周末燒腦：論頻譜中負(fù)頻率成分的物理意義

　　3.雙邊頻譜的工程應(yīng)用

　　正余弦信號中包括正負(fù)雙邊頻譜，不僅有物理意義，而且具有重要的工程價(jià)值。

　　1)二相異步電機(jī)的設(shè)計(jì)

　　根據(jù)這個(gè)概念，可以用兩路在空間正交的實(shí)信號來構(gòu)成旋轉(zhuǎn)電磁場，設(shè)計(jì)電動(dòng)機(jī)。上面給出了單位余弦波在正負(fù)兩個(gè)頻率上有幅度相等，相角均為零的兩根譜線;同樣，單位正弦波在同樣正負(fù)兩個(gè)頻率上也有幅度相等的譜線，不過它們的相角分別為±π/2。用立體圖表示如圖 3(a)。

　　如果把正弦和余弦兩個(gè)信號的正頻率成分設(shè)計(jì)得相等相反，則把它們合成以后，就只剩下負(fù)頻率成分，它就構(gòu)成一個(gè)單純負(fù)向旋轉(zhuǎn)的電信號。為此可以把正弦信號在空間上轉(zhuǎn)動(dòng)π/2，使它的正頻率譜線恰好與余弦信號的正頻率譜線反向，這樣兩個(gè)信號的合成(見圖3(b))就成為一個(gè)只有負(fù)頻率譜線的信號，當(dāng)然它在時(shí)域必然是復(fù)數(shù)信號。常用的二相異步電機(jī)就是這樣負(fù)向轉(zhuǎn)動(dòng)的。而要使該電機(jī)正轉(zhuǎn)，則要使兩者的負(fù)頻率成分互相抵消，只保留其正頻率成分。

　　2)通信領(lǐng)域中的 Hilbert 變換

　　實(shí)信號的雙邊頻譜是對稱的。如果它的單邊頻帶寬 W，考慮到負(fù)頻率成分，實(shí)際占的頻譜區(qū)域就是±W，所以通信中要傳輸這樣的信號就需要占用 2W的頻帶寬度。為了節(jié)省頻帶，人們就發(fā)明了 Hilbert 變換，它可以把信號的正頻率頻譜移相-90°，把負(fù)頻率頻譜移相90°，然后再將這個(gè)信號移相90°與原信號相加，使兩者的負(fù)頻率成分互相抵消，正頻率成分加倍，構(gòu)成一個(gè)沒有負(fù)頻率頻譜的復(fù)信號,(如同上面所說的二相異步電機(jī)那樣)。這個(gè)復(fù)信號的帶寬就只占 W 了。用這個(gè)方法，使頻帶節(jié)約了一半。在這里，可以看到負(fù)頻率成分的重要性，在傳送信號時(shí)。

　　它是不可或缺的部分。另外，也看到負(fù)頻率成分與復(fù)信號的密切關(guān)系。

　　3)產(chǎn)生任意的平面運(yùn)動(dòng)軌跡

　　文獻(xiàn)[5]曾提出根據(jù)傅立葉反變換原理產(chǎn)生平面運(yùn)動(dòng)軌跡的方法。從上面歐拉公式的幾何意義不難得知，傅立葉反變換公式其實(shí)表示了多個(gè)頻譜旋轉(zhuǎn)向量的合成，這些向量的頻率規(guī)定了它信號的實(shí)部，在 y軸上的投影是信號的虛部。

　　不難設(shè)計(jì)出一個(gè)程序來演示這個(gè)過程，在[2,3]中編寫了一個(gè)MATLAB 程序，程序名為 exn941。它把四個(gè)集總頻譜合成起來。假如給出這些頻譜分量如下：

　　a(1) = 1， ω(1) = 1; a(2) = 1， ω(2) = -1; a(3) = 0.5，ω(3) = 3;a(4) = 0.5，ω(4) = -4;

