因?yàn)檎龖B(tài)分布兩邊是無(wú)限延伸的,這種情況也是存在的。但可以想象,出現(xiàn)這種概率是有多么多么的小,畢竟噪聲電壓在±4σ外的概率已經(jīng)低到了0.006%。從前面15位精度的正態(tài)分布表看,到了±8σ的概率已經(jīng)低到了0.0000000000001%,至于問(wèn)題里面無(wú)窮大電壓的場(chǎng)景,應(yīng)該只具有數(shù)學(xué)上的可能性,現(xiàn)實(shí)中是不會(huì)出現(xiàn)的了。

為了避免沒(méi)抓到重點(diǎn),這里先小結(jié)一下:

電壓噪聲服從高斯分布(正態(tài)分布),并且其有效值Vrms就對(duì)應(yīng)高斯分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ。再結(jié)合高斯分布的特性,我們一般可以認(rèn)為電壓不超過(guò)±3σ,即電壓不超過(guò)6*Vrms,即評(píng)估噪聲的時(shí)候,可以按照噪聲電壓峰峰值為6*Vrms。

到這里,那么剩下的問(wèn)題就是如何計(jì)算噪聲的有效值Vrms了。

 器件一般以頻譜密度的方式給出,比如下面是ti的芯片tlv9061給出的噪聲參數(shù):



可以看到,噪聲的大小是跟頻率有關(guān)系的,不同頻率段的噪聲大小不同。除此之外,除了0.1Hz~10Hz是直接以峰峰值給出的,單位是uVpp,這個(gè)理解起來(lái)完全沒(méi)問(wèn)題。另外兩個(gè),一個(gè)是電壓噪聲密度,單位是nv/(根號(hào)Hz),另外也是fA/(根號(hào)Hz),理解起來(lái)就相對(duì)困難,我就想廠(chǎng)家為什么這么給參數(shù)呢?直接像0.1Hz~10Hz這樣給出峰峰值大小不香嗎?這是故意要提高使用門(mén)檻嗎?

e、噪聲參數(shù)為什么以根號(hào)hz的方式給出?

可以看到,上面是芯片tlv9061規(guī)格書(shū)中表格的數(shù)據(jù),其規(guī)格書(shū)也給出了噪聲參數(shù)的曲線(xiàn),我們來(lái)看一下。



看右邊的圖,橫軸是頻率,縱軸是電壓噪聲頻譜密度,下面來(lái)看下其物理意義吧。



以上解釋了為什么噪聲電壓密度的單位為什么是V/根號(hào)Hz,如果要用簡(jiǎn)短的話(huà)概括,那就是:電壓有效值是針對(duì)做功來(lái)說(shuō)的,而做功相關(guān)的參數(shù)就是功率譜密度,單位是V^2/Hz或A^2/Hz,功率譜密度開(kāi)方就是電壓/電流幅度譜密度(假定負(fù)載是1Ω),單位是:V/根號(hào)Hz和A/根號(hào)Hz。

需要注意,上面的推導(dǎo)非常的不嚴(yán)謹(jǐn)。要想真正嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦斫?,需要去看大學(xué)教材《信號(hào)與系統(tǒng)》的第6章節(jié)。

值得一提的是,第1步到第2步用到了帕斯瓦爾定理:



現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了上圖中的電壓噪聲頻譜密度的物理意義,那么如何將這個(gè)轉(zhuǎn)化為Vrms值呢?

f、如何將電壓噪聲頻譜密度轉(zhuǎn)化為Vrms

其實(shí)這個(gè)轉(zhuǎn)化在上面圖片中第3步已經(jīng)寫(xiě)明了,就是這個(gè)式子:



需要注意,上面的積分范圍0~∞,是全帶寬積分,實(shí)際應(yīng)用中要根據(jù)實(shí)際的頻率范圍??粗@個(gè)公式不是很直觀(guān),下面就以運(yùn)放為例子來(lái)畫(huà)一個(gè)示意圖吧。


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根據(jù)運(yùn)放手冊(cè)提供的電壓噪聲頻譜密度,我們將每一個(gè)點(diǎn)進(jìn)行平方,就可以得到右邊的功率譜密度,然后在頻率上進(jìn)行積分,這個(gè)積分過(guò)程就等效為求圖中陰影部分的面積,然后我們將求得的面積進(jìn)行開(kāi)方,就能得到噪聲電壓的有效值了,圖中計(jì)算了從10hz~100Khz帶寬內(nèi)的噪聲電壓有效值。

