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一種具有較大圍長的正則LDPC碼構(gòu)造方法

作者: 時(shí)間:2010-03-15 來源:網(wǎng)絡(luò) 收藏

1962年Gallager提出低密度校驗(yàn)(Low DensityParity Check,)碼,后來Tanner對它進(jìn)行了很有價(jià)值的補(bǔ)充,直到1995年又被Mackey重新提出。如果采用和積迭代譯碼算法,非常接近香農(nóng)限的性能。如果在碼的Tanner圖中存在環(huán),在迭代譯碼的過程中錯(cuò)誤信息將會膨脹,對于LDPC的譯碼性能相當(dāng)有害,尤其是較短環(huán)的存在,所產(chǎn)生的危害尤為嚴(yán)重。所以,在LDPC的過程當(dāng)中,要盡量避免短環(huán)的出現(xiàn)。為了盡量減小Tanner圖中環(huán)的存在對相應(yīng)LDPC碼在和積譯碼算法下所得性能的影響,一些研究學(xué)者基于代數(shù)和啟發(fā)式搜索,提出了一些圍長的LDPC碼。研究表明,通過增大LDPC碼的圍長,在一定程度上可以改善碼的糾錯(cuò)性能。本文LDPC碼,在構(gòu)造過程中討論了設(shè)計(jì)圍長的參數(shù)選舉,使得滿足一定的條件就可以避免校驗(yàn)矩陣的小圍長出現(xiàn),使得所構(gòu)造的矩陣圍長。

1.LDPC碼的構(gòu)造理論

考慮長為16的(2,4)LDPC碼對應(yīng)的Tanner,如圖1所示。


從圖1中很顯然可以看出,該Tanner中環(huán)的最小長度為8,因此對應(yīng)LDPC碼的圍長也為8。

按圖1將其中的變量結(jié)點(diǎn)和校驗(yàn)結(jié)點(diǎn)依次編號,可以得到對應(yīng)LDPC碼的校驗(yàn)矩陣,如圖2所示。


圖2矩陣很有規(guī)律,可以看作是由兩個(gè)行重為2、維數(shù)為8×8的循環(huán)方陣拼接而成。因此可以猜想,采用某些有規(guī)律的矩陣合并成校驗(yàn)矩陣,這樣生成的LDPC碼很可能會具有的圍長?;蛘哒f,將LDPC碼的校驗(yàn)矩陣分裂為若干個(gè)子矩陣,然后每個(gè)子矩陣再按照某種規(guī)律構(gòu)造,就有可能避免小環(huán)的出現(xiàn)。

這里采用矩陣分裂的思想。設(shè)要構(gòu)造一個(gè)長為72(n=ρUU∈N)的(λ,ρ)LDPC碼,將該碼的校驗(yàn)矩陣分裂為(λ,ρ)個(gè)U×U的子矩陣。



式中:每個(gè)子矩陣Hi,j=I(ai,j)(0≤iλ,0≤jρ)均為一個(gè)單位陣或者單位陣的循環(huán)移位ai,j表示該單位陣的各行循環(huán)右移的位數(shù)。顯然,這樣構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣也不可能為滿秩,至多為λρ-λ-1。
為便于描述,用A=(ai,j)表示由各個(gè)子方陣的循環(huán)移位參數(shù)組成的矩陣,用(I,J,i,j)表示校驗(yàn)矩陣中的元素,其中(I,J)為該元素所屬的子矩陣的坐標(biāo),(i,j)為該元素在它所屬的子矩陣中的坐標(biāo)。稱Tanner圖中每個(gè)變量結(jié)點(diǎn)參與的所有環(huán)的最小長度為該變量結(jié)點(diǎn)的環(huán)長,則顯然相應(yīng)LDPC碼的圍長就等于各個(gè)變量結(jié)點(diǎn)環(huán)長的最小值。將n個(gè)變量結(jié)點(diǎn)分為P組,每一組變量結(jié)點(diǎn)對應(yīng)一列子矩陣,則考慮到各個(gè)子矩陣的循環(huán)特性,有如下定理成立。

定理1 屬于同組的變量結(jié)點(diǎn)具有相同的環(huán)長。

證明:設(shè)任意兩個(gè)同組的變量結(jié)點(diǎn)x和y,分別對應(yīng)一列子矩陣的第x列和第y列,且y-x=dmodU,其環(huán)長分別為C(x)和C(y),并設(shè)變量結(jié)點(diǎn)x的最小環(huán)路徑如圖3所示。



根據(jù)各個(gè)子矩陣的循環(huán)特性,可以找到另一個(gè)環(huán)的路徑如圖4所示。



顯然該環(huán)路長度為C(x)且經(jīng)過變量節(jié)點(diǎn)y,故有:

C(x)≥C(y) (2)
同理可得:
C(x)≤C(y) (3)

綜合上面兩式,有C(x)=C(y)即對任意兩個(gè)同組的變量節(jié)點(diǎn),它們的環(huán)長均相等,證畢。

由定理1可知,按照上述方法構(gòu)造的校驗(yàn)矩陣所對應(yīng)的LDPC碼,所有變量節(jié)點(diǎn)的環(huán)長至多有ρ種情況,因此對這樣構(gòu)造的矩陣只需要分別從各組中抽取一個(gè)變量節(jié)點(diǎn),然后只對這ρ個(gè)變量節(jié)點(diǎn)進(jìn)行檢測,即可確定整個(gè)碼的圍長。

2校驗(yàn)矩陣中循環(huán)移位參數(shù)的選取

下面討論4環(huán)的情況。如果一個(gè)LDPC碼含有4環(huán),則它所對應(yīng)的校驗(yàn)矩陣中必然有4個(gè)“1”處于某個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn),該環(huán)路路徑可表示為:


定理2 按照式(1)所示矩陣分裂方法構(gòu)造的矩陣所對應(yīng)的LDPC碼不含長為4的環(huán)的充要條件有式(6)成立:


該定理的正確性從前面的描述中即可得知,這里不再贅述。


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