淺析GPS導(dǎo)航解算原理

全球定位系統(tǒng)(GPS)是英文Global Positioning System的字頭縮寫(xiě)詞的簡(jiǎn)稱。它的含義是利用導(dǎo)航衛(wèi)星進(jìn)行測(cè)時(shí)和測(cè)距，以構(gòu)成全球定位系統(tǒng)。它是由美國(guó)國(guó)防部主導(dǎo)開(kāi)發(fā)的一套具有在海、陸、空進(jìn)行全方位實(shí)時(shí)三維導(dǎo)航與定位能力的新一代衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)。 GPS用戶部分的核心是GPS接收機(jī)。其主要由基帶信號(hào)處理和導(dǎo)航解算兩部分組成。其中基帶信號(hào)處理部分主要包括對(duì)GPS衛(wèi)星信號(hào)的二維搜索、捕獲、跟蹤、偽距計(jì)算、導(dǎo)航數(shù)據(jù)解碼等工作。導(dǎo)航解算部分主要包括根據(jù)導(dǎo)航數(shù)據(jù)中的星歷參數(shù)實(shí)時(shí)進(jìn)行各可視衛(wèi)星位置計(jì)算；根據(jù)導(dǎo)航數(shù)據(jù)中各誤差參數(shù)進(jìn)行星鐘誤差、相對(duì)論效應(yīng)誤差、地球自轉(zhuǎn)影響、信號(hào)傳輸誤差(主要包括電離層實(shí)時(shí)傳輸誤差及對(duì)流層實(shí)時(shí)傳輸誤差)等各種實(shí)時(shí)誤差的計(jì)算，并將其從偽距中消除；根據(jù)上述結(jié)果進(jìn)行接收機(jī)PVT（位置、速度、時(shí)間）的解算；對(duì)各精度因子(DOP)進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算和監(jiān)測(cè)以確定定位解的精度。 本文中重點(diǎn)討論GPS接收機(jī)的導(dǎo)航解算部分，基帶信號(hào)處理部分可參看有關(guān)資料。本文討論的假設(shè)前提是GPS接收機(jī)已經(jīng)對(duì)GPS衛(wèi)星信號(hào)進(jìn)行了有效捕獲和跟蹤，對(duì)偽距進(jìn)行了計(jì)算，并對(duì)導(dǎo)航數(shù)據(jù)進(jìn)行了解碼工作。

1 地球坐標(biāo)系簡(jiǎn)述

要描述一個(gè)物體的位置必須要有相關(guān)聯(lián)的坐標(biāo)系，地球表面的GPS接收機(jī)的位置是相對(duì)于地球而言的。因此，要描述GPS接收機(jī)的位置，需要采用固聯(lián)于地球上隨同地球轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)系、即地球坐標(biāo)系作為參照系。

地球坐標(biāo)系有兩種幾何表達(dá)形式，即地球直角坐標(biāo)系和地球大地坐標(biāo)系。地球直角坐標(biāo)系的定義是：原點(diǎn)O與地球質(zhì)心重合，Z軸指向地球北極，X軸指向地球赤道面與格林威治子午圈的交點(diǎn)(即0經(jīng)度方向)，Y軸在赤道平面里與XOZ構(gòu)成右手坐標(biāo)系(即指向東經(jīng)90度方向)。 地球大地坐標(biāo)系的定義是：地球橢球的中心與地球質(zhì)心重合，橢球的短軸與地球自轉(zhuǎn)軸重合。地球表面任意一點(diǎn)的大地緯度為過(guò)該點(diǎn)之橢球法線與橢球赤道面的夾角 φ，經(jīng)度為該點(diǎn)所在之橢球子午面與格林威治大地子午面之間的夾角λ ，該點(diǎn)的高度h為該點(diǎn)沿橢球法線至橢球面的距離。設(shè)地球表面任意一點(diǎn)P在地球直角坐標(biāo)系內(nèi)表達(dá)為P( x，y，z )，在地球大地坐標(biāo)系內(nèi)表達(dá)為P ( φ，λ ，h)。則兩者互換關(guān)系為：大地坐標(biāo)系變?yōu)橹苯亲鴺?biāo)系： （1） 式中：n為橢球的卯酉圈曲率半徑，e為橢球的第一偏心率。 若橢球的長(zhǎng)半徑為a，短半徑為b，則有 （2） 直角坐標(biāo)系變?yōu)榇蟮刈鴺?biāo)系，可由下述方法求得 φ由疊代法獲得 φc為地心緯度， ep為橢圓率

可設(shè)初始值φ=φc 進(jìn)行疊代，直到|φi=1-φi| 小于某一門限為止。

這兩種坐標(biāo)系在定位系統(tǒng)中經(jīng)常交叉使用，必須熟悉兩種坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

