頻率響應(yīng)法--奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.4.4 奈氏穩(wěn)定判據(jù)在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的應(yīng)用

與奈氏圖的繪制相比，開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制更為簡(jiǎn)單、方便，因而研究開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性形式的奈氏穩(wěn)定判據(jù)是有實(shí)際意義的。注意到開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖與相應(yīng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖之間有著下列的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

1）GH平面上單位圓的圓周與對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的0dB線相對(duì)應(yīng)，單位圓的外部對(duì)應(yīng)于 ，單位圓的內(nèi)部對(duì)應(yīng)于 。

2）GH平面上的負(fù)實(shí)軸與對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的 線相對(duì)應(yīng)。

如果 曲線以逆時(shí)針?lè)较虬鼑ǎ?，j0）點(diǎn)一周，則此曲線必然由上向下穿越負(fù)實(shí)軸的 線段一次。由于這種穿越使相角增大，故稱為正穿越，其次數(shù)用 表示。反這，若 曲線按順時(shí)針?lè)较虬鼑ǎ?，j0）點(diǎn)一周，則此曲線將由下向上穿越負(fù)實(shí)軸的 線段一次。由于這種穿越使相角減小，故稱為負(fù)穿越，其次數(shù)用 表示。圖5－48a所示的為正負(fù)穿越數(shù)各一次的圖形。顯然，對(duì)應(yīng)于圖5－48a上的正負(fù)穿越在伯德圖上表現(xiàn)為：在 的頻域內(nèi)，當(dāng) 增加時(shí)，相頻曲線 由下而上（負(fù)穿越）和由上而下（正穿越）穿過(guò) 線各一次，如圖5－48b所示。

不難看出，在極坐標(biāo)圖上 曲線對(duì)于（－1，j0）點(diǎn)的包圍圈數(shù)N與其相頻特性曲線 在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的負(fù)，正穿越數(shù)之差相等。即有

(5-52)

式中， 為在 頻率范圍內(nèi) 的負(fù)穿越數(shù)；為在 頻率范圍內(nèi) 的正穿越數(shù)。這樣，式（5－44）便可改寫為

(5-53)

應(yīng)用上式，就可得到對(duì)數(shù)頻率特性形式的奈奎斯特判據(jù)：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)變化時(shí)，在 頻率范圍內(nèi)，相率特性 穿越 線的次數(shù)（正、負(fù)穿越數(shù)之差）為 。

在使用對(duì)數(shù)頻率特性的奈氏穩(wěn)定判據(jù)時(shí)，應(yīng)注意如下兩點(diǎn)：

（1） 判據(jù)中的頻率范圍是 ，而非如前述的 ；

（2） 若P為奇數(shù)，則意味著開(kāi)環(huán)系統(tǒng)并未產(chǎn)生真正的穿越，即相頻特性的起點(diǎn)在負(fù)半軸