推導(dǎo)電容傳感加速度計(jì)的傳遞函數(shù)

在本系列的部分中，我們討論了質(zhì)量-彈簧-阻尼器（或質(zhì)量-阻尼器-彈簧）結(jié)構(gòu)可用于測(cè)量加速度。為了使質(zhì)量塊位移與施加的加速度成正比，應(yīng)適當(dāng)選擇質(zhì)量塊-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的不同參數(shù)。本文將使用經(jīng)典力學(xué)的概念推導(dǎo)質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

在本系列的部分中，我們討論了質(zhì)量-彈簧-阻尼器（或質(zhì)量-阻尼器-彈簧）結(jié)構(gòu)可用于測(cè)量加速度。為了使質(zhì)量塊位移與施加的加速度成正比，應(yīng)適當(dāng)選擇質(zhì)量塊-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的不同參數(shù)。本文將使用經(jīng)典力學(xué)的概念推導(dǎo)質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。
傳遞函數(shù)使我們能夠描述質(zhì)量塊如何響應(yīng)外部加速度而移動(dòng)。在解釋加速度計(jì)的不同參數(shù)（例如傳感器線性工作范圍和帶寬規(guī)格）時(shí)，將在本系列的后續(xù)文章中使用導(dǎo)出的傳遞函數(shù)。
然而，在嘗試推導(dǎo)傳感器傳遞函數(shù)之前，讓我們簡(jiǎn)要介紹一下微機(jī)電系統(tǒng) (MEMS) 技術(shù)，該技術(shù)使當(dāng)今的小型低成本慣性傳感器成為可能。
MEMS 加速度計(jì)：使用質(zhì)量彈簧阻尼器結(jié)構(gòu)測(cè)量加速度
用于感測(cè)加速度的質(zhì)量-彈簧-阻尼器結(jié)構(gòu)如圖 1 所示。
MEMS 技術(shù)使我們能夠在同一硅芯片上實(shí)現(xiàn)該機(jī)械系統(tǒng)的非常小版本以及所需的信號(hào)調(diào)節(jié)電子設(shè)備，從而擁有完整的傳感解決方案。

圖 1. 質(zhì)量-彈簧-阻尼器結(jié)構(gòu)。

MEMS 技術(shù)借鑒了微電子行業(yè)的基于光刻的微加工技術(shù)，并將它們與其他專門的制造技術(shù)相結(jié)合，從而能夠在硅芯片上創(chuàng)建可移動(dòng)部件。
微制造技術(shù)的進(jìn)步幫助實(shí)現(xiàn)了今天的小型、低成本微機(jī)械加速度計(jì)，圖 2 顯示了一個(gè)示例。

圖 2.  CMOS MEMS 加速度計(jì)的掃描電子顯微照片 (SEM)。圖片由K. Zhang提供

在上一篇文章中，我們簡(jiǎn)要提到了阻尼器在加速度計(jì)操作中起著至關(guān)重要的作用。在嘗試推導(dǎo)質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的傳遞函數(shù)之前，現(xiàn)在是進(jìn)一步熟悉系統(tǒng)的這一重要部分的好時(shí)機(jī)。 
MEMS 加速度計(jì)中的阻尼機(jī)制 
阻尼器模擬耗散力，該耗散力會(huì)減少質(zhì)量-彈簧-阻尼器系統(tǒng)的機(jī)械能并減慢檢驗(yàn)質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)。
MEMS 加速度計(jì)中的主要阻尼機(jī)制之一是運(yùn)動(dòng)質(zhì)量與周圍空氣分子之間發(fā)生的內(nèi)部摩擦。事實(shí)上，可以在極低的壓力下封裝基于 MEMS 的加速度計(jì)，以減少空氣阻尼的影響。然而，一般而言，空氣阻尼是 MEMS 加速度計(jì)中能量損失的主要。 
其他常見的阻尼源是結(jié)構(gòu)阻尼和熱阻尼。
結(jié)構(gòu)阻尼考慮了由 MEMS 器件中使用的組件結(jié)構(gòu)引起的能量損失。
熱阻尼對(duì)應(yīng)于 MEMS 結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系隨溫度變化的偏差。阻尼器施加在驗(yàn)證質(zhì)量上的總減速力通常建模為與驗(yàn)證質(zhì)量的速度成比例的力。
該力的作用方向與質(zhì)量運(yùn)動(dòng)相反，由下式給出：
[F_{阻尼器} = bv ]
其中 b 表示阻尼系數(shù)，v 表示質(zhì)量塊的速度。
請(qǐng)注意，當(dāng)物體非常小時(shí)，空氣阻力與物體的速度成正比，微加工結(jié)構(gòu)就是這種情況。
一般來說，空氣阻力與 物體的速度有著復(fù)雜的關(guān)系。例如，一個(gè)大物體，例如在空中移動(dòng)的跳傘者，會(huì)受到與物體速度的平方成正比的阻力。
阻尼效應(yīng)：需要還是討厭？
由于阻尼源自耗散力，因此它可能看起來是一種應(yīng)該避免的麻煩。事實(shí)上，許多 MEMS 加速度計(jì)設(shè)計(jì)為只有少量阻尼（以降低系統(tǒng)的噪聲）。
但需要注意的是，沒有阻尼的理想質(zhì)量彈簧系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)振蕩器，不能用作加速度計(jì)。
如果我們將“理想”彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的質(zhì)量從平衡狀態(tài)移開然后釋放它，即使沒有向系統(tǒng)施加外部加速度，質(zhì)量也會(huì)永遠(yuǎn)來回運(yùn)動(dòng)。這就是為什么對(duì)于加速度計(jì)，我們需要至少向彈簧質(zhì)量系統(tǒng)引入少量阻尼。 
使用牛頓運(yùn)動(dòng)定律證明質(zhì)量位移
假設(shè)如圖 3 所示，外力作用于傳感器框架。 