2 GPS定位中主要誤差及消除算法

GPS定位中的主要誤差有：星鐘誤差，相對(duì)論誤差，地球自轉(zhuǎn)誤差，電離層和對(duì)流層誤差。 1）星鐘誤差 星鐘誤差是由于星上時(shí)鐘和GPS標(biāo)準(zhǔn)時(shí)之間的誤差形成的，GPS測(cè)量以精密測(cè)時(shí)為依據(jù)，星鐘誤差時(shí)間上可達(dá)1ms，造成的距離偏差可達(dá)到300Km，必須加以消除。一般用二項(xiàng)式表示星鐘誤差。 （3） GPS星歷中通過(guò)發(fā)送二項(xiàng)式的系數(shù)來(lái)達(dá)到修正的目的。經(jīng)此修正以后，星鐘和GPS標(biāo)準(zhǔn)時(shí)之間的誤差可以控制在20ns之內(nèi)。 2）相對(duì)論誤差 由相對(duì)論理論，在地面上具有頻率 的時(shí)鐘安裝在以速度 運(yùn)行的衛(wèi)星上以后，時(shí)鐘頻率將會(huì)發(fā)生變化，改變量為：

即衛(wèi)星上時(shí)鐘比地面上要慢，要修正此誤差，可采用系數(shù)改進(jìn)的方法。GPS星歷中廣播了此系數(shù)用以消除相對(duì)論誤差，可以將相對(duì)論誤差控制在70ns以內(nèi)。 3）地球自轉(zhuǎn)誤差 GPS定位采用的是與地球固連的協(xié)議地球坐標(biāo)系，隨地球一起繞z軸自轉(zhuǎn)。衛(wèi)星相對(duì)于協(xié)議地球系的位置(坐標(biāo)值)，是相對(duì)歷元而言的。若發(fā)射信號(hào)的某一瞬間，衛(wèi)星處于協(xié)議坐標(biāo)系中的某個(gè)位置，當(dāng)?shù)孛娼邮諜C(jī)接收到衛(wèi)星信號(hào)時(shí)，由于地球的自轉(zhuǎn)，衛(wèi)星已不在發(fā)射瞬時(shí)的位置〔坐標(biāo)值)處了。也就是說(shuō)，為求解接收機(jī)接收衛(wèi)星信號(hào)時(shí)刻在協(xié)議坐標(biāo)系中的位置，必須以該時(shí)刻的坐標(biāo)系作為求解的參考坐標(biāo)系。而求解衛(wèi)星位置時(shí)所使用的時(shí)刻為衛(wèi)星發(fā)射信號(hào)的時(shí)刻。這樣，必須把該時(shí)刻求解的衛(wèi)星位置轉(zhuǎn)化到參考坐標(biāo)系中的位置。 設(shè)地球自轉(zhuǎn)角速度為 we，發(fā)射信號(hào)瞬時(shí)到接收信號(hào)瞬時(shí)的信號(hào)傳播延時(shí)為△t ，則在此時(shí)間過(guò)程中升交點(diǎn)經(jīng)度調(diào)整為 則三維坐標(biāo)調(diào)整為 （4） 地球自轉(zhuǎn)引起的定位誤差在米級(jí)，精密定位時(shí)必須考慮加以消除。 4）電離層和對(duì)流層誤差 電離層是指地球上空距地面高度在50-1000km 之間的大氣層。電離層中的氣體分子由于受到太陽(yáng)等天體各種射線輻射，產(chǎn)生強(qiáng)烈的電離，形成大量的自由電子和正離子。 電離層誤差主要有電離層折射誤差和電離層延遲誤差組成。其引起的誤差垂直方向可以達(dá)到50米左右，水平方向可以達(dá)到150米左右。目前，還無(wú)法用一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)模型來(lái)描述電子密度的大小和變化規(guī)律，因此，消除電離層誤差采用電離層改正模型或雙頻觀測(cè)加以修正。 對(duì)流層是指從地面向上約40km范圍內(nèi)的大氣底層，占整個(gè)大氣質(zhì)量的99%。其大氣密度比電離層更大，大氣狀態(tài)也更復(fù)雜。對(duì)流層與地面接觸，從地面得到輻射熱能，溫度隨高度的上升而降低。對(duì)流層折射包括兩部分：一是由于電磁波的傳播速度或光速在大氣中變慢造成路徑延遲，這占主要部分；二是由于GPS衛(wèi)星信號(hào)通過(guò)對(duì)流層時(shí)，也使傳播的路徑發(fā)生彎曲，從而使測(cè)量距離產(chǎn)生偏差。在垂直方向可達(dá)到2.5米，水平方向可達(dá)到20米。對(duì)流層誤差同樣通過(guò)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)進(jìn)行修正。 GPS星歷中通過(guò)給定電離層對(duì)流層模型以及模型參數(shù)來(lái)消除電離層和對(duì)流層誤差。實(shí)驗(yàn)資料表明，利用模型對(duì)電離層誤差改進(jìn)有效性達(dá)到75%，對(duì)流層誤差改進(jìn)有效性為95%。

