多相技術(shù)以小規(guī)模實(shí)現(xiàn)大型濾波器

在現(xiàn)代電子系統(tǒng)中，到處都可以看到數(shù)字信號處理（ DSP ）的應(yīng)用，從MP3播放器、數(shù)碼相機(jī)到手機(jī)。DSP設(shè)計(jì)人員的工具箱的支柱之一是有限脈沖響應(yīng)（ FIR ）濾波器。FIR濾波器越長（有大量的抽頭），濾波器的響應(yīng)越好。然而這里有折衷的情況，由于大量的抽頭增加了對邏輯的需求、增加了計(jì)算的復(fù)雜性，增加了功耗，以及可能引起飽和/溢出。

多相技術(shù)可以用于實(shí)現(xiàn)濾波器，擁有與傳統(tǒng)FIR濾波器可比的結(jié)果，而且使用了較少的邏輯、需要較少的計(jì)算資源、更低的功耗，并減少了可能的飽和/溢出。可用如今新型的小規(guī)模、中檔的FPGA，如LatticeECP3 來實(shí)現(xiàn)這些濾波器。

基本概念

進(jìn)入DSP世界可能會(huì)有些令人生畏，因此，讓我們首先介紹一些簡單的概念。對于數(shù)字系統(tǒng)，如音頻，視頻和無線領(lǐng)域，形成信號的結(jié)果是與采樣率相關(guān)的。舉例來說，以48 kHz（即每秒48000個(gè)樣本）對專業(yè)音頻信號進(jìn)行采樣。相比之下，消費(fèi)者的CD播放機(jī)則使用44.1 kHz的采樣率。

多速率系統(tǒng)

多速率系統(tǒng)使用多個(gè)采樣速率。在某些情況下，運(yùn)行于某個(gè)速率的系統(tǒng)的一部分需要一個(gè)原來以另外某個(gè)速率采樣的信號（轉(zhuǎn)換專業(yè)音頻到消費(fèi)者的CD音頻就是一個(gè)例子）。在這種情況下，原始信號的速率必須根據(jù)需要增加或減少。

或者針對特定的用途，也可能以比實(shí)際需要更高的速率對原來的數(shù)據(jù)進(jìn)行了采樣。因此，降低采樣率，然后運(yùn)行所得到的數(shù)據(jù)就可以大幅度降低數(shù)據(jù)吞吐量的要求，降低對存儲(chǔ)器的要求，提高處理效率并降低功耗。

向下采樣和抽取

讓我們首先考慮降低采樣率的問題。假設(shè)我們有一個(gè)信號，原來以我們稱之為fHz的某一頻率進(jìn)行采樣，如如圖1所示。

圖1 用f Hz采樣率對原始信號采樣

現(xiàn)在假設(shè)我們要降低采樣率至原來頻率的1/4。達(dá)到此目的一個(gè)方法來就是簡單地扔掉每四個(gè)原始采樣中的三個(gè)，如圖2所示。

用1/4 f Hz采樣率得到新的信號

在數(shù)字信號處理中， “混疊現(xiàn)象”是指采樣時(shí)造成不同的連續(xù)信號彼此難以區(qū)分的情況，它們互相“混疊”。 混疊現(xiàn)象也稱為失真，或贗品，即源于采樣重構(gòu)的信號不同于原來的連續(xù)信號。

如果我們丟棄了如上文所討論的一些樣本，由此得到的信號會(huì)含有混疊現(xiàn)象的贗品。作為一個(gè)簡單的例子，考慮一個(gè)音頻信號，可能含有人耳聽不見的高頻分量的樂曲。如果我們以過低的速率對這個(gè)信號采樣（當(dāng)我們丟棄一些樣本時(shí)，實(shí)際上是我們正在做的事情），然后用數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換器重構(gòu)這個(gè)樂曲，我們可以聽到欠采樣高頻分量的低頻混疊。