實(shí)際應(yīng)用中,我們通常不會(huì)求全帶寬的,因?yàn)閷?shí)際電路也不是全帶寬的,我們實(shí)際通常求的是一段帶寬范圍內(nèi)的,因此,常用的是下面這個(gè):



上面的過(guò)程看著很復(fù)雜,只是為了說(shuō)明最基本的原理,實(shí)際評(píng)估運(yùn)放噪聲會(huì)有一些近似的辦法的,這個(gè)后面會(huì)講。

總之,將電壓噪聲頻譜密度轉(zhuǎn)化為有效值的原理就是:將電壓噪聲頻譜密度進(jìn)行平方,轉(zhuǎn)為功率譜密度,然后在帶寬范圍內(nèi)積分(求面積),再開(kāi)方,就能求得有效值電壓了。

g、如何將電流噪聲頻譜密度轉(zhuǎn)化為Irms

電流噪聲頻譜密度轉(zhuǎn)為電流有效值Irms,其實(shí)原理和電壓噪聲頻譜密度的轉(zhuǎn)換一樣,因?yàn)楣β蔖=U^2/R,也等于P=I^2*R,如果按照前面的過(guò)程推一遍,電阻R也是可以消掉的,最終可以求得電流有效值為:



3、兩種噪聲源

說(shuō)完了如何將噪聲電壓頻譜密度轉(zhuǎn)化為有效值電壓Vrms,以及如何將電流噪聲頻譜密度轉(zhuǎn)化為有效值電流Irms的原理及公式。

還有個(gè)問(wèn)題,那就是運(yùn)放電路到底有哪些噪聲需要評(píng)估呢?只有運(yùn)放的噪聲需要評(píng)估嗎?

噪聲我們一般要評(píng)估兩種,一種是運(yùn)放的噪聲,一種是電阻的噪聲。



下面來(lái)繼續(xù)具體說(shuō)下如何將它們轉(zhuǎn)化為Vrms和Irms。

4、運(yùn)放本身的噪聲Vrms,Irms計(jì)算

運(yùn)放的噪聲有電壓噪聲和電流噪聲,如下圖是ti的運(yùn)放芯片tlv9061給出的噪聲參數(shù),給出的是電壓噪聲頻譜密度和電流噪聲頻譜密度。


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     也給出了對(duì)應(yīng)的電壓噪聲密度曲線(xiàn):



前面我們已經(jīng)知道了求運(yùn)放噪聲的基本原理:將噪聲電壓頻譜密度進(jìn)行平方,轉(zhuǎn)為功率譜密度,然后在帶寬范圍內(nèi)積分(求面積),再開(kāi)方,就能求得有效值電壓了。

問(wèn)題是這個(gè)求面積可操作性實(shí)在是太差了,這個(gè)面積很不好求,那么有什么辦法呢?

辦法自然是有,那就是將上面的曲線(xiàn)分成兩部分,分別是1/f噪聲和寬帶噪聲,如下圖所示。



我們?cè)谑謨?cè)中看到的電壓噪聲頻譜密度曲線(xiàn)可以看作是1/f噪聲和寬帶噪聲的疊加(平方后相加再開(kāi)根號(hào)),疊加起來(lái)之后的曲線(xiàn)看起來(lái)不規(guī)則,導(dǎo)致我們難以計(jì)算。所以真正計(jì)算噪聲的時(shí)候,我們又需要將這個(gè)噪聲分解為1/f噪聲和寬帶噪聲兩部分。

a、寬帶噪聲Vrms_bw的計(jì)算

因?yàn)閷拵г肼暻€(xiàn)是平的,很好計(jì)算,就先看寬帶噪聲的計(jì)算方法吧。

既然寬帶噪聲密度曲線(xiàn)是平的,也就是說(shuō)其是一個(gè)常量,用字母B來(lái)表示吧,那么其在頻率fa~fb頻帶內(nèi)的噪聲可以用下面公式計(jì)算:



     舉個(gè)例子:求tlv9061在0.1Hz~100Khz頻帶內(nèi)的寬帶噪聲電壓有效值?

