開槽波導(dǎo)3次諧波回旋行波放大管非線性理論與數(shù)值模擬
當(dāng)角向模式m和槽深(即a/b的值)確定后,截止波數(shù)kc的值可由式(10)通過(guò)數(shù)值求解方法求得[6,8,9].
三、自洽非線性理論
在熱腔中,高頻場(chǎng)沿軸向呈緩變分布狀況,其對(duì)橫坐標(biāo)(r,φ)的分布函數(shù)與冷腔情況相同.下面給出Ⅰ區(qū)中的熱腔高頻電場(chǎng)分量(TE波)表達(dá)式.
(11)
(12)
Ez=0 (13)
上述各式中,Cmn為電場(chǎng)歸一化系數(shù),f(z)為一復(fù)函數(shù),代表高頻場(chǎng)沿Z軸的緩變分布情況.Cmn的值由下式求得
(14)
以下是自洽非線性注波互作用常微分方程組.
從洛倫茲公式
出發(fā)[8],可推得電子在高頻場(chǎng)(E,B)和直流磁場(chǎng)(B0)作用下的運(yùn)動(dòng)方程.每個(gè)電子有6個(gè)運(yùn)動(dòng)參量方程,這里僅給出了速度分量及動(dòng)量空間角3個(gè)運(yùn)動(dòng)參量方程.
(15)
(16)
(17)
以上各式中,m0和γ分別為電子的靜止質(zhì)量和相對(duì)論因子,φ為動(dòng)量空間角,u=γv,v為電子的速度,如圖1所示.
從有源麥克斯韋方程出發(fā),經(jīng)過(guò)一系列復(fù)雜的推導(dǎo)并對(duì)電流進(jìn)行離散化后得到非線性注波互作用場(chǎng)方程為
(18)
上式中,P為在一個(gè)高頻場(chǎng)周期內(nèi)所取的電子注批數(shù),M為考慮電子注厚度因數(shù)而將電子注化分的圈數(shù),N為每圈上所取的宏電子數(shù),S為諧波次數(shù).〈…〉表示對(duì)初始速度分布函數(shù)為g0(v⊥,vz)的速度空間進(jìn)行平均.設(shè)電子注為單能電子注,速度零散主要來(lái)自于橫縱向速度比值(V⊥/Vz)的零散,這里按正態(tài)分布規(guī)律來(lái)處理速度零散,即初始速度分布函數(shù)為
式中K為歸一化常數(shù),△vz為平均縱向速度零散,δ為狄拉克函數(shù).
邊界條件
f(z)|z=0=f(0) (19)
(20)
式中f(0)為輸入高頻場(chǎng)電場(chǎng)幅值.
方程(15)~(18)為自洽非線性注波互作用方程組.將電子注離散為NT個(gè)宏電子,則一共有6NT+2個(gè)一階非線性微分方程,結(jié)合邊界條件(19)、(20),利用四階龍格庫(kù)塔法對(duì)注波互作用進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,計(jì)算結(jié)果在下部分內(nèi)容中給出并討論.
評(píng)論