　　在此處，為了顯示復(fù)信號，有意把輸入頻譜設(shè)成不對稱的，見圖5(d)。于是讀者將看到四節(jié)桿的運(yùn)動(dòng)動(dòng)畫，并得到桿系及其末端在復(fù)平面上的軌跡(圖4)，改變了比例尺后為圖 5 (a)。將它在x，y兩方向的投影與時(shí)間軸的關(guān)系畫在圖5(b)和(c)中，就得到信號與系統(tǒng)課程中常見的實(shí)信號曲線。

　　輸入頻譜的幅度可以是負(fù)數(shù)，也可以是虛數(shù)，甚至可以是復(fù)數(shù)，它不僅反映了頻譜的大小，還反映了該向量的起始相位;頻譜的頻率則只能是有正負(fù)號的實(shí)數(shù)，正頻率和負(fù)頻率以及在該頻率上頻譜的意義在此不言自明。讀者可以做各種各樣的試驗(yàn)。例如當(dāng)兩組頻率具有倍頻關(guān)系時(shí)，得到的是周期信號，如果頻率比是無理數(shù)，那將得出非周期的信號;另外，這樣的演示只適用于集總頻譜，對于分布的頻譜密度，就要把它想象為若干小的集總頻譜的疊合。

　　總之有了這樣的形象演示，可以大大擴(kuò)展時(shí)域信號與頻域譜之間關(guān)系的思維空間。

　　4)多普勒頻率

　　多普勒頻率又是一個(gè)負(fù)頻率的實(shí)例，如果信號的發(fā)射源向我們運(yùn)動(dòng)而來，那么多普勒頻率就是正頻率;如果信號的發(fā)射源向我們遠(yuǎn)離而去，那么多普勒頻率就是負(fù)頻率，在這里正負(fù)頻率都是有明確物理意義的。多普勒頻率雖是一種差頻，它表現(xiàn)為合成信號的包絡(luò)頻率，因此仍然符合上述的原理，在實(shí)信號域只能求出多普勒頻率的大小，但檢測不出它的正負(fù)。要得到負(fù)頻率，必須從復(fù)信號域考慮?？梢?，不懂得這一點(diǎn)，就無法找到多普勒測速的原理框圖。

　　5)機(jī)械工程領(lǐng)域的應(yīng)用

　　關(guān)于二維信號的傅立葉變換，國內(nèi)早已有學(xué)者將其應(yīng)用于工程領(lǐng)域，參見文獻(xiàn)[4]、 [5]。這些都是說明頻譜中負(fù)頻率物理意義的實(shí)際例證。

　　4.在對負(fù)頻率認(rèn)識中存在的問題

　　頻譜中負(fù)頻率成分的物理意義往往不為某些人們理解，其主要原因是他們忘記了實(shí)信號平面內(nèi)研究問題的局限性。因?yàn)樵谛盘柵c系統(tǒng)課程中研究的信號通常只限于實(shí)信號。從實(shí)信號的x-t的波形圖上根本看不出頻率的轉(zhuǎn)向和正負(fù)，頻率只能表現(xiàn)為每秒信號重復(fù)的次數(shù)。分不清正負(fù)就以為是正頻率，只是一種習(xí)慣性的思維方法而已。

　　歸根到底，轉(zhuǎn)角和頻率的正負(fù)，必須在x-y平面或二維信號中才能觀察到。因?yàn)橛^察的方法不對，看不到其意義，從而否認(rèn)它的存在，這是認(rèn)識論上的錯(cuò)誤，不是科學(xué)的方法。這就和“瞎子摸象”的故事所說的那樣，摸象腿的人否認(rèn)象有鼻子，毛病出在他的驗(yàn)證方法。他老想在象腿(實(shí)信號域)上找到象鼻子(負(fù)頻率)，當(dāng)然也永遠(yuǎn)找不到。正確的方法是必須換一個(gè)角度，摸別的部位(復(fù)信號域)，才能得到全面的知識。