首先從曲線(xiàn)上看出,在10Khz以后,噪聲電壓頻譜密度為10nV/根號(hào)赫茲,這個(gè)就是寬帶噪聲電壓頻譜密度,即對(duì)應(yīng)上面公式的B=10nV/根號(hào)赫茲。



     套用上面的公式,最終可求得在0.1hz~100Khz帶寬內(nèi)的寬帶電壓噪聲有效值為3162nV。

b、1/f噪聲Vrms_1/f的計(jì)算

再看看啥叫1/f噪聲。

顧名思義,1/f噪聲,說(shuō)的就是功率譜密度曲線(xiàn)與頻率之間滿(mǎn)足1/f的規(guī)律,注意,這里是功率譜密度,不是電壓頻譜密度。如果是電壓頻譜密度,那么就是滿(mǎn)足1/(根號(hào)f)的規(guī)律。

如果在頻率1Hz處的1/f電壓噪聲頻譜密度是A,那么根據(jù)1/f的規(guī)律,頻率f處的1/f電壓噪聲頻譜密度值有如下關(guān)系式:



根據(jù)上面這個(gè)式子,我們就可以得到一定頻率范圍內(nèi)1/f電壓噪聲的有效值,計(jì)算方法如下:



還是以tlv9061舉例子:求tlv9061在0.1Hz~100Khz內(nèi)的1/f電壓噪聲有效值?

規(guī)格書(shū)中只給了10Hz~100Hz的電壓噪聲頻譜密度曲線(xiàn),因此,無(wú)法直接從圖中得到1Hz的電壓噪聲頻譜密度A,規(guī)格書(shū)的數(shù)據(jù)表格也沒(méi)有提供這個(gè)參數(shù),那怎么辦呢?

其實(shí)我們可以從1/f噪聲的定義推測(cè)出來(lái),我們可以先求得10Hz處的1/f噪聲,然后根據(jù)前面的1/f噪聲頻譜密度公式推算出來(lái)A的大小。

具體過(guò)程如下:

首先從曲線(xiàn)上面可以得到10Hz處的總的電壓噪聲頻譜密度為:E10hz(總)=110nV/根號(hào)hz,然后我們又知道10Hz出的寬帶電壓噪聲頻譜密度為:10nV/根號(hào)hz。再根據(jù)疊加關(guān)系,就可以得到10Hz處的1/f噪聲。



然后根據(jù)前面的1/f電壓噪聲頻譜密度公式可求得A的值,再利用Vrms_1/f公式求得最終的噪聲電壓有效值為1286nV。



c、總電壓噪聲Vrms計(jì)算

前面我們將噪聲分解為1/f噪聲Vrms_1/f和寬帶噪聲Vrms_bw,現(xiàn)在已經(jīng)知道怎么求各自的有效值了,現(xiàn)在還需要將它們合并,求最終的噪聲電壓有效值。

也很簡(jiǎn)單,只需要將它們平方之后相加再開(kāi)根號(hào)就可以了,注意,不要直接將兩個(gè)電壓值相加。



為什么不是直接相加?

其實(shí)也可以從電壓做功的角度考慮,因?yàn)樽龉﹄妷菏且椒降?,如果直接相加,那么分別計(jì)算做的功相加,和電壓先相加再計(jì)算做的功必然不相等。比如如果二者都是1V,那么分別在R上做的功為:1V*1V*R+1V*1V*R=2R;電壓相加做的功:(1V+1V)*(1V+1V)*R=4R,兩者是不相等的。

所以按照前面的例子,1/f電壓噪聲有效值是1286nV,寬帶電壓噪聲是3162nV,那么最終的總電壓噪聲有效值就是他們倆和的平方根,即3413nV。



e、總電流噪聲Irms計(jì)算

上面舉的例子都是電壓噪聲Vrms計(jì)算,其實(shí)電流噪聲Irms也是一樣的,也是分別計(jì)算1/f電流噪聲和寬帶電流噪聲,然后將兩者計(jì)算平方和根即可。



不過(guò)因?yàn)榍懊媾e例子的芯片tlv9061沒(méi)有給全電流噪聲參數(shù),只有一個(gè)1Khz的電流噪聲密度值,也沒(méi)有對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn),所以沒(méi)辦法具體計(jì)算。



