FFT的前世今生（二）

從直觀上講，時(shí)域分析清晰易見，示波器即是進(jìn)行時(shí)域觀察的主要工具，可觀察波形形狀,測(cè)量脈寬，相差等信息。但對(duì)于信號(hào)的進(jìn)一步分析，比如測(cè)量各次諧波在所占的比重和能量分布，時(shí)域上的分析就力不從心了，但是利用從連續(xù)時(shí)間傅里葉變換發(fā)展而來(lái)的快速傅里葉變換FFT進(jìn)行分析就很有意義了。通信系統(tǒng)中必不可少的要使用頻譜分析技術(shù)，例如頻分復(fù)用技術(shù)。 頻譜分析一般利用快速傅里葉變換FFT計(jì)算頻率譜和功率譜，可直接用來(lái)提取特征頻率和譜特征。因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能夠處理離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，但FFT是傅里葉變換的一種近似，與傅里葉變換存在差別，且具有固有的局限：柵欄現(xiàn)象。本文就在上一篇《FFT的前世今生》的基礎(chǔ)上，從測(cè)試測(cè)量的角度，談一談在示波器的FFT運(yùn)算中容易被大家忽略的一些問(wèn)題。

頻率分辨率與時(shí)基設(shè)置(TimeBase)

頻率分辨率的定義是：在使用FFT運(yùn)算時(shí)，在頻率譜上所能得到的最小的兩個(gè)頻率點(diǎn)間的間隔。

ΔF=Fs/N=1/NT=1/Tp

稱ΔF為頻率分辨率，即：采樣率/采樣點(diǎn)數(shù)，ΔF越小說(shuō)明頻率分辨率越高。ΔF僅與信號(hào)的實(shí)際長(zhǎng)度成反比，即待分析的信號(hào)持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)，ΔF越小，頻率分辨率越高。

柵欄效應(yīng)與頻率分辨率：

示波器輸入的信號(hào)一般都為非周期的連續(xù)信號(hào)

()axt

，它的頻譜也是連續(xù)的，但是示波器所做的工作

是將 ( ) a x t 進(jìn)行等間隔采樣并且截?cái)?，然后進(jìn)行FFT的運(yùn)算得到一個(gè)離散的頻譜圖，相當(dāng)于對(duì)連續(xù)的頻譜圖也進(jìn)行了采樣。這樣有一部分頻譜分量將被“擋在”采樣點(diǎn)之外，就好像我們?cè)谕ㄟ^(guò)一個(gè)柵欄觀察頻譜圖，這種現(xiàn)象稱為“柵欄效應(yīng)”。這樣就有可能發(fā)生一些頻譜的峰點(diǎn)或谷點(diǎn)被柵欄所攔住，不可能被我們觀察到。

不管是時(shí)域采樣還是頻域采樣，都有相應(yīng)的柵欄效應(yīng)。只是當(dāng)時(shí)域采樣滿足采樣定理時(shí)，柵欄效應(yīng)不會(huì)有什么影響。而頻域采樣的柵欄效應(yīng)則影響很大，“擋住”或丟失的頻率成分有可能是重要的或具有特征的成分，使信號(hào)處理失去意義。

柵欄效應(yīng)是制約頻譜分析諧波分析精度的一個(gè)瓶頸。柵欄效應(yīng)在非同步采樣的時(shí)候，影響尤為嚴(yán)重。在非同步采樣時(shí)，由于各次諧波分量并未能正好落在頻率分辨點(diǎn)上，而是落在兩個(gè)頻率分辨點(diǎn)之間。這樣通過(guò)FFT不能直接得到各次諧波分量的準(zhǔn)確值，而只能以臨近的頻率分辨點(diǎn)的值來(lái)近似代替，這就是柵欄效應(yīng)降低頻譜分析精度的原因。

由此我們可以得出這樣的結(jié)論：減小柵欄效應(yīng)可用通過(guò)提高頻譜采樣間隔也就是頻率分辨率的方法來(lái)解決。間隔小，頻率分辨率高，被“擋住”或丟失的頻率成分就會(huì)越少。但是頻率分辨率的提高會(huì)增加采樣點(diǎn)數(shù)，使計(jì)算工作量增加。

我們可以通過(guò)兩種方式增加頻率分辨率：

a：物理分辨率=采樣頻率/采樣點(diǎn)數(shù)。

物理分辨率的實(shí)際意義在于它可以衡量FFT實(shí)際上可以區(qū)分的頻率分量的間隔。提高物理分辨率的方法一般是通過(guò)增加數(shù)據(jù)的有效長(zhǎng)度，這相當(dāng)于在模擬域增加了矩形窗的寬度。從而在模擬域減小了sinc主旁瓣寬度，減小了相鄰頻率分量的混疊。