圖 3. 對(duì)外力作出反應(yīng)的質(zhì)量-彈簧-阻尼器結(jié)構(gòu)傳感器框架。

為了根據(jù)施加的加速度計(jì)算質(zhì)量塊位移，我們使用牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律。正如您可能知道的那樣，該定律指出，合力產(chǎn)生的物體加速度與合力的大小成正比，與物體的質(zhì)量成反比。
這由以下熟悉的等式表示：
[F=馬]
公式 1
其中 F 是施加在身體上的合力，m 是身體的質(zhì)量，a 表示加速度。
要將此等式正確地應(yīng)用到我們的系統(tǒng)，這里應(yīng)該注意一個(gè)微妙的點(diǎn)。牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律只適用于慣性坐標(biāo)系，即不加速的坐標(biāo)系。 
圖 3 描繪了我們的加速度計(jì)的兩個(gè)不同坐標(biāo)系。橙色坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)于在解決物理問題時(shí)假定為慣性的地球參考系。
然而，品紅色坐標(biāo)系表示固定到傳感器框架的參考系。
該坐標(biāo)系是非慣性的，因?yàn)楫?dāng)向傳感器施加外力時(shí)它會(huì)加速。因此，要找到質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)方程，我們應(yīng)該使用慣性參考系（橙色坐標(biāo)系）。
什么力作用于證明質(zhì)量？
假設(shè)如圖3所示，X 0和X m分別表示質(zhì)量塊的靜止位置和任意時(shí)刻質(zhì)量塊的位置。在正 X 方向的外力作用下，傳感器框架向右加速。初，質(zhì)量塊由于其慣性而傾向于“后退”。這會(huì)改變檢測(cè)質(zhì)量相對(duì)于傳感器框架的相對(duì)位置，并將彈簧壓縮 X 0  – X m。壓縮的彈簧對(duì)質(zhì)量塊施加力并將其向右推。
彈簧施加的力由下式給出：
[F_s = k (X_0 - X_m) ]
公式 2
當(dāng)質(zhì)量塊偏離平衡時(shí)，阻尼器施加一個(gè)與質(zhì)量塊相對(duì)于靜止位置的相對(duì)速度成正比的力，我們得到：
[F_d = b (dot X_0 - dot X_m) ]
公式 3
在上面的等式中，點(diǎn)符號(hào)用于顯示變量相對(duì)于時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。請(qǐng)注意，位置的導(dǎo)數(shù)是速度。
應(yīng)用等式 1，我們得到：
[F_s + F_d = ma_{證明質(zhì)量} ]
代入等式 2 和 3，我們得到 
[ k (X_0 - X_m) + b (dot X_0 - dot X_m) = m ddot X_m ]
方程式 4  
在這個(gè)等式中，雙點(diǎn)符號(hào)表示 X m相對(duì)于時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。請(qǐng)注意，? m是驗(yàn)證質(zhì)量的加速度。 
求非慣性參考系中的運(yùn)動(dòng)方程 
需要根據(jù)質(zhì)量塊從其平衡位置的位移來重寫方程式 4。這是因?yàn)槲覀冊(cè)趯?shí)踐中的傳感方法測(cè)量的是質(zhì)量塊偏離其平衡狀態(tài)的位移。
例如，如圖 4 所示，電容式感應(yīng)方法測(cè)量檢測(cè)質(zhì)量塊相對(duì)于靜止位置的位移。 

圖 4.通過電容感應(yīng)測(cè)量質(zhì)量塊位移的設(shè)置 。有關(guān)更多信息，請(qǐng)查看本系列的上一篇文章。

為了根據(jù)質(zhì)量位移來表達(dá)方程式 4，我們需要使用圖 3 中洋紅色坐標(biāo)系所示的移動(dòng)參考系。我們使用小寫字母 x 和 y 表示該坐標(biāo)系。
如您所見，驗(yàn)證質(zhì)量位移由 X m  – X 0  = x給出。
在這種情況下，公式 4 簡(jiǎn)化為：
[ -kx - b dot x = m ( ddot X_0 + ddot x) ]
由于  0 是傳感器坐標(biāo)系上的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，它的二階導(dǎo)數(shù)等于傳感器坐標(biāo)系 a 的加速度。這其實(shí)就是我們要衡量的參數(shù)。
因此，上述等式導(dǎo)致：
[ m ddot x + b dot x + kx = -ma ]
尋找傳遞函數(shù) 
應(yīng)用拉普拉斯變換，我們可以找到加速度計(jì)的傳遞函數(shù)為：
[ H(s) = frac{x(s)}{a(s)} = frac{-1}{s^2 + frac{m}s + frac{k}{m }} ]
這是一個(gè)二階系統(tǒng)。根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)的值，即 m、k 和 b，系統(tǒng)響應(yīng)將不同。
例如，如果傳感器幀加速度突然從零變?yōu)橛邢拗担A躍輸入），則系統(tǒng)的輸出將接近其終值，其時(shí)間響應(yīng)特性由系統(tǒng)參數(shù)確定。
圖 5 顯示了改變系統(tǒng)參數(shù)如何改變輸出的振鈴和穩(wěn)定時(shí)間。在我們的討論中，輸出是證明質(zhì)量位移。 

圖 5.二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)會(huì)根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)的值發(fā)生顯著變化。圖片由麻省理工學(xué)院 David L. Trumper提供

在下一篇文章中，我們將使用導(dǎo)出的傳遞函數(shù)來討論一些重要的系統(tǒng)參數(shù)，例如傳感器線性工作范圍、響應(yīng)誤差和帶寬。