至于廠(chǎng)家為什么沒(méi)有標(biāo)出來(lái),那是因?yàn)檫@個(gè)放大器CMOS型放大器,電流非常小,電流噪聲就更小了。從上表可以看出,這顆放大器的電壓噪聲是nV級(jí),而電流噪聲是fA級(jí),中間還隔著pA級(jí),也就是說(shuō),電流噪聲遠(yuǎn)小于電壓噪聲,因此電流噪聲可以忽略掉。

為了說(shuō)明電流噪聲Irms如何計(jì)算,還是舉個(gè)例子吧。

因?yàn)槭謨?cè)中只給出了1Khz時(shí)的電流噪聲頻譜密度為23fA/根號(hào)赫茲,從噪聲頻譜密度曲線(xiàn)形狀上我們知道,在低頻時(shí)噪聲密度值隨頻率升高而下降,高頻時(shí)噪聲密度隨頻率基本不變,其約等于寬帶噪聲。由此我們知道這個(gè)放大器的寬帶噪聲密度肯定是小于23fA/根號(hào)赫茲的,我們暫且就用23fA/根號(hào)赫茲這個(gè)參數(shù)計(jì)算寬帶噪聲,知道這個(gè)計(jì)算出來(lái)的值要比實(shí)際情況大就好。

最終計(jì)算0.1Hz~100Khz的寬帶電流噪聲有效值Irms_bw為7.3nA,計(jì)算過(guò)程如下



d、帶寬確定

到這里已經(jīng)說(shuō)明了如何求得fa~fb頻帶內(nèi)的噪聲有效值,那問(wèn)題來(lái)了,為什么不求0~∞帶寬的噪聲有效值呢?而只求一部分?

下限頻率fa

為什么下限頻率fa不能是0呢?

這是因?yàn)椋覀兪菑慕y(tǒng)計(jì)學(xué)的方法分析的噪聲,如果最低頻率為0,那么意味值時(shí)間為無(wú)窮大,這顯然不符合常理。另外一方面,如果fa=0,那么其電壓噪聲頻譜密度為無(wú)窮大,這也是沒(méi)法計(jì)算的。



工程上認(rèn)為,當(dāng)噪聲頻率低于0.1Hz,即10s以上發(fā)作一次的事件,一般可以被認(rèn)為是人為、環(huán)境因素帶來(lái)的擾動(dòng),這可能與運(yùn)放電路本身無(wú)關(guān)。因此,絕大多數(shù)情況下,計(jì)算1/f噪聲,下限取值為0.1Hz。

上限頻率fb

上限頻率fb為什么不能是無(wú)窮大呢?

首先,如果上限是fb,那么不論是1/f噪聲,還是寬帶噪聲,最終的結(jié)果都會(huì)是無(wú)窮大,這也是不符合常理的。



另外一方面,我們的運(yùn)放電路本身都是有上限截止頻率的,類(lèi)似于一個(gè)低通濾波器,還記得運(yùn)放有一個(gè)參數(shù)增益帶寬積GBW嗎?頻率到一定程度,運(yùn)放都放大不了信號(hào)的。

如下圖是tlv9061的開(kāi)環(huán)曲線(xiàn),頻率超過(guò)100Hz之后, 每10倍頻下降20dB,這個(gè)特性跟一階低通濾波器是一樣的。



當(dāng)然,運(yùn)放一般不是在開(kāi)環(huán)的時(shí)候用,我們?cè)倏纯撮]環(huán)電路的增益情況。下圖是tlv9061手冊(cè)中的閉環(huán)增益曲線(xiàn),可以看到,閉環(huán)增益為10倍時(shí),在1Mhz以后,也是每10倍頻下降20db,其曲線(xiàn)像是一個(gè)截止頻率為1Mhz的低通濾波器。



總之,我們?cè)谑褂眠\(yùn)放的時(shí)候,其最終的幅頻特性就類(lèi)似一個(gè)低通濾波器,其截止頻率就是閉環(huán)的帶寬。這個(gè)濾波器也會(huì)濾掉高頻的噪聲,所以說(shuō)評(píng)估噪聲的時(shí)候,不能認(rèn)為噪聲上限是無(wú)窮的,我們要確定好上限頻率fb。

那問(wèn)題來(lái)了,上限頻率是等效濾波器的截止頻率嗎?