為了避免這種情況，常見的做法是在丟棄不想要的樣本之前，用低通濾波器去除不要的高頻，如圖3所示。

圖3 在丟棄任何樣本前對這個(gè)信號進(jìn)行濾波

一般而言， “向下采樣”只是指丟棄樣本的處理而不執(zhí)行濾波的操作。相比之下， “抽取”指的是降低采樣率的整個(gè)過程，即執(zhí)行濾波操作，然后丟棄樣本。實(shí)際上， “向下采樣” 、“下變頻”和“抽取”往往交替使用。

“抽取因子”是指輸入采樣率與輸出采樣率之比。通常用字母M來表示。在上面的例子中，輸入速率是輸出速率的4倍，所以M=4。

向上采樣和內(nèi)插

現(xiàn)在考慮的情況是，我們希望提高采樣率。這樣做的原因是為了使系統(tǒng)的另一部分與信號運(yùn)行在更高的采樣速率。假設(shè)我們從一個(gè)信號開始，即原來以我們稱為fHz的某個(gè)頻率進(jìn)行采樣的信號，如圖4所示。

圖4 采樣率為f Hz的原始信號

現(xiàn)在假設(shè)我們要增加采樣率為原來頻率的4倍。我們開始在原始樣本之間插入零值樣本，以提高采樣率，如圖5所示。

圖5 用零值樣本對原始信號進(jìn)行擴(kuò)充

但現(xiàn)在有一個(gè)問題，因?yàn)樾碌牧阒禈悠诽砑恿瞬灰念l譜分量至信號。為了解決此問題，我們對這個(gè)新的信號進(jìn)行了濾波，除去了不想要的分量，產(chǎn)生了更合適的采樣值，如圖6所示。

圖6采樣率為4倍 fHz的最終信號

從技術(shù)上講， “ 向上采樣 ”只是指插入零值樣本的過程。相比之下， “內(nèi)插”指的是增加采樣率的整個(gè)過程，即插入零值樣本，然后進(jìn)行濾波操作1。實(shí)際上， “向上采樣 ”、“向上轉(zhuǎn)換”和“內(nèi)插”往往交替使用。

“內(nèi)插因子”指的是輸出采樣率對輸入采樣率的比例。這通常用字母L來表示。在上面的例子中，輸出速率4倍于輸入速率，因此，L = 4 。這個(gè)過程的圖形說明參見圖7。

圖7 插入零值樣本后對這個(gè)信號進(jìn)行濾波

重采樣

前面的討論中，應(yīng)該指出的是，抽取和內(nèi)插因子可以假設(shè)為只有整數(shù)值。也就是說，我們只可以抽取或內(nèi)插整數(shù)因子，而不是分?jǐn)?shù)因子。例如，如果進(jìn)行抽取，我們只能丟棄整數(shù)的樣本（2個(gè)中的1個(gè)、3個(gè)中的1個(gè)、3個(gè)中的2個(gè)、3個(gè)4個(gè)中的3個(gè)，等等）。

假設(shè)我們要修改信號的采樣率，以便在兩個(gè)子系統(tǒng)之間進(jìn)行接口。如果子系統(tǒng)的采樣率的比率是一個(gè)整數(shù)值，那么我們只需要執(zhí)行抽取或內(nèi)插。但是，如果采樣率的比率是一個(gè)分?jǐn)?shù)值，那么我們需要進(jìn)行抽取和內(nèi)插的組合，這樣的過程稱之為重采樣。

例如，如果用2.5因子進(jìn)行重采樣，首先我們用插值因子為5 ，然后用抽取因子2產(chǎn)生輸出對輸入采樣率為5/2 = 2.5的采樣率，如圖8所示。

圖8 重采樣（L= 5、M= 2 ）

在實(shí)踐中，如圖8所示的內(nèi)插和抽取濾波器將組合在一起。術(shù)語“重采樣因子”是指輸出采樣率和輸入采樣率之間的比例。不考慮涉及的頻率，這可以表示為內(nèi)插和抽取因子L/M之間的比例，在上面的例子中就是5/2 = 2.5。

