巧找線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的“七寸”

　　在電子電路設(shè)計(jì)過程中，負(fù)反饋的引入讓系統(tǒng)變的更加“聽話”，然而，在使用負(fù)反饋的過程中，也有潛在的不穩(wěn)定性：當(dāng)設(shè)計(jì)的系統(tǒng)滿足一定條件時(shí)，設(shè)計(jì)的系統(tǒng)就會(huì)變得不那么“聽話”，甚至變得振蕩起來。為了找到負(fù)反饋線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，本文對關(guān)鍵點(diǎn)進(jìn)行剖析。

　　為分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，首先需要知道兩個(gè)概念：增益交點(diǎn)和相位交點(diǎn)。所謂增益交點(diǎn)，顧名思義，就是使環(huán)路增益為1的頻率點(diǎn);相位交點(diǎn)是使環(huán)路增益的相位為-180°的頻率點(diǎn)。這兩個(gè)頻率點(diǎn)在保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性中，起到重要的作用。在穩(wěn)定的系統(tǒng)中，增益交點(diǎn)通要比相位交點(diǎn)靠前：

　　在圖1中，增益交點(diǎn)在相位交點(diǎn)之前，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的條件，這樣的系統(tǒng)變得穩(wěn)定，而圖2中增益交點(diǎn)在相位交點(diǎn)之后，則系統(tǒng)就變得不穩(wěn)定。

　　為什么這么說呢?因?yàn)檫@就是非常著名的“巴克豪森判據(jù)”(Barkhausen’s Criteria)。因此，負(fù)反饋的引入就是為了克服這樣兩個(gè)因素。

　　由此可以看出，一個(gè)系統(tǒng)的波特圖對判斷一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定與否有著重要的作用。如果設(shè)計(jì)出了如圖2的系統(tǒng)，顯然不穩(wěn)定，但是可以通過對系統(tǒng)的反饋回路調(diào)整和補(bǔ)償，將系統(tǒng)的增益交點(diǎn)出現(xiàn)在相位交點(diǎn)之前，那么，系統(tǒng)就會(huì)變得穩(wěn)定了。

　　寫到這里，相信不少電子工程師對波特圖的使用有了更深刻的認(rèn)識(shí)，有興趣的朋友參考下我之前寫的文章欣賞波特圖的魅力，在這里我要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn)，在畫波特圖的相位圖時(shí)，需要找好三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

　?、賹τ诹泓c(diǎn)頻率ω，在0.1ω處，相位圖開始下降;
　?、谠?omega;處，相位圖的經(jīng)過了大約+45°的相移;
　　③在10ω處，相位圖經(jīng)過了大約90°的相移;

　　為說明這點(diǎn)，現(xiàn)以一RC低通濾波器為例說明：

　　其傳遞函數(shù)為

　　其相位圖如圖4 所示。

　　波特圖能夠大概分析系統(tǒng)穩(wěn)定性，在設(shè)計(jì)過程中，如果系統(tǒng)不復(fù)雜，能夠以表達(dá)式的形式表達(dá)出極點(diǎn)，那么，也可以在復(fù)平面中查看系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(由于傳遞函數(shù)長用拉普拉斯變換，引入拉普拉斯算子s，這讓我深深明白大學(xué)學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)的重要性)。

　　對于復(fù)平面，圖5，

　　若極點(diǎn)落在右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，若在原點(diǎn)處，系統(tǒng)也有可能出在振蕩狀態(tài)。也就是說，只有所有的極點(diǎn)都落在左平面內(nèi)，系統(tǒng)才能變得穩(wěn)定。(這時(shí)，你能想起來大學(xué)老師教你的復(fù)變函數(shù)的一個(gè)應(yīng)用了吧)。

　　例如若一極點(diǎn)的位置為1+J3，則系統(tǒng)不穩(wěn)定，若極點(diǎn)位置在-1+j3，那么就是穩(wěn)定的。所以，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)時(shí)，要將所有的極點(diǎn)都落在復(fù)平面的右半平面。