答案是否定的,因?yàn)闉V波器的截止頻率一般說(shuō)的是3db的,3db往后噪聲只是被衰減了,并不是沒(méi)有了。



如果說(shuō)高于截止頻率之后,增益立馬變?yōu)?,那么上限頻率等于截止頻率沒(méi)問(wèn)題,但問(wèn)題是現(xiàn)在這個(gè)濾波器并非磚墻濾波器(頻帶內(nèi)完全不衰減,頻帶外完全衰減為0),所以,如果我們直接草率的讓上限頻率fb等于截止頻率,那么是不符合實(shí)際的。

可能會(huì)有同學(xué)認(rèn)為,截止頻率之后看著幅度衰減很快,忽略也不要緊吧?其實(shí)不然,因?yàn)檫@是個(gè)對(duì)數(shù)坐標(biāo)軸,也就是說(shuō)頻率增大10倍才下降20db,從截止頻率下降20db的頻率范圍其實(shí)很寬,因此不能忽略。



既然問(wèn)題不能忽略,那又尬住了,這個(gè)上限頻率fb咋辦?

可以用等效的方法,原理如下:假設(shè)有一個(gè)磚墻濾波器,其截止頻率為fh,如果其帶寬內(nèi)的噪聲電壓有效值等于這個(gè)濾波器的噪聲電壓有效值,那么我們就可以把這個(gè)fh看作是我們要的上限頻率fb。

結(jié)合前面鋪墊的基礎(chǔ),只需要讓下面兩部分的面積相等,就能求得fh和f截止的關(guān)系,進(jìn)而就能求得上限頻率fb=fh了(注意,下圖的縱軸是電壓頻譜密度的平方,并不是增益曲線(xiàn),其形狀應(yīng)該是增益平方后對(duì)應(yīng)的形狀)。



后面的等效計(jì)算完全就是個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,這里就不推導(dǎo)了,直接拿結(jié)論來(lái)用吧,fh=1.57*f截止,即上限頻率是濾波器截止頻率的1.57倍。

注意,這里的數(shù)學(xué)計(jì)算是將噪聲看成是寬帶噪聲來(lái)算的,忽略了1/f噪聲,因?yàn)樵诟哳l段,1/f噪聲的貢獻(xiàn)本身非常小,所以忽略是沒(méi)問(wèn)題的。

其次需要注意,如果我們的電路本身就是濾波器電路,并且階數(shù)不是一階,那么這個(gè)系數(shù)也需要對(duì)于的變化。這應(yīng)該比較容易明白,如果是高階濾波器,那么曲線(xiàn)更陡峭,更加接近于磚墻濾波器,其系數(shù)應(yīng)該更小。

下面是各種濾波器的系數(shù):



舉個(gè)例子:現(xiàn)用tlv9061設(shè)計(jì)了一個(gè)放大5倍的放大器,電路本身并非是濾波器電路,請(qǐng)問(wèn)其評(píng)估噪聲的時(shí)候帶寬是多少?

答:如前面的分析,頻率下限按照f(shuō)a=0.1Hz;查看手冊(cè),TLV9061的增益帶寬積是10Mhz,放大倍數(shù)為5倍,所以其閉環(huán)增益帶寬為:10Mhz/5=2Mhz,這個(gè)電路本身并非濾波器,因此等效為一階濾波器,截止頻率為2Mhz,再乘以一階濾波器的系數(shù)1.57,可求得頻率上限fb=1.57*2Mhz=3.14Mhz。

總之,我們?cè)谠u(píng)估帶寬的時(shí)候,下限可以按照0.1Hz來(lái)評(píng)估。上限要看電路本身是否是濾波器,如果不是濾波器,可以先求得對(duì)應(yīng)的閉環(huán)帶寬,然后乘以對(duì)應(yīng)的系數(shù),就能得出上限頻率了;如果是低通濾波器,則直接用濾波器的截止頻率乘以對(duì)應(yīng)的系數(shù),也能得到上限頻率。

5、電阻的噪聲Vrms_r的計(jì)算

關(guān)于運(yùn)放的噪聲已經(jīng)說(shuō)明白了,那么電阻噪聲呢?

