FFT的前世今生（三）

窗函數(shù)對(duì)于FFT結(jié)果的影響

所謂頻譜泄露，就是信號(hào)頻譜中各譜線之間相互干擾，使測(cè)量的結(jié)果偏離實(shí)際值，同時(shí)在真實(shí)譜線的兩側(cè)的其它頻率點(diǎn)上出現(xiàn)一些幅值較小的假譜。產(chǎn)生頻譜泄露的主要原因是采樣頻率和原始信號(hào)頻率不同步，造成周期的采樣信號(hào)的相位在始端和終端不連續(xù)。簡(jiǎn)單來說就是因?yàn)橛?jì)算機(jī)的 FFT 運(yùn)算能力有限，只能處理有限點(diǎn)數(shù)的 FFT，所以在截取時(shí)域的周期信號(hào)時(shí)，沒有能夠截取整數(shù)倍的周期。信號(hào)分析時(shí)不可能取無限大的樣本。只要有截?cái)嗖煌骄蜁?huì)有泄露。

在圖1和圖2中，為了最大化FFT運(yùn)算之后的頻率分辨率，我們使用了矩形窗。圖中的時(shí)域信號(hào)是500MHz正弦波信號(hào)，在頻譜上應(yīng)該僅在500MHz頻點(diǎn)上看到譜線。FFT運(yùn)算研究的是整個(gè)時(shí)間域(-∞，+∞)與頻域的關(guān)系，所以對(duì)于矩形窗函數(shù)截取的波形應(yīng)該認(rèn)為是無窮延續(xù)的，因此，矩形窗100ns時(shí)間窗內(nèi)，包含了500MHz正弦波整50個(gè)周期，所以波形的首尾能夠整周期得無縫連接，F(xiàn)FT之后的頻譜會(huì)在500MHz頻點(diǎn)看到較為純凈的能量值。如下圖1所示：

圖1：矩形時(shí)間窗口內(nèi)包含整數(shù)倍周期的信號(hào)，首尾可以“無縫”連接

事實(shí)上，大多數(shù)類型的信號(hào)都不滿足上面的這種特殊情況，絕大多數(shù)信號(hào)在時(shí)間窗口內(nèi)都不是整周期的倍數(shù)，在這種情況下，F(xiàn)FT之后的頻譜就不能看做連續(xù)的正弦波了。例如，如果該正弦波的頻率是495MHz，在100ns時(shí)間窗口內(nèi)包含49.5個(gè)周期，因此在截取窗口的首尾部分就存在很大程度上的“不連續(xù)”，這種“不連續(xù)”會(huì)直接影響FFT之后的結(jié)果。“不連續(xù)”部分的能量會(huì)散落在整個(gè)頻譜范圍內(nèi)，使用100ns時(shí)間窗口，F(xiàn)FT之后的頻率分辨率是10MHz，495MHz頻點(diǎn)即落在490MHz與500MHz之間，所以495MHz正弦波信號(hào)的能量分成兩部分，所以從頻譜上看，峰值譜線明顯降低了，這被稱作是頻譜泄露(Leakage)。如下圖2所示：

不同的窗函數(shù)對(duì)信號(hào)頻譜的影響是不一樣的，這主要是因?yàn)椴煌拇昂瘮?shù)，產(chǎn)生泄漏的大小不一樣，頻率分辨能力也不一樣。信號(hào)的截短產(chǎn)生了能量泄漏，而用FFT算法計(jì)算頻譜又產(chǎn)生了柵欄效應(yīng)，從原理上講這兩種誤差都是不能消除的，但是我們可以通過選擇不同的窗函數(shù)對(duì)它們的影響進(jìn)行抑制。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識(shí)別精度最高，幅值識(shí)別精度最低;布萊克曼窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識(shí)別精度最低，但幅值識(shí)別精度最高)