作為另一個(gè)例子，考慮重采樣專業(yè)音頻信號的過程，采樣率為48千赫，對于消費(fèi)者的音頻設(shè)備，需要的采樣率為44.1千赫。在這種情況下，重采樣因子等于輸出速率對輸入速率之比： 44.1 kHz /48 kHz = 0.91875 。

看看另一種方法，采樣速率必須由48,000Hz改變到44100Hz，這意味著輸入輸出比為44100/48,000 = = 441 / 480 = 147 / 160。由于在147和160中沒有公共的因子，我們只好就此止步，這意味著我們需要的內(nèi)插因子為147 ，然后抽取因子為160，如圖9所示。

圖9 對商業(yè)音頻重采樣（L= 147、M= 160 ）

再次說明，重采樣因子可表示為內(nèi)插和抽取因子L/M之間的比例，就是147/160 =0.91875 。毫不意外，這正是我們得到的與輸入和輸出采樣率的比例完全相同的值，因?yàn)樗璧膬?nèi)插和抽取因子源于這些比率。

介紹FIR濾波器

有兩種基本類型的數(shù)字濾波器：有限脈沖響應(yīng)（ FIR ）和無限脈沖響應(yīng)（ IIR）。

IIR濾波器使用反饋，而且往往是模仿傳統(tǒng)的模擬濾波器的響應(yīng)。反饋的用途意味著他們的脈沖響應(yīng)是遞歸的，并延伸到無限的時(shí)段。雖然可以用比FIR濾波器更少的計(jì)算來實(shí)施IIR濾波器，IIR濾波器可能有穩(wěn)定性的問題，他們可能與用FIR濾波器完成的性能不匹配。

相比之下， FIR濾波器沒有反饋，這意味著它的脈沖響應(yīng)在一個(gè)有限的時(shí)間范圍之內(nèi)。 FIR濾波器擁有優(yōu)于IIR濾波器的幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)，其中包括一個(gè)事實(shí)，即在整個(gè)頻譜范圍，他們有完全恒定的群時(shí)延，在所有頻率范圍內(nèi)，不論濾波器的大小，他們是完全穩(wěn)定的。

通用FIR濾波器的圖形表示如圖10所示。在這種情況下，輸入樣本xn通過一系列的緩沖寄存器（這些都標(biāo)記為z-1，對應(yīng)延時(shí)單元的Z變換）。

圖10 經(jīng)典FIR濾波器的通用表示

濾波器的工作原理是用一系列的常數(shù)（稱為抽頭系數(shù)）乘以一系列最新的n個(gè)數(shù)據(jù)采樣，并對所得到的數(shù)組的單元進(jìn)行求和。通過改變系數(shù)和濾波器抽頭數(shù)目的加權(quán)（值），F(xiàn)IR濾波器實(shí)際上可實(shí)現(xiàn)幾乎任何所需的頻率響應(yīng)特性。

問題是FIR濾波器可能需要大量的抽頭（有時(shí)數(shù)百個(gè)），以實(shí)現(xiàn)其預(yù)定的目標(biāo)。每一個(gè)抽頭需要消耗邏輯資源的乘法器累加器（ Mac ）單元。另外在每個(gè)時(shí)鐘，每個(gè)抽頭執(zhí)行消耗功率2的乘法和加操作。

用多相FIR濾波器進(jìn)行抽取

多相濾波器的基本概念是把FIR濾波器分割成若干較小的單元，然后組合這些單元的結(jié)果。首先，讓我們考慮一個(gè)基于常規(guī)8抽頭FIR濾波器的抽取子系統(tǒng)的符號表示，如圖11所示（為了使用這些例子，我們假設(shè)抽取因子為M = 4 ）。