一種分?jǐn)?shù)階微分IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法和改進(jìn)

摘 要：提出一種在不增加分?jǐn)?shù)階微分濾波器復(fù)雜度的前提下，能有效提高分?jǐn)?shù)階微分濾波器性能的方法。該方法利用幾種基于典型微分算子的分?jǐn)?shù)階微分濾波器之間的互補(bǔ)性，通過(guò)相互內(nèi)插結(jié)合的方式，用于提高IIR分?jǐn)?shù)階數(shù)字濾波器的性能。改進(jìn)后的分?jǐn)?shù)階微分濾波器頻率響應(yīng)更接近理想分?jǐn)?shù)階微分濾波器，表明所提方法的有效性。
關(guān)鍵詞：分?jǐn)?shù)階微積分；數(shù)字微分器；IIR濾波器；微分算子；連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充

0 引 言
分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)既古老又現(xiàn)代的話題。早在整數(shù)階微積分產(chǎn)生的時(shí)候分?jǐn)?shù)階微積分就產(chǎn)生了，該問(wèn)題曾被許多數(shù)學(xué)家，如Leibniz(1695)，Euler(1738)，Liouville(1850)，Hardy和Littlewood(1925)等涉及和探究過(guò)。雖然分?jǐn)?shù)階微積分的研究難度很大，但近三百年在眾多科學(xué)家的不懈努力下，分?jǐn)?shù)階微積分作為純數(shù)學(xué)分支已經(jīng)發(fā)展?jié)u成體系，但其物理意義不明確，阻礙了分?jǐn)?shù)維微積分的應(yīng)用，目前在工程技術(shù)界中沒(méi)有得到廣泛應(yīng)用。從Mandelbrot提出分形學(xué)說(shuō)，將Rie―mann―Liouville分?jǐn)?shù)階微積分用以分析和研究分形媒介中的布朗運(yùn)動(dòng)以來(lái)，分?jǐn)?shù)階微積分才在許多學(xué)科，特別是在化學(xué)、電磁學(xué)、控制學(xué)、材料科學(xué)和力學(xué)中引起廣泛關(guān)注并嘗試著應(yīng)用。隨信息科學(xué)的變革和迅猛發(fā)展，分?jǐn)?shù)階運(yùn)算在很多問(wèn)題的處理過(guò)程中所擁有整數(shù)階運(yùn)算無(wú)可比擬的優(yōu)點(diǎn)正逐漸顯露出來(lái)。
目前分?jǐn)?shù)階濾波器已經(jīng)在分?jǐn)?shù)階控制器、信號(hào)處理、圖像壓縮和處理等領(lǐng)域得到成功應(yīng)用。分?jǐn)?shù)階數(shù)字分?jǐn)?shù)階微分濾波器的設(shè)計(jì)和改進(jìn)，正成為分?jǐn)?shù)階微積分研究領(lǐng)域的一個(gè)熱點(diǎn)。數(shù)字微分濾波器的設(shè)計(jì)方法通?？梢詺w為2類(lèi)：第一種是線性相位F1R濾波器方法；另一種是IIR濾波器法?？紤]到濾波器設(shè)計(jì)復(fù)雜度因素，F(xiàn)IR微分濾波器階數(shù)會(huì)受到限制，影響了其頻率響應(yīng)對(duì)理想頻率響應(yīng)的逼近效果，因此這里考慮使用IIR分?jǐn)?shù)階微分濾波器來(lái)實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階運(yùn)算。
IIR分?jǐn)?shù)階數(shù)字微分濾波器設(shè)計(jì)的重點(diǎn)是實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階算子的離散化，即是找到一個(gè)函數(shù)Gv(z)，使其頻率響應(yīng)無(wú)限逼近理想分?jǐn)?shù)階數(shù)字微分器的頻率響應(yīng)Hv(ω)=(jω)v?；静襟E可以歸納為：首先，找到頻率響應(yīng)接近理想一階微分的算子；然后基于所選用的微分算子，推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳輸函數(shù)；最后通過(guò)各種展開(kāi)方法把傳輸函數(shù)的分?jǐn)?shù)階形式轉(zhuǎn)化為整數(shù)階濾波器形式。完成分?jǐn)?shù)階展開(kāi)的常用方法有冪級(jí)數(shù)展開(kāi)(PSE)和連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充(CFE)，其中連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充方法對(duì)函數(shù)的逼近更好，收斂更快。
首先對(duì)Rectangular算子、Tustin算子、Simpson算子這幾種典型微分算子通過(guò)連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充，得到相應(yīng)的0．5階微分濾波器頻率響應(yīng)。通過(guò)分析這幾種算子的頻率響應(yīng)表明，基于這幾種典型算子的分?jǐn)?shù)階微分濾波器各有優(yōu)缺點(diǎn)和具有互補(bǔ)性，將這幾種典型算子進(jìn)行結(jié)合可得到更接近理想分?jǐn)?shù)階微分算子頻率響應(yīng)的算子。

1 典型IIR分?jǐn)?shù)階微分濾波器
1．1 基于Simpson算子的IIR分?jǐn)?shù)階數(shù)字微分濾波器
Simpson微分算子表示為：

GvSn(z)中v表示微分階數(shù)；n表示濾波器階數(shù)。圖1是基于Simpson算子的O．5階微分濾波器的頻率響應(yīng)曲線圖。

在此使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)充(CFE)方法完成對(duì)上式的展開(kāi)，這里簡(jiǎn)要介紹分?jǐn)?shù)階算子實(shí)現(xiàn)過(guò)程中使用到的CFE方法。對(duì)于任何一個(gè)函數(shù)D(z)，可以用下面連續(xù)分?jǐn)?shù)的形式來(lái)表示：

式中，系數(shù)ai，bi是關(guān)于變量z的有理函數(shù)或常數(shù)。只需要通過(guò)截?cái)嗖僮?，就能得到有限階逼近函數(shù)。下面列出T=0．001 s時(shí)，使用連續(xù)分?jǐn)?shù)擴(kuò)展(CFE)完成上式的展開(kāi)，得到0．5階微分的Simpson分?jǐn)?shù)階微分濾波器傳遞函數(shù)GvSn(z)：

通過(guò)對(duì)比和分析，從誤差和計(jì)算復(fù)雜度兩個(gè)方面均衡考慮分?jǐn)?shù)階微分濾波器階數(shù)的選為5階比較合適。因此這里濾波器的階數(shù)都選為5階。
1．2 基于Rectangular算子的IIR分?jǐn)?shù)階數(shù)字微分濾波器
．Rectangular算子表示為：