運(yùn)算放大器電路中固有噪聲的分析與測(cè)量（第一部分）：引言與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)評(píng)論

　　我們可將噪聲定義為電子系統(tǒng)中任何不需要的信號(hào)。噪聲會(huì)導(dǎo)致音頻信號(hào)質(zhì)量下降以及精確測(cè)量方面的錯(cuò)誤。板級(jí)與系統(tǒng)級(jí)電子設(shè)計(jì)工程師希望能確定其設(shè)計(jì)方案在最差條件下的噪聲到底有多大，并找到降低噪聲的方法以及準(zhǔn)確確認(rèn)其設(shè)計(jì)方案可行性的測(cè)量技術(shù)。

　　噪聲包括固有噪聲及外部噪聲，這兩種基本類型的噪聲均會(huì)影響電子電路的性能。外部噪聲來自外部噪聲源，典型例子包括數(shù)字開關(guān)、60Hz 噪聲以及電源開關(guān)等。固有噪聲由電路元件本身生成，最常見的例子包括寬帶噪聲、熱噪聲以及閃爍噪聲等。本系列文章將介紹如何通過計(jì)算來預(yù)測(cè)電路的固有噪聲大小，如何采用 SPICE模擬技術(shù)，以及噪聲測(cè)量技術(shù)等。

熱噪聲

　　熱噪聲由導(dǎo)體中電子的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生。由于運(yùn)動(dòng)會(huì)隨溫度的升高而加劇，因此熱噪聲的幅度會(huì)隨溫度的上升而提高。我們可將熱噪聲視為組件（如電阻器）電壓的不規(guī)則變化。圖 1.1 顯示了標(biāo)準(zhǔn)示波器測(cè)得的一定時(shí)域中熱噪聲波形，我們從圖中還可看到，如果從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度來分析隨機(jī)信號(hào)的話，那么它可表現(xiàn)為高斯分布曲線。我們給出分布曲線的側(cè)面圖，從中可以看出它與時(shí)域信號(hào)之間的關(guān)系。

圖 1.1: 在時(shí)間域中顯示白噪聲以及統(tǒng)計(jì)學(xué)分析結(jié)果。

　　熱噪聲信號(hào)所包含的功率與溫度及帶寬直接成正比。請(qǐng)注意，我們可簡單應(yīng)用功率方程式來表達(dá)電壓與電阻之間的關(guān)系 （見方程式1.1），根據(jù)該表達(dá)式，我們可以估算出電路均方根 (RMS) 噪聲的大小。此外，它還說明了在低噪聲電路中盡可能采用低電阻元件的重要性。

方程式 1.1：熱電壓

　　方程式 1.1 中有一點(diǎn)值得重視的是，根據(jù)該表達(dá)式我們還可計(jì)算出 RMS 噪聲電壓。在大多數(shù)情況下，工程師希望了解“最差條件下噪聲會(huì)有多嚴(yán)重？”換言之，他們非常關(guān)心峰峰值電壓的情況。如果我們要將 RMS 熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲的話，那么必須記住的一點(diǎn)是：噪聲會(huì)表現(xiàn)為高斯分布曲線。這里有一些單憑經(jīng)驗(yàn)的方法即根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)上的關(guān)系，我們可將 RMS 熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲。不過，在介紹有關(guān)方法前，我想先談?wù)勔恍?shù)學(xué)方面的基本原理。本文的重點(diǎn)在于介紹統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的基本理論，隨后幾篇文章將討論實(shí)際模擬電路的測(cè)量與分析事宜。

概率密度函數(shù)：

　　構(gòu)成正態(tài)分布函數(shù)的數(shù)學(xué)方程式稱作“概率密度函數(shù)”（見方程式 1.2）。根據(jù)一段時(shí)間內(nèi)測(cè)得的噪聲電壓繪制出相應(yīng)的柱狀圖，從該柱狀圖，我們可以大致看出函數(shù)所表達(dá)的形狀。圖 1.2 顯示了測(cè)得的噪聲柱狀圖，并給出了相應(yīng)的概率密度函數(shù)。

