頻率響應法-相對穩(wěn)定性分析

為了使控制系統(tǒng)能可靠地工作，不但要求它能穩(wěn)定，而且還希望有足夠的穩(wěn)定裕量，使系統(tǒng)在環(huán)境發(fā)生變化或存在干擾的情況下仍能工作，這即為相對穩(wěn)定性的概念。

在討論系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量時，首先要假定開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，是最小相位系統(tǒng)，即開環(huán)系統(tǒng)的零、極點均僅位于s的左半平面，否則討論系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量是無意義的。

為了說明相對穩(wěn)定性的概念，圖5－49為一典型的I型系統(tǒng) 曲線，其開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 。根據(jù)奈氏判據(jù)可知，當 時，系統(tǒng)不穩(wěn)定，奈氏曲線包圍（－1，j0）點；當 時，系統(tǒng)產(chǎn)生等幅振蕩，奈氏曲線經(jīng)過（－1，j0）點；當 時，系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線不包圍（－1，j0）點。因此直觀地看，對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，要求閉環(huán)系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定性，不僅要求 的幅頻特性不包圍（－1，j0）點，而且應與該點有一定的距離，即有一定的穩(wěn)定裕量。

衡量閉環(huán)系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的具體指標有幅值裕量 和相位裕量 。在Matlab中，相應地有專門的函數(shù)來求取上述指標：Margin。具體用法參見下面的例子。

5.5.1 用奈氏圖表示相位裕量和幅值裕量

1、 相位裕量

設一開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)的奈氏曲線 負實軸相交于G點，與單位圓相交于C點，如圖5－50。對應于 時的頻率 （交點C）稱為增益穿越頻率，又稱剪切頻率或交界頻率。在剪切頻率 處，使系統(tǒng)達到臨界穩(wěn)定狀態(tài)時所能接受的附加相位遲后角，定義為相位裕量，用 表示之。對于任何系統(tǒng)，相位裕量 的算式為

(5-54)

式中， 是開環(huán)頻率特性在剪切頻率 處的相位。

不難理解，對于開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，若 ，表示 曲線包圍（－1，j0）點，相應的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的；反之，若 ，則相應的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。一般 越大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性也就越好。因為系統(tǒng)的參數(shù)并非絕對不變，如果 太小，就有可能因參數(shù)的變化而使奈奎斯特曲線包圍（－1，j0）點，即導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。

2、 幅值裕量

幅值裕量是系統(tǒng)相對穩(wěn)定性的另一度量指標。如圖5－50所示，開環(huán)頻率特性的相角 時的頻率 （交點G）處， 稱為相位穿越頻率，又稱為相位交界頻率。開環(huán)幅值 的倒數(shù)稱為增益裕量，用 表示。即

(5-55)

上式表示系統(tǒng)在變到臨界穩(wěn)定時，系統(tǒng)的增益能增大多少。

由奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)可知，對于最小相位系統(tǒng)，其閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是 曲線不包圍（－1，j0）點，即 曲線與其負實軸交點處的模小于1，此時對應的 。反之，對于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，其 ，如圖5－51所示，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

5.5.2 用伯德圖表示相位裕量和幅值裕量

上述的相位裕量和幅值裕量也可在對數(shù)幅相圖（Bode圖）上表示。對應于圖5－5