圖像處理中的數(shù)學(xué)原理詳解（Part1 總綱）

　　數(shù)字圖像處理技術(shù)的研究與開(kāi)發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求很高，一些不斷涌現(xiàn)的新方法中，眼花繚亂的數(shù)學(xué)推導(dǎo)令很多期待深入研究的人望而卻步。一個(gè)正規(guī)理工科學(xué)生大致已經(jīng)具備了包括微積分、線(xiàn)性代數(shù)、概率論在內(nèi)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但在分析一些圖像處理算法的原理時(shí)，好像還是感覺(jué)無(wú)從入手。實(shí)際所牽涉出來(lái)的問(wèn)題主要可歸結(jié)為如下幾個(gè)原因：1)微積分、線(xiàn)性代數(shù)、概率論這些是非常重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但顯示不是這些課程中所有的內(nèi)容都在圖像處理算法中有直接應(yīng)用;2)當(dāng)你將圖像處理和數(shù)學(xué)分開(kāi)來(lái)學(xué)的時(shí)候，其實(shí)并沒(méi)有設(shè)法建立它們二者的聯(lián)系;3)一些新方法或者所謂的高大上的算法之基礎(chǔ)已經(jīng)超過(guò)了上面三個(gè)數(shù)學(xué)課程所探討的基本領(lǐng)域，這又涉及到偏微分方程、變分法、復(fù)變函數(shù)、實(shí)變函數(shù)、泛函分析等等;4)如果你不是數(shù)學(xué)科班出身，要想自學(xué)上面所談到所有內(nèi)容，工作量實(shí)在太過(guò)浩繁，恐怕精力也難以顧及。

　　業(yè)余時(shí)間，筆者結(jié)合自己對(duì)圖像處理的學(xué)習(xí)和實(shí)踐，大致總結(jié)了一部分圖像處理研究中所需的數(shù)學(xué)原理基礎(chǔ)。這些內(nèi)容主要涉及微積分、向量分析、場(chǎng)論、泛函分析、偏微分方程、復(fù)變函數(shù)、變分法等。線(xiàn)性代數(shù)和概率論筆者認(rèn)為比較基礎(chǔ)，于是并沒(méi)有將其收入。我總結(jié)、歸納、提取了上面這些數(shù)學(xué)課程中，在研究圖像處理最容易碰到也最需要知道的一些知識(shí)點(diǎn)，然后采取一種循序漸進(jìn)的方式將它們重新組織到了一起。并結(jié)合具體的圖像處理算法討論來(lái)講解這些數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用。從而建立數(shù)學(xué)知識(shí)與圖像處理之間的一座橋梁。

　　這部分內(nèi)容主要是筆者日常研究和學(xué)習(xí)的一個(gè)總結(jié)，我原本并沒(méi)有將其出版的計(jì)劃(畢竟這個(gè)Topic還是有點(diǎn)小眾而且可能還有點(diǎn)艱深)。但之前我擷取了其中的一小部分發(fā)到了網(wǎng)上，已經(jīng)有讀者表現(xiàn)出了濃厚的興趣。再后來(lái)亦有多位出版社的編輯聯(lián)系到我，希望可以將該書(shū)付梓。而且不知不覺(jué)中，這個(gè)系列專(zhuān)欄的內(nèi)容日積月累，個(gè)人感覺(jué)確實(shí)已經(jīng)形成了一個(gè)相對(duì)比較完整的體系，于是便應(yīng)下了出版社的合作意向。目前相關(guān)書(shū)籍正在緊張的校對(duì)排版過(guò)程之中。非常感謝各位網(wǎng)友的支持和關(guān)心??，本書(shū)不日將正式發(fā)行，敬請(qǐng)期待。當(dāng)然，無(wú)論何時(shí)你也都可以在我的博客(圖像處理中的數(shù)學(xué)原理專(zhuān)欄)中免費(fèi)瀏覽相關(guān)內(nèi)容!

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　　第1章 必不可少的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

　　1.1 極限及其應(yīng)用

　　1.1.1 數(shù)列的極限

　　1.1.2 級(jí)數(shù)的斂散

　　1.1.3 函數(shù)的極限

　　1.1.4 極限的應(yīng)用

　　1.2 微分中值定理

　　1.2.1 羅爾中值定理

　　1.2.2 拉格朗日中值定理

　　1.2.3 柯西中值定理

　　1.2.4 泰勒公式

　　1.2.5 海塞矩陣與多元函數(shù)極值

　　1.3 向量代數(shù)與場(chǎng)論

　　1.3.1 牛頓-萊布尼茨公式

　　1.3.2 內(nèi)積與外積

　　1.3.3 方向?qū)?shù)與梯度

　　1.3.4 曲線(xiàn)積分

　　1.3.5 格林公式

　　1.3.6 積分與路徑無(wú)關(guān)條件

　　1.3.7 曲面積分

　　1.3.8 高斯公式與散度

　　1.3.9 斯托克斯公式與旋度

　　本章參考文獻(xiàn)

