一種分數(shù)階微分IIR濾波器的設(shè)計方法和改進

圓內(nèi)。為了構(gòu)造最小相位系統(tǒng)，將零點r2映射到其倒數(shù)r1上。同時為了使幅度保持不變，引入補償因子一r2。獲得的積分算子如下：

積分算子的極點是1和一1，在單位圓上，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性，但經(jīng)過后面連續(xù)分數(shù)擴充方法截斷后，可以使極點都在單位圓內(nèi)。
下面是T=O．001 s時，使用新算子B實現(xiàn)0．5階微分的IIR分數(shù)階微分濾波器函數(shù)GvBn(z)：

2．3 基于Rectangular算子和Simpson算子內(nèi)插結(jié)合的分數(shù)階微分濾波器
同樣將Rectangular算子和Simpson算子結(jié)合也可以形成新算子。新的積分算子HC(z)傳輸函數(shù)通過矩形(Rectangular)算子和辛普森(Simpson)算子按5：3比例結(jié)合獲得：

相位系統(tǒng)，將零點r2映射到其倒數(shù)1/r2上。同時為了使幅度保持不變，引入補償因子一r2。獲得的積分算子
如下：

積分算子的極點是1和一1，在單位圓上，不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性，但經(jīng)過后面連續(xù)分數(shù)擴充方法截短后，可以使極點都在單位圓內(nèi)。
下面是T=0．001 s時，使用新算子C實現(xiàn)0．5階微分的IIR分數(shù)階微分濾波器函數(shù)GvCn(z)：

圖3顯示的是通過相互結(jié)合的3種新算子的分數(shù)階微分濾波器頻率響應(yīng)。可以看出，新算子中A相比B和C具有更好的頻率特性。其幅度特性曲線從低頻到高頻都基本接近理想頻率響應(yīng)曲線。新算子中A的相位特性隨頻率的增大，相位延遲近似線性增加，可以引入分數(shù)階延遲濾波器來進一步改進相位特性。

3 結(jié) 語
主要從頻域角度出發(fā)，對分數(shù)階微分IIR濾波器的設(shè)計以及實現(xiàn)進行了深入分析。分數(shù)階微分IIR濾波器的實現(xiàn)有兩個重要的步驟。首先，找到合適的微分算子，所選算子的頻率響應(yīng)逼近理想分數(shù)階微分頻率響應(yīng)的程度直接影響到所實現(xiàn)濾波器的表現(xiàn)；其次，要使用合適的展開方法把傳輸函數(shù)從分數(shù)階形式轉(zhuǎn)化成整數(shù)階濾波器的形式，連續(xù)分數(shù)擴充(CFE)方法是一種廣泛使用并有良好效果的方法。這里通過將幾種典型算子進行內(nèi)插結(jié)合獲得了一種整體更接近理想頻率響應(yīng)的算子，使用連續(xù)分數(shù)擴充(CFE)方法，完成了分數(shù)階微分IIR濾波器的數(shù)字實現(xiàn)，通過新算子頻率響應(yīng)的對比分析，分數(shù)階微分濾波器的性能獲得了明顯的提高。