為了減少頻譜旁瓣和柵欄效應(yīng)的影響，我們?cè)贔FT運(yùn)算中使用窗函數(shù)，圖3顯示了Hanning(漢寧窗)使用后的效果。窗函數(shù)位于下圖中左上角的柵格中紅色的波形，疊加在黃色的時(shí)域信號(hào)上。窗函數(shù)與時(shí)域信號(hào)時(shí)域相乘。結(jié)果顯示在左下角的藍(lán)色波形。右下角的粉色波形顯示了進(jìn)行FFT計(jì)算之后的頻譜圖，相對(duì)于右上角的使用窗函數(shù)之前的頻譜圖來說，旁瓣的幅度已經(jīng)大大減低。

對(duì)于不同的應(yīng)用需求還有多種不同的窗函數(shù)供工程師選擇，Hanning(漢寧窗)是使用最廣泛的一種窗函數(shù)，除此之外，Hamming(海明窗)，F(xiàn)lat-top窗和Balckman-Harris窗的效果，在下圖中做了對(duì)比，圖中的信號(hào)使用500MHz正弦波，矩形窗產(chǎn)生最窄的譜線，加Flat-top窗譜線最寬。

下圖4中顯示了同樣的窗函數(shù)對(duì)比，但是采用495MHz正弦波進(jìn)行FFT運(yùn)算，矩形窗顯示了最差旁瓣效果，F(xiàn)lat-top窗函數(shù)基本上保持了與圖3一樣的旁瓣效果，所以我們看到旁瓣的影響和精確頻率分辨率有時(shí)候是不可兼得的。(矩形窗主瓣窄，旁瓣大，頻率識(shí)別精度最高，幅值識(shí)別精度最低;Flat-top窗主瓣寬，旁瓣小，頻率識(shí)別精度最低，但幅值識(shí)別精度最高)

圖5中顯示了不同的窗函數(shù)對(duì)于柵欄效應(yīng)的抑制效果，圖中的正弦波頻率從450MHz增加到550MHz，步進(jìn)值為500KHz，F(xiàn)lat-top窗在整個(gè)頻段上基本保持相同的值，矩形窗函數(shù)有約4dB的差值。

我們把關(guān)于窗函數(shù)的一些重要的結(jié)論總結(jié)如下：

1、 連續(xù)的FFT運(yùn)算并沒有窗函數(shù)的概念，因?yàn)樾盘?hào)是充滿時(shí)間坐標(biāo)軸的，F(xiàn)FT之后的頻率分辨率是0，并不存在柵欄效應(yīng)。但是，示波器采集和處理的信號(hào)全部是離散的采樣點(diǎn)，是非連續(xù)的，所以DFT之后的頻譜一定存在柵欄效應(yīng)。

2、 如果能夠保證示波器時(shí)間窗口內(nèi)的信號(hào)是整數(shù)倍周期的(并且在信號(hào)時(shí)間窗口之前和之后的信號(hào)都是嚴(yán)格周期重復(fù)的)，或者采集信號(hào)時(shí)間足夠長(zhǎng)，基本上可以覆蓋到整個(gè)有效信號(hào)的時(shí)間跨度。這種方法經(jīng)常在瞬態(tài)捕捉中被使用到，比如說沖擊試驗(yàn)，如果捕捉的時(shí)間夠長(zhǎng)，捕捉到的信號(hào)可以一直包括了振動(dòng)衰減為零的時(shí)刻。在這種情況下，可以不加窗函數(shù)。

3、 如果不滿足1和2，那么FFT計(jì)算之后的頻譜就不可避免受到頻譜泄露(Leakage)的影響，如頻點(diǎn)分裂，幅值能量不精確等等，總之就是頻譜線比較難看，這時(shí)候就需要使用適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)，以滿足我們工程測(cè)量的需要。

4、 示波器中的FFT運(yùn)算，不加窗和加矩形窗是一回事。

5、 窗函數(shù)會(huì)改變頻域波形，讓頻譜形成人們“喜歡”的形狀，但是不會(huì)本質(zhì)上消除頻譜泄露，不同的窗函數(shù)都有其獨(dú)特的特性，我們只需要根據(jù)工程測(cè)試的需要，選擇一款合適的就可以了。