電阻噪聲一般說(shuō)的是熱噪聲,也是白噪聲,其特點(diǎn)是各個(gè)頻率的噪聲能量相同,即噪聲密度是一條平坦的曲線(xiàn)。它的RMS值與帶寬的平方根成正比,隨著帶寬的增加,電阻的噪聲會(huì)成為電路噪聲的主要因素。

電阻的電壓噪聲有效值計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單,只跟電阻阻值的大小,溫度,帶寬三者有關(guān),可以用下面公式計(jì)算:



我們也可以根據(jù)上面的公式,反推得到電阻的電壓噪聲頻譜密度公式,下圖即是電阻的電壓噪聲密度公式,以及常見(jiàn)電阻在25℃下的電壓噪聲頻譜密度。



實(shí)際電路設(shè)計(jì)中,我們可以根據(jù)上表快速的近似估算電阻的噪聲大小。

根據(jù)上面的公式,我們可以推導(dǎo)出:無(wú)論并聯(lián),串聯(lián),只要最終總的電阻阻值一致,都是不會(huì)改變電阻的熱噪聲的,過(guò)程就不證明了。

6、總的電壓噪聲輸出計(jì)算

至此,我們已經(jīng)知道如何求得運(yùn)放,電阻各自的電壓噪聲有效值,但這還不是我們最終的目的,我們需要知道的是我們?cè)O(shè)計(jì)的電路輸出的總的電壓噪聲大小。

其實(shí)后面就簡(jiǎn)單了,我們只需要將噪聲源加到電路當(dāng)中去就可以了,然后利用疊加原理分別計(jì)算不同噪聲源對(duì)輸出噪聲的貢獻(xiàn),最后就可以求得最終輸出端的總噪聲大小了。

a、放大器電路噪聲模型

下圖是常見(jiàn)的同相放大器放大電路:



我們給每個(gè)電阻加上電壓噪聲,給放大器加上電壓噪聲和電流噪聲,最終可構(gòu)建如下圖所示的電路噪聲模型。



這里需要提一點(diǎn),我們前面已經(jīng)知道了運(yùn)放的電流噪聲有效值Irms如何計(jì)算,但是這個(gè)模型里面是有兩個(gè)電流噪聲的,分別是同相端電流噪聲in+_rms和反相端電流噪聲in-_rms,一般我們認(rèn)為計(jì)算出的電流噪聲Irms=in+_rms=in-_rms。

加上所有的噪聲信號(hào)之后,這個(gè)電路看起來(lái)非常復(fù)雜,看著有點(diǎn)頭大,那么輸出端總的電壓噪聲該如何計(jì)算呢?

b、放大器電路的總噪聲有效值Vn_rms_out

其實(shí)開(kāi)頭已經(jīng)說(shuō)了,我們只需要將噪聲源加到電路當(dāng)中去就可以了,利用疊加原理然后分別計(jì)算不同噪聲源對(duì)輸出噪聲的貢獻(xiàn),就可以求得最終輸出端的總噪聲大小了。

具體如何求呢?

上圖中有3個(gè)電阻,就有3個(gè)電阻電壓噪聲,然后放大器同相和反相端各有1個(gè)電流噪聲,還有一個(gè)運(yùn)放的電壓噪聲,總共6個(gè)噪聲源,我們要分別求這6個(gè)噪聲源在輸出端產(chǎn)生的噪聲大小。

因?yàn)槲覀冸娐肥蔷€(xiàn)性電路,因此滿(mǎn)足疊加原理,可以求得6個(gè)噪聲的表達(dá)式如下,然后將這些噪聲求平方和,然后開(kāi)根號(hào),就能得到我們最終總的輸出電壓總噪聲Vn_rms_out了。



這里有個(gè)問(wèn)題,不是利用疊加原理嗎?為什么最終總的電壓噪聲有效值不是將這6個(gè)直接加起來(lái)呢?而是取平方,累加之后再開(kāi)方呢?