方程式 1.2: 高斯曲線分布曲線對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)

圖1.2: 根據(jù)相應(yīng)的概率密度函數(shù)所繪制的分布曲線。

概率分布函數(shù)：

　　概率分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分。根據(jù)該函數(shù)，我們可了解某事件在給定的時(shí)間段內(nèi)發(fā)生的概率（見方程式 1.3 與圖 1.3）。舉例來說，我們可以假定圖 1.4 為噪聲概率分布函數(shù)，該函數(shù)告訴我們，在任意時(shí)間點(diǎn)上，在 -1V 與 +1V 之間（即 (-1, 1) 區(qū)間內(nèi)）檢測(cè)到噪聲電壓的概率為 30%。

圖 1.3: 概率密度函數(shù)與概率分布函數(shù)。

　　概率分布函數(shù)對(duì)我們將 RMS熱噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲非常有用。請(qǐng)注意，高斯分布曲線的尾部是無限延伸的，這就是說，任何噪聲電壓都是可能的。盡管理論上確實(shí)如此，但就實(shí)際情況而言，極大的瞬時(shí)噪聲電壓發(fā)生的可能性不大。舉例來說，我們檢測(cè)到噪聲電壓在 -3σ 與 +3σ 之間的概率為 99.7 %。換言之，噪聲電壓超出該范圍的概率僅有0.3 %。因此，我們通常將噪聲信號(hào)的峰值估算為±3σ（即 6σ）。請(qǐng)注意，也有些工程師將噪聲的峰值估算為 6.6σ。人們對(duì)到底如何估計(jì)這個(gè)數(shù)值沒有定論。圖 1.4 顯示，68% 的噪聲都會(huì)不超過 2σ。表 1.1 總結(jié)了測(cè)量噪聲電壓時(shí)標(biāo)準(zhǔn)偏差與概率之間的關(guān)系。

圖 1.4: 標(biāo)準(zhǔn)偏差與峰值噪聲間的關(guān)系。

表 1.1: 標(biāo)準(zhǔn)偏差數(shù)與測(cè)量概率百分比

　　因此，在一定的標(biāo)準(zhǔn)偏差條件下，我們可以根據(jù)關(guān)系式來估算峰值對(duì)峰值噪聲。不過，總體來說，我們還是希望將 RMS 噪聲電壓轉(zhuǎn)化為峰峰值噪聲。人們常常假定 RMS 與標(biāo)準(zhǔn)偏差相同，不過事實(shí)并非總是如此。這兩個(gè)值只有在不存在 DC 元件（DC 元件為平均值 μ）的情況下才相同。就熱噪聲而言，由于沒有 DC 元件，因此標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 值相等。我們?cè)诟戒浿信e出了“標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 相等”和“標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 不相等”兩個(gè)不同的示例。

　　文章開頭就給出了計(jì)算 RMS 熱噪聲電壓的方程式。還有一種計(jì)算 RMS 噪聲電壓的方法就是先測(cè)量大量離散點(diǎn)，然后采用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法估算標(biāo)準(zhǔn)偏差。舉例來說，如果我們從模數(shù) (A/D) 轉(zhuǎn)換器中獲得大量采樣，那么我們就能運(yùn)用方程式 1.4, 1.5 及 1.6 來計(jì)算噪聲信號(hào)的平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差以及 RMS 值。附錄中的示例 1.3 顯示了在 Basic程序中如何運(yùn)用上述方程式。我們?cè)诟戒浿羞€列出了一組更全面的統(tǒng)計(jì)方程供您參考。