這種增加采樣點(diǎn)的方法主要針對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序列的FFT計(jì)算。對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)序列，不像有限長(zhǎng)序列那樣必須補(bǔ)零來(lái)提高視在分辨率，無(wú)限長(zhǎng)序列可以通過(guò)增加數(shù)據(jù)長(zhǎng)度來(lái)提高物理分辨率。

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b：視在分辨率=采樣頻率/分析點(diǎn)數(shù)

在序列尾部補(bǔ)零的方法可以使得分析點(diǎn)數(shù)增大，故補(bǔ)零的方法可以提高頻譜的視在分辨率。對(duì)序列的尾部補(bǔ)零的方法主要針對(duì)有限長(zhǎng)序列。對(duì)于有限長(zhǎng)序列，有時(shí)只能用補(bǔ)零或者插值來(lái)改善頻率分辨率。通過(guò)補(bǔ)零處理，使得頻域采樣密度增大，得到高密度譜。補(bǔ)零的方法所得到的頻譜圖所改善的只是圖形的視在分辨率，并不能得到頻譜的更多細(xì)節(jié)。

增加采樣點(diǎn)數(shù)，增加了輸入序列的階次，從而提供頻譜的更多細(xì)節(jié)，這是真正的分辨率(物理分辨率)。對(duì)序列只補(bǔ)零而不增加數(shù)據(jù)，輸入序列和它的頻譜階次依舊沒有提高，只是把頻譜畫的密一些，所以改善的只是圖形的視在分辨率，并不能得到頻譜的更多細(xì)節(jié)。增加序列的長(zhǎng)度能夠改善頻譜的真正分辨率，這是基本的規(guī)律。

上面的討論可知，改善分辨率的具體方法有如下兩種

(1)對(duì)有限長(zhǎng)序列采取尾部補(bǔ)零的方法提高視在分辨率

(2)對(duì)無(wú)限長(zhǎng)序列通過(guò)真正增加采樣點(diǎn)來(lái)提高物理分辨率

有限長(zhǎng)序列和無(wú)限長(zhǎng)序列是針對(duì)實(shí)際信號(hào)來(lái)說(shuō)的，例如非周期的但是包含無(wú)限長(zhǎng)信息的信號(hào)可以稱為無(wú)限長(zhǎng)序列，嚴(yán)格的周期信號(hào)和脈沖信號(hào)(脈沖之前和之后無(wú)限長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)都是無(wú)效信息)都可以稱為有限長(zhǎng)序列，當(dāng)然實(shí)際上嚴(yán)格的周期信號(hào)是不存在的。對(duì)于示波器來(lái)說(shuō)，時(shí)間窗口內(nèi)采集到的可以是有限長(zhǎng)序列的全部信息或者是無(wú)限長(zhǎng)序列的一部分信息。所以，如果采集到的是有限長(zhǎng)序列的全部信息，那么只能通過(guò)補(bǔ)零的方式增加視在分辨率，如果采集到的是無(wú)限長(zhǎng)序列的一部分信息，那么可以通過(guò)增加時(shí)間窗口的長(zhǎng)度(不是采樣點(diǎn))來(lái)增加物理頻率分辨率。

請(qǐng)看下面的實(shí)例：

圖1中正弦波測(cè)試使用的時(shí)基是5ns/div，波形時(shí)間長(zhǎng)度是50ns，計(jì)算FFT之后的頻譜分辨率是20MHz(1/50ns)，

圖1 捕獲50ns的信號(hào)，頻率分辨率是20MHz

如果改變時(shí)基設(shè)置，頻譜分辨率會(huì)有變化。如圖2所示：將時(shí)基設(shè)置為10ns/div，波形長(zhǎng)度是100ns，頻譜分辨率可以提高到10MHz。

對(duì)于通過(guò)補(bǔ)零的方法增加FFT頻譜的視在分辨率，力科的示波器也有相應(yīng)的解決方案。力科示波器使用了兩種非常常用的FFT算法供用戶選擇：Cooley-Tukey算法和LeastPrime算法。Cooley-Tukey算法也稱為Power2算法，它提供了計(jì)算機(jī)一種非?？焖俚腇FT計(jì)算方式，計(jì)算的FFT點(diǎn)數(shù)規(guī)模是2的整數(shù)方次，因此它會(huì)在示波器時(shí)域采集的信號(hào)中截取2的N次方的整數(shù)來(lái)作為FFT計(jì)算的時(shí)域樣本，該截取的整數(shù)是最接近于采樣點(diǎn)的整數(shù)。如下圖2所示：