實數FFT算法的設計及其C語言實現

目前國內有關數字信號處理的教材在講解快速傅里葉變換(FFT)時，都是以復數FFT為重點，實數FFT算法都是一筆帶過，書中給出的具體實現程序多為BASIC或FORTRAN程序并且多數不能真正運行。鑒于目前在許多嵌入式系統(tǒng)中要用到FFT運算，如以DSP為核心的交流采樣系統(tǒng)、頻譜分析、相關分析等。本人結合自己的實際開發(fā)經驗，研究了實數的FFT算法并給出具體的C語言函數，讀者可以直接應用于自己的系統(tǒng)中。

　　首先分析實數FFT算法的推導過程，然后給出一種具體實現FFT算法的C語言程序，可以直接應用于需要FFT運算的單片機或DSP等嵌入式系統(tǒng)中。

　　1 倒位序算法分析

　　按時間抽取(DIT)的FFT算法通常將原始數據倒位序存儲，最后按正常順序輸出結果X(0)，X(1)，...，X(k)，...。假設一開始，數據在數組 float dataR[128]中，我們將下標i表示為(b6b5b4b3b2b1b0)b，倒位序存放就是將原來第i個位置的元素存放到第(b0b1b2b3b4b5b6)b的位置上去.由于C語言的位操作能力很強，可以分別提取出b6、b5、b4、b3、b2、b1、b0，再重新組合成b0、b1、b2、b3、b4、b5、b6，即是倒位序的位置。程序段如下(假設128點FFT)：

　　/* i為原始存放位置，最后得invert_pos為倒位序存放位置 */

　　int b0=b1=b2=b3=b4=b5=6=0;

　　b0=i0x01; b1=(i/2)0x01; b2=(i/4)0x01;

　　b3=(i/8)0x01; b4=(i/16)0x01; b5=(i/32)0x01;

　　b6=(i/64)0x01; /*以上語句提取各比特的0、1值*/

　　invert_pos=x0*64+x1*32+x2*16+x3*8+x4*4+x5*2+x6;

　　大家可以對比教科書上的倒位序程序，會發(fā)現這種算法充分利用了C語言的位操作能力，非常容易理解而且位操作的速度很快。

　　2 實數蝶形運算算法的推導

　　我們首先看一下圖1所示的蝶形圖。

　　蝶形公式：

　　X(K) = X’(K) + X’(K+B)W PN ,

　　X(K+B) = X’(K) - X’(K+B) W PN