3 GPS星歷結(jié)構(gòu)及解算過(guò)程

要得到接收機(jī)的位置，在接收機(jī)時(shí)鐘和GPS標(biāo)準(zhǔn)時(shí)嚴(yán)格同步的情況下，則待求解位置是3個(gè)未知變量，需要3個(gè)獨(dú)立方程來(lái)求解。但是實(shí)際情況中，很難做到接收機(jī)時(shí)鐘和GPS標(biāo)準(zhǔn)時(shí)嚴(yán)格同步，這樣，我們把接收機(jī)時(shí)間和GPS標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間偏差也作為一個(gè)未知變量，這樣，求解就需要4個(gè)獨(dú)立方程，也就是需要有4顆觀測(cè)衛(wèi)星。圖1 GPS定位示意圖（未考慮時(shí)間偏差） 假設(shè)接收機(jī)位置為（xu，yu，zu） ，接收機(jī)時(shí)間偏差為 tu，則由于時(shí)間偏差引起的距離偏差為為得到的偽距觀測(cè)值。我們可以得到聯(lián)立方程 （5） 將上式線性化，即在真實(shí)位置（xu，yu，zu）進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，忽略高次項(xiàng)，得到 （6） 其中， 式（6）即為實(shí)際計(jì)算的疊代公式，疊代終止條件是真實(shí)位置 （xu，yu，zu）的變化量小于某一個(gè)閾值，最終得到 可以作為調(diào)整接收機(jī)時(shí)間偏差的依據(jù)，計(jì)算一般采用矩陣方式求解。要求解該方程，我們還需要預(yù)先知道4顆衛(wèi)星的位置 （xj，yj，zj），而衛(wèi)星位置可以從該衛(wèi)星的星歷中獲得。 GPS衛(wèi)星星歷給出了本星的星歷，根據(jù)星歷可以算出衛(wèi)星的實(shí)時(shí)位置，并且星歷中給出了消除衛(wèi)星星鐘誤差、相對(duì)論誤差、地球自轉(zhuǎn)誤差、電離層和對(duì)流層誤差的參數(shù)，根據(jù)這些參數(shù)計(jì)算出的衛(wèi)星位置，可以基本上消除上述誤差。 求解衛(wèi)星位置的基本步驟為： 計(jì)算衛(wèi)星運(yùn)行平均角速度 ①計(jì)算歸化時(shí)間； ②計(jì)算觀測(cè)時(shí)刻的平近點(diǎn)角； ③計(jì)算偏近點(diǎn)角； ④計(jì)算衛(wèi)星矢徑； ⑤計(jì)算衛(wèi)星真近點(diǎn)角； ⑥計(jì)算升交點(diǎn)角距； ⑦計(jì)算攝動(dòng)改正項(xiàng)； ⑧計(jì)算經(jīng)過(guò)攝動(dòng)改正的升交距角、衛(wèi)星矢徑、軌道傾角； ⑨計(jì)算觀測(cè)時(shí)刻的升交點(diǎn)經(jīng)度； ⑩計(jì)算衛(wèi)星在地心坐標(biāo)系中的位置。 特別值得指出的是，在計(jì)算衛(wèi)星真近點(diǎn)角Vk時(shí)，應(yīng)采用公式 （7） 其中，e為偏心率， Ek為衛(wèi)星偏近點(diǎn)角。有部分參考書(shū)籍計(jì)算衛(wèi)星真近點(diǎn)角的公式有誤，會(huì)導(dǎo)致衛(wèi)星真近點(diǎn)角 的象限模糊問(wèn)題，從而無(wú)法得到衛(wèi)星正確位置。 進(jìn)行上述計(jì)算后，再根據(jù)星歷中廣播的各誤差參數(shù)進(jìn)一步消除各項(xiàng)誤差。這樣，我們就得到一個(gè)完整的利用GPS星歷進(jìn)行導(dǎo)航定位解算的過(guò)程。

4 結(jié)論

我們?cè)敿?xì)地?cái)⑹隽薌PS衛(wèi)星的導(dǎo)航定位原理以及定位解算的算法，分析了其中主要誤差來(lái)源和消除方法。當(dāng)然，對(duì)于衛(wèi)星數(shù)多于4顆星時(shí)的算法以及差分GPS算法都可以在此算法基礎(chǔ)上進(jìn)行深入研究。