圖像處理中的數(shù)學(xué)原理詳解17——卷積定理及其證明

　　1.4.5 卷積定理及其證明

　　卷積定理是傅立葉變換滿足的一個(gè)重要性質(zhì)。卷積定理指出，函數(shù)卷積的傅立葉變換是函數(shù)傅立葉變換的乘積。換言之，一個(gè)域中的卷積對(duì)應(yīng)于另一個(gè)域中的乘積，例如，時(shí)域中的卷積對(duì)應(yīng)于頻域中的乘積。

　　這一定理對(duì)拉普拉斯變換、Z變換等各種傅立葉變換的變體同樣成立。需要注意的是，以上寫法只對(duì)特定形式的變換正確，因?yàn)樽儞Q可能由其它方式正規(guī)化，從而使得上面的關(guān)系式中出現(xiàn)其它的常數(shù)因子。

　　下面我們來(lái)證明時(shí)域卷積定理，頻域卷積定理的證明與此類似，讀者可以自行證明。

　　證明：將卷積的定義

　　傅立葉變換的作用在頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分析，我們可以把時(shí)域的信號(hào)看做是若干正弦波的線性疊加，傅立葉變換的作用正是求得這些信號(hào)的幅值和相位。既然固定的時(shí)域信號(hào)是若干固定正弦信號(hào)的疊加，在不改變幅值的情況下，在時(shí)間軸上移動(dòng)信號(hào)，也就相當(dāng)于同時(shí)移動(dòng)若干正弦信號(hào)，這些正弦信號(hào)的相位改變、但幅值不變，反映在頻域上就是傅立葉變換結(jié)果的模不變、而相位改變。所以，時(shí)移性質(zhì)其實(shí)就表明當(dāng)一個(gè)信號(hào)沿時(shí)間軸平移后，各頻率成份的大小不發(fā)生改變，但相位發(fā)生變化。

　　既然這里提到了傅立葉變換的性質(zhì)，這里我們還將補(bǔ)充一些關(guān)于帕塞瓦爾定理的有關(guān)內(nèi)容。該定理最早是由法國(guó)數(shù)學(xué)家帕塞瓦爾(Marc-Antoine Parseval)在1799年推導(dǎo)出的一個(gè)關(guān)于級(jí)數(shù)的理論，該定理隨后被應(yīng)用于傅立葉級(jí)數(shù)。帕塞瓦爾定理的表述是這樣的：

　　綜上所述，原結(jié)論得證。

　　前面我們也介紹過復(fù)數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)，下面我們來(lái)推導(dǎo)與復(fù)數(shù)形式傅立葉變換相對(duì)應(yīng)的帕塞瓦爾等式。這里再次給出傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式表達(dá)式，具體推導(dǎo)過程請(qǐng)讀者參閱前文

　　帕塞瓦爾定理把一個(gè)信號(hào)的能量或功率的計(jì)算和頻譜函數(shù)或頻譜聯(lián)系起來(lái)了，它表明一個(gè)信號(hào)所含有的能量(功率)恒等于此信號(hào)在完備正交函數(shù)集中各分量能量(功率)之和。換言之，能量信號(hào)的總能量等于各個(gè)頻率分量單獨(dú)貢獻(xiàn)出來(lái)的能量的連續(xù)和;而周期性功率信號(hào)的平均功率等于各個(gè)頻率分量單獨(dú)貢獻(xiàn)出來(lái)的功率之和。