方程式 1.4、1.5、1.6：離散數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方程

　　本文最后要介紹的概念是噪聲信號(hào)的疊加。為了疊加兩個(gè)噪聲信號(hào)，我們必須先了解信號(hào)是否相關(guān)。來自兩個(gè)不同信號(hào)源的噪聲信號(hào)彼此不相關(guān)。舉例來說，來自兩個(gè)不同電阻器或兩個(gè)不同運(yùn)算放大器的噪聲是彼此不相關(guān)的。不過，噪聲源通過反饋機(jī)制會(huì)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)。什么是相關(guān)噪聲源疊加呢？一個(gè)很好的實(shí)例就是帶噪聲消除功能的耳機(jī)，其可通過累加反向相關(guān)的噪聲來消除噪聲。方程式 1.7 顯示了如何疊加相關(guān)噪聲信號(hào)。請(qǐng)注意，就帶噪聲消除功能的耳機(jī)而言，相關(guān)系數(shù) C 應(yīng)等于 - 1。

方程式 1.7: 疊加隨機(jī)相關(guān)信號(hào)

方程式1.8: 疊加隨機(jī)不相關(guān)的信號(hào)

　　在大多數(shù)情況下，我們都要疊加不相關(guān)的噪聲源（見方程式 1.8）。在這種情況下疊加噪聲，我們要通過勾股定理得到兩個(gè)矢量噪聲的和。圖 1.5 顯示了疊加噪聲源的情況。我們通?？勺鼋频毓烙?jì)，如果一個(gè)噪聲源強(qiáng)度為另一個(gè)的三分之一，較小的噪聲源可忽略不計(jì)。

圖 1.5: 噪聲勾股定理。

本文總結(jié)與后續(xù)文章介紹：

　　在關(guān)于噪聲的系列文章中，本文介紹了噪聲的概念，談?wù)摿嗽肼暦治鏊璧囊恍┙y(tǒng)計(jì)學(xué)基本原理。本系列文章中都將用到這些基礎(chǔ)知識(shí)。本系列文章的第二部分將介紹運(yùn)算放大器的噪聲模型，并給出計(jì)算總輸出噪聲的一些方法。致謝：

特別感謝以下人員提供的技術(shù)信息：

德州儀器 (TI) Burr-Brown產(chǎn)品部
Rod Burt，高級(jí)模擬 IC 設(shè)計(jì)經(jīng)理
Bruce Trump，線性產(chǎn)品經(jīng)理
Tim Green，應(yīng)用工程設(shè)計(jì)經(jīng)理
Neil Albaugh，高級(jí)應(yīng)用工程師

參考書目：

Robert V. Hogg與Elliot A Tanis共同編著的《概率與統(tǒng)計(jì)推斷》，第三版，麥克米蘭出版公司 (Macmillan Publishing Co)出版；

C. D. Motchenbacher與 J. A. Connelly共同編著的《低噪聲電子系統(tǒng)設(shè)計(jì)》，A Wiley-Interscience Publication出版。

關(guān)于作者：

　　Arthur Kay 現(xiàn)任 TI 的高級(jí)應(yīng)用工程師。他專門負(fù)責(zé)傳感器信號(hào)調(diào)節(jié)器件的支持工作。他于 1993 年畢業(yè)于佐治亞理工學(xué)院 (Georgia Institute of Technology) 并獲得電子工程碩士學(xué)位。他曾在 Burr-Brown 與 Northrop Grumman 公司擔(dān)任過半導(dǎo)體測(cè)試工程師。

附錄 1.1:
例 1: 本例中，RMS 值與標(biāo)準(zhǔn)偏差不等。通常說來，如果存在 DC 元件的話，標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 值不等（即非零平均值）。

附錄 1.2:
例2：本例中，RMS 等于標(biāo)準(zhǔn)偏差。通常說來，如果不存在 DC 元件的話，標(biāo)準(zhǔn)偏差與 RMS 相等（即零平均值）。

附錄 1.3:
例 3：計(jì)算平均偏差、標(biāo)準(zhǔn)偏差及 RMS 值所采用的 Basic 程序

附錄 1.4:
采用概率分布函數(shù)的統(tǒng)計(jì)方程

附錄1.5:
采用適用于測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)方程

作者：德州儀器公司高級(jí)應(yīng)用工程師，Art Kay