　　第2章 更進(jìn)一步的數(shù)學(xué)內(nèi)容

　　2.1 傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)

　　2.1.1 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

　　2.1.2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)

　　2.1.3 傅立葉級(jí)數(shù)的概念

　　2.1.4 傅立葉變換的由來(lái)

　　2.1.5 卷積定理及其證明

　　2.2 復(fù)變函數(shù)論初步

　　2.2.1 解析函數(shù)

　　2.2.2 復(fù)變積分

　　2.2.3 基本定理

　　2.2.4 級(jí)數(shù)展開(kāi)

　　2.3 凸函數(shù)與詹森不等式

　　2.3.1 凸函數(shù)的概念

　　2.3.2 詹森不等式及其證明

　　2.3.3 詹森不等式的應(yīng)用

　　2.4 常用經(jīng)典數(shù)值解法

　　2.4.1 牛頓迭代法

　　2.4.2 雅各比迭代

　　2.4.3 高斯迭代法

　　2.4.4 托馬斯算法

　　本章參考文獻(xiàn)

　　第3章 泛函分析以及變分法

　　3.1 勒貝格積分理論

　　3.1.1 點(diǎn)集的勒貝格測(cè)度

　　3.1.2 可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)

　　3.1.3 勒貝格積分的定義

　　3.1.4 積分序列極限定理

　　3.2 泛函與抽象空間

　　3.2.1 線(xiàn)性空間

　　3.2.2 距離空間

　　3.2.3 賦范空間

　　3.2.4 巴拿赫空間

　　3.2.5 內(nèi)積空間

　　3.2.6 希爾伯特空間

　　3.2.7 索伯列夫空間

　　3.3 從泛函到變分法

　　3.3.1 理解泛函的概念

　　3.3.2 關(guān)于的變分概念

　　3.3.3 變分法的基本方程

　　3.3.4 理解哈密爾頓原理

　　3.3.5 等式約束下的變分

　　3.3.6 巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理

　　3.3.7 有界變差函數(shù)空間

　　本章參考文獻(xiàn)

　　第4章 概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)

　　4.1 概率論的基本概念

　　4.2 隨機(jī)變量數(shù)字特征

　　4.2.1 期望

　　4.2.2 方差

　　4.2.3 矩與矩母函數(shù)

　　4.2.4 協(xié)方差與協(xié)方差矩陣

　　4.3 基本概率分布模型

　　4.3.1 離散概率分布

　　4.3.2 連續(xù)概率分布

　　4.4 概率論中的重要定理

　　4.4.1 大數(shù)定理

　　4.4.2 中央極限定理

　　4.5 隨機(jī)采樣

　　4.5.1 隨機(jī)采樣分布

　　4.5.2 蒙特卡洛采樣

　　4.6 參數(shù)估計(jì)

　　4.7 假設(shè)檢驗(yàn)

　　4.7.1 基本概念

　　4.7.2 兩類(lèi)錯(cuò)誤

　　4.7.3 均值檢驗(yàn)

　　4.8 極大似然估計(jì)

　　4.8.1 極大似然法的基本原理

　　4.8.2 求極大似然估計(jì)的方法

　　4.9 貝葉斯推斷

　　4.9.1 先驗(yàn)概率與后驗(yàn)概率

　　4.9.2 共軛分布

　　參考文獻(xiàn)

　　第5章 子帶編碼與小波變換

　　5.1 圖像編碼的理論基礎(chǔ)

　　5.1.1 率失真函數(shù)

　　5.1.2 香農(nóng)下邊界

　　5.1.3 無(wú)記憶高斯信源

　　5.1.4 有記憶高斯信源

　　5.2 子帶編碼基本原理

　　5.2.1 數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)

　　5.2.2 多抽樣率信號(hào)處理

　　5.2.3 圖像信息子帶分解

　　5.3 哈爾函數(shù)及其變換

　　5.3.1 哈爾函數(shù)的定義

　　5.3.2 哈爾函數(shù)的性質(zhì)

　　5.3.3 酉矩陣與酉變換

　　5.3.4 二維離散線(xiàn)性變換

　　5.3.5 哈爾基函數(shù)

　　5.3.6 哈爾變換

　　5.4 小波及其數(shù)學(xué)原理

　　5.4.1 小波的歷史

　　5.4.2 理解小波的概念

　　5.4.3 多分辨率分析

　　5.4.4 小波函數(shù)的構(gòu)建

　　5.4.5 小波序列展開(kāi)