　　某些學(xué)者不承認(rèn)負(fù)頻率是由于把“頻率是每秒鐘循環(huán)的次數(shù)”的陳舊概念絕對化，其實(shí)頻率的概念是不斷發(fā)展充實(shí)的。每秒次數(shù)的概念只能粗糙地研究信號外部形態(tài)，無法涉及信號每周期內(nèi)部的細(xì)微波形特征，而這恰好是傅立葉變換的任務(wù)。從它的核已經(jīng)可以清楚地看到，正是它摒棄(或發(fā)展)了原始的頻率定義，采用了角頻率的概念。單位是弧度/秒，而且具有明確的方向和正負(fù)號。其實(shí)頻率的概念還在繼續(xù)發(fā)展，進(jìn)入到數(shù)字信號處理時(shí)又進(jìn)一步出現(xiàn)了數(shù)字頻率，它的單位是弧度(去掉了分母上的“秒”)，取值范圍是[-π，π]。它的物理意義已變?yōu)閮纱尾蓸訒r(shí)刻之間向量轉(zhuǎn)過的角度，在文獻(xiàn)[1]中對此有詳細(xì)的說明。如果停留在“每秒次數(shù)”的舊概念上，那“數(shù)字信號處理”也就無法發(fā)展了。

　　5.從認(rèn)識論角度糾正對負(fù)頻率的錯(cuò)誤說法

　　這個(gè)問題是從教學(xué)中提出的，作者在旁聽“信號與系統(tǒng)”課程時(shí)，在老師的幻燈片上看到了 “關(guān)于雙邊譜，負(fù)頻率只有數(shù)學(xué)意義，沒有物理意義”的提法。我們覺得這是個(gè)錯(cuò)誤，而且恐怕不是個(gè)別老師的想法?；貋硪徊?，果然如此，很多相當(dāng)權(quán)威的主流教材上都這么寫。

　　其實(shí)，“×××只有數(shù)學(xué)意義，沒有物理意義”這樣的“命題”誰也沒有證明過，也是無法證明的，它最多只能算是猜想。只要有一個(gè)反例就可被推翻，本文已經(jīng)舉出了多個(gè)反例，說明它是完全錯(cuò)誤的。教師絕不該把錯(cuò)誤的猜想說成真理，更不能寫在書上和幻燈片上去誤導(dǎo)學(xué)生。數(shù)學(xué)是更抽象、更深刻地描述物理現(xiàn)象的工具，而物理是實(shí)證的科學(xué)。限于條件，人們往往暫時(shí)還認(rèn)識不到數(shù)學(xué)定理的物理意義。數(shù)學(xué)超前物理是科學(xué)史上多次出現(xiàn)的現(xiàn)象，比如虛數(shù)、非歐氏幾何等。這時(shí)應(yīng)該努力去理解它，認(rèn)識它，而不是輕易地放棄它、否定它。自己沒想通，沒找到的事物，不能說它不存在。給學(xué)生講課時(shí)，只能說“我們目前還沒有想通×××的物理意義”。這才能表明教師在科學(xué)上的嚴(yán)肅和謙遜，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)鉆研和創(chuàng)新精神。

　　6.結(jié)束語

　　討論這個(gè)問題，不僅是理論上的探討，對于提高教學(xué)質(zhì)量是有重大意義的。今天，信息技術(shù)如此的發(fā)展，很大程度是由于深入大量地開發(fā)頻譜資源的結(jié)果。在同學(xué)剛進(jìn)入這個(gè)資源庫的時(shí)候，我們要引導(dǎo)他們對這個(gè)寶藏發(fā)生極大的興趣，非常珍惜這個(gè)寶藏，去深鉆，去挖掘它的每一點(diǎn)潛力。不能為了省事，為了堵住學(xué)生的好奇提問，輕率地、毫無根據(jù)地一句話就把頻譜的負(fù)頻率半邊扔掉了。在入門的時(shí)候，當(dāng)然不可能把本文說的概念統(tǒng)統(tǒng)灌輸給學(xué)生，要順序漸進(jìn)。但老師首先要有更寬廣的知識面和更科學(xué)的思維方法，教出的學(xué)生的才會(huì)具備更多的想象力和創(chuàng)造性。