其實(shí)原理跟1/f噪聲和寬帶噪聲疊加的原理一樣,我們現(xiàn)在計(jì)算的6個(gè)噪聲都是有效值,合并之后計(jì)算總的輸出也是有效值,既然都是有效值,那么就是疊加后要滿(mǎn)足做功相等,所以就是平方后累加再開(kāi)方。

下面寫(xiě)明了如何求得6個(gè)噪聲的表達(dá)式,其實(shí)如果對(duì)運(yùn)放的虛短和虛斷理解清晰,應(yīng)該就不在話(huà)下了。

1、放大器電壓噪聲Vn_rms對(duì)輸出端的貢獻(xiàn)Vn_rms_out

單獨(dú)評(píng)估放大器電壓噪聲Vn_rms對(duì)輸出端的貢獻(xiàn),那么我們令其它的噪聲不存在,電壓噪聲統(tǒng)統(tǒng)視為短路,電流噪聲通通視為斷路。同時(shí)我們是評(píng)估噪聲的影響,那么令輸入信號(hào)也為0,即輸入接地,最終等效電路如下圖:



根據(jù)運(yùn)放的基本特性,我們很容易就能求出Vn_rms在輸出端的貢獻(xiàn)電壓了,過(guò)程如下:



上面這個(gè)電路其實(shí)就是個(gè)常見(jiàn)的同相放大電路,放大倍數(shù)就是1+R1/R2,輸入信號(hào)是Vn_rms,上面的過(guò)程我只不過(guò)是按照運(yùn)放虛斷和虛短的基本特性又推導(dǎo)了一遍而已。

繼續(xù)看剩下的5個(gè)噪聲對(duì)輸出的貢獻(xiàn)。

2、放大器正相端電流噪聲In+_rms對(duì)輸出噪聲的貢獻(xiàn)Vn+_rms_out

同樣的道理,其它的電壓噪聲視為短路,電流噪聲視為開(kāi)路,輸入接地,電路圖變成如下:



很容計(jì)算出正相端電流噪聲在輸出端的貢獻(xiàn)如下:



3、放大器負(fù)相端電流噪聲In-_rms對(duì)輸出噪聲的貢獻(xiàn)Vn-_rms_out


圖片


4、電阻Rp的噪聲Vn_rms_rp對(duì)輸出的貢獻(xiàn)Vn_rms_rp_out



5、電阻R1的噪聲Vn_rms_r1對(duì)輸出的貢獻(xiàn)Vn_rms_r1_out



6、電阻R2的噪聲Vn_rms_r2對(duì)輸出的貢獻(xiàn)Vn_rms_r2_out



c、總輸出噪聲峰峰值Vn_pp_out計(jì)算

求出了總輸出噪聲Vn_rms_out后,我們直接將其乘以6(原因已在前面“噪聲參數(shù)與分析基本原理”說(shuō)明了),即可求得峰峰值噪聲了。



小結(jié)

本節(jié)內(nèi)容到這里就結(jié)束了,小結(jié)一下:

1、評(píng)估噪聲是基于統(tǒng)計(jì)學(xué),根據(jù)噪聲有效值評(píng)估噪聲峰峰值的大小。

2、整個(gè)運(yùn)放電路的噪聲包括電阻噪聲和運(yùn)放噪聲;運(yùn)放噪聲分為電壓噪聲和電流噪聲,其中各自又包含兩部分,分別是1/f噪聲和寬帶噪聲。

3、評(píng)估噪聲跟電路的帶寬有很大關(guān)系,下限一般是0.1Hz,上限一般是1.57*GBW/增益(濾波電路除外)

4、需要分別求出運(yùn)放電壓噪聲,電流噪聲,以及電阻噪聲在輸出端的貢獻(xiàn),然后求平方和再開(kāi)方,最終才是輸出端的電壓噪聲有效值。

6、最終電壓噪聲有效值乘以6,即可得到電路輸出端的電壓噪聲峰峰值。

本節(jié)內(nèi)容較多,看清來(lái)像是抓不到重點(diǎn),主要是為了說(shuō)清楚每一個(gè)點(diǎn)的計(jì)算原理是什么。我們真正在電路中評(píng)估噪聲時(shí),倒不用像這么復(fù)雜一步一步算過(guò)來(lái),會(huì)有一些簡(jiǎn)單的評(píng)估方式,具體怎么簡(jiǎn)單評(píng)估,就留待下期吧。


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