　　5.4.6 離散小波變換

　　5.4.7 連續(xù)小波變換

　　5.4.8 小波的容許條件與基本特征

　　5.5 快速小波變換算法

　　5.5.1 快速小波正變換

　　5.5.2 快速小波逆變換

　　5.5.3 圖像的小波變換

　　5.6 小波在圖像處理中的應(yīng)用

　　本章參考文獻(xiàn)

　　第6章 正交變換與圖像壓縮

　　6.1 傅立葉變換

　　6.1.1 信號(hào)處理中的傅立葉變換

　　1. 連續(xù)時(shí)間，連續(xù)頻率——傅立葉變換

　　2. 連續(xù)時(shí)間，離散頻率——傅立葉級(jí)數(shù)

　　3. 離散時(shí)間，連續(xù)頻率——序列的傅立葉變換

　　4. 離散時(shí)間，離散頻率——離散的傅立葉變換

　　6.1.2 數(shù)字圖像的傅立葉變換

　　6.1.3 快速傅立葉變換的算法

　　6.2 離散余弦變換

　　6.2.1 基本概念及數(shù)學(xué)描述

　　6.2.2 離散余弦變換的快速算法

　　6.2.3 離散余弦變換的意義與應(yīng)用

　　6.3 沃爾什-阿達(dá)馬變換

　　6.3.1 沃爾什函數(shù)

　　6.3.2 離散沃爾什變換及其快速算法

　　6.3.3 沃爾什變換的應(yīng)用

　　6.4 卡洛南-洛伊變換

　　6.4.1 一些必備的基礎(chǔ)概念

　　6.4.2 主成分變換的推導(dǎo)

　　6.4.3 主成分變換的實(shí)現(xiàn)

　　6.4.4 基于K-L變換的圖像壓縮

　　本章參考文獻(xiàn)

　　第7章 無(wú)所不在的高斯分布

　　7.1 卷積積分與鄰域處理

　　7.1.1 卷積積分的概念

　　7.1.2 模板與鄰域處理

　　7.1.3 圖像的高斯平滑

　　7.2 邊緣檢測(cè)與微分算子

　　7.2.1 哈密爾頓算子

　　7.2.2 拉普拉斯算子

　　7.2.3 高斯-拉普拉斯算子

　　7.2.4 高斯差分算子

　　7.3 保持邊緣的平滑處理

　　7.3.1 雙邊濾波算法應(yīng)用

　　7.3.2 各向異性擴(kuò)散濾波

　　7.3.3 基于全變差的方法

　　7.4 數(shù)學(xué)物理方程的應(yīng)用

　　7.4.1 泊松方程的推導(dǎo)

　　7.4.2 圖像的泊松編輯

　　7.4.3 離散化數(shù)值求解

　　7.4.4 基于稀疏矩陣的解法

　　7.5 多尺度空間及其構(gòu)建

　　7.5.1 高斯濾波與多尺度空間的構(gòu)建

　　7.5.2 基于各向異性擴(kuò)散的尺度空間

　　本章參考文獻(xiàn)

　　第8章 處理彩色圖像

　　8.1 從認(rèn)識(shí)色彩開(kāi)始

　　8.1.1 什么是顏色

　　8.1.2 顏色的屬性

　　1. 色相

　　2. 亮度

　　3. 純度

　　8.1.3 光源能量分布圖

　　8.2 CIE色度圖

　　8.2.1 CIE色彩模型的建立

　　8.2.2 CIE色度圖的理解

　　1. 確定互補(bǔ)顏色

　　2. 確定色光主波

　　3. 定義顏色區(qū)域

　　8.2.3 CIE色度圖的后續(xù)發(fā)展

　　8.3 常用的色彩空間

　　8.3.1 RGB顏色空間

　　8.3.2 CMY/CMYK顏色空間

　　8.3.3 HSV/HSB顏色空間

　　8.3.4 HSI/HSL顏色空間

　　8.3.5 Lab顏色空間

　　8.3.6 YUV/YCbCr顏色空間

　　8.4 色彩空間的轉(zhuǎn)換方法

　　8.4.1 RGB轉(zhuǎn)換到HSV的方法

　　8.4.2 RGB轉(zhuǎn)換到HSI的方法

　　8.4.3 RGB轉(zhuǎn)換到Y(jié)UV的方法

　　8.4.4 RGB轉(zhuǎn)換到Y(jié)CbCr的方法

　　8.5 基于直方圖的色彩增強(qiáng)

　　8.5.1 普通直方圖均衡

　　8.5.2 CLAHE算法

　　8.5.3 直方圖規(guī)定化

　　8.6 暗通道先驗(yàn)的去霧算法

　　8.6.1 暗通道的概念與意義

　　8.6.2 暗通道去霧霾的原理

　　8.6.3 算法實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用