學習=擬合？深度學習和經(jīng)典統(tǒng)計學是一回事？哈佛理論計算機科學家細數(shù)二者差異

深度學習和簡單的統(tǒng)計學是一回事嗎？很多人可能都有這個疑問，畢竟二者連術語都有很多相似的地方。在這篇文章中，理論計算機科學家、哈佛大學知名教授 Boaz Barak 詳細比較了深度學習與經(jīng)典統(tǒng)計學的差異，認為“如果純粹從統(tǒng)計學角度認識深度學習，就會忽略其成功的關鍵因素”。

圖源：https://twitter.com/YiMaTweets/status/1553913464183091200
深度學習（或一般的機器學習）經(jīng)常被認為是簡單的統(tǒng)計學，即它與統(tǒng)計學家研究的基本是相同的概念，但是使用與統(tǒng)計學不同的術語來描述。Rob Tibshirani 曾總結了下面這個有趣的“詞匯表”：

表中的某些內(nèi)容是不是很能引起共鳴？事實上所有從事機器學習的人都清楚，Tibshiriani 發(fā)布的這張表中，右側的許多術語在機器學習中已被廣泛使用。 如果純粹從統(tǒng)計學角度認識深度學習，就會忽略其成功的關鍵因素。對深度學習更恰當?shù)脑u價是：它使用統(tǒng)計學術語來描述完全不同的概念。

對深度學習的恰當評價不是它用不同的詞來描述舊的統(tǒng)計術語，而是它用這些術語來描述完全不同的過程。 本文會解釋為什么深度學習的基礎其實不同于統(tǒng)計學，甚至不同于經(jīng)典的機器學習。本文首先討論模型擬合數(shù)據(jù)時的「解釋（explanation）」任務和「預測（prediction）」任務之間的差異。接著討論學習過程的兩個場景：1. 使用經(jīng)驗風險最小化擬合統(tǒng)計模型; 2. 向學生傳授數(shù)學技能。然后，文章又討論了哪一個場景更接近深度學習的本質。
雖然深度學習的數(shù)學和代碼與擬合統(tǒng)計模型幾乎相同。但在更深層次上，深度學習更像是向學生傳授數(shù)學技能這種場景。而且應該很少有人敢宣稱：我掌握了完整的深度學習理論！其實是否存在這樣的理論也是存疑的。相反深度學習的不同方面最好從不同的角度來理解，而僅僅從統(tǒng)計角度無法提供完整的藍圖。 本文對比了深度學習和統(tǒng)計學，這里的統(tǒng)計學特指的是“經(jīng)典統(tǒng)計學”，因為它被研究得最久，并且在教科書中經(jīng)久不衰。許多統(tǒng)計學家正在研究深度學習和非經(jīng)典理論方法，就像 20 世紀物理學家需要擴展經(jīng)典物理學的框架一樣。事實上，模糊計算機科學家和統(tǒng)計學家之間的界限對雙方都是有利的。
1、預測與模型擬合

一直以來，科學家們都是將模型計算結果與實際觀測結果進行比較，以驗證模型的準確性。埃及天文學家托勒密提出了關于行星運動的巧妙模型。托勒密的模型遵循地心說，但有一系列的本輪（見下圖），使其具有極好的預測準確性。相比之下，哥白尼最初的日心說模型比托勒密模型簡單，但在預測觀察結果方面不太準確。（哥白尼后來添加了自己的本輪，以便能夠與托勒密的模型媲美。）

托勒密和哥白尼的模型都是無與倫比的。如果我們想通過 “黑盒” 進行預測，那么托勒密的地心模型更勝一籌。但如果你想要一個簡單的模型，以便可以“觀察模型內(nèi)部”（這是解釋恒星運動理論的起點），那么哥白尼的模型是不二選擇。后來，開普勒將哥白尼的模型改進為橢圓軌道，并提出了開普勒行星運動三定律，這使得牛頓能夠用適用于地球的引力定律來解釋行星規(guī)律。
因此，重要的是，日心說模型不只是一個提供預測的“黑盒”，而是由幾個簡單的數(shù)學方程給出的，但是方程中的 “運動部分” 極少。多年來，天文學一直是發(fā)展統(tǒng)計技術的靈感來源。高斯和勒讓德分別獨立地在 1800 年左右發(fā)明了最小二乘回歸，以預測小行星和其他天體的軌道。1847 年，柯西發(fā)明了梯度下降法，這也是由天文預測推動的。
在物理學中，有時學者們可以掌握全部細節(jié)，從而找到 “正確” 的理論，把預測準確性做到最優(yōu)，并且對數(shù)據(jù)做出最好的解釋。這些都在奧卡姆剃刀之類的觀點范疇內(nèi)，可以認為是假設簡單性、預測能力和解釋性都相互和諧一致的。
然而，在許多其它領域，解釋和預測這兩個目標之間的關系卻沒有那么和諧。如果只想預測觀察結果，通過 “黑盒” 可能是最好的。另一方面，如果想獲得解釋性的信息，如因果模型、通用原則或重要特征，那么可以理解和解釋的模型可能越簡單越好。
模型的正確選擇與否取決于其用途。例如，考慮一個包含許多個體的遺傳表達和表型（例如某些疾?。┑臄?shù)據(jù)集，如果目標是預測一個人生病的幾率，那么無論它有多復雜或依賴于多少個基因，都要使用適配該任務的最佳預測模型。相反，如果目的是識別一些基因，以便進行進一步研究，那么一個復雜的非常精確的 “黑盒” 的用處是有限的。
統(tǒng)計學家 Leo Breiman 在 2001 年關于統(tǒng)計建模的兩種文化的著名文章中闡述了這一點。第一種是“數(shù)據(jù)建模文化”，側重于能解釋數(shù)據(jù)的簡單生成模型。第二種是“算法建模文化”，對數(shù)據(jù)的生成方式不可知，側重于尋找能夠預測數(shù)據(jù)的模型，無論其多么復雜。

文章鏈接：https://projecteuclid.org/journals/statistical-science/volume-16/issue-3/Statistical-Modeling--The-Two-Cultures-with-comments-and-a/10.1214/ss/1009213726.full
Breiman 認為，統(tǒng)計學過于受第一種文化的支配，這種關注造成兩種問題：

• 導致了不相關的理論和可疑的科學結論。
• 阻止了統(tǒng)計學家研究令人興奮的新問題。

Breiman 的論文一出，就引起了一些爭議。同為統(tǒng)計學家的 Brad Efron 回應說，雖然他同意一些觀點，但他也強調(diào)，Breiman 的論點似乎是反對節(jié)儉和科學見解，支持花大力氣制造復雜的“黑盒”。但在最近的一篇文章中，Efron 摒棄了之前的觀點，承認 Breima 更有先見之明，因為“21 世紀統(tǒng)計學的焦點都聚焦在預測算法上，在很大程度上沿著 Breiman 提出的路線演進”。
2、經(jīng)典和現(xiàn)代預測模型
機器學習，無論是不是深度學習，都沿著 Breiman 的第二種觀點演進，即以預測為重點。這種文化有著悠久的歷史。例如，Duda 和 Hart 在 1973 年出版的教科書和 Highleyman 1962 年的論文就寫到了下圖中的內(nèi)容，這對于今天的深度學習研究者來說是非常容易理解的：

Duda 和 Hart 的教科書《Pattern classification and scene analysis》和 Highleyman 1962 年的論文《The Design and Analysis of Pattern Recognition Experiments》中的片段。
類似地，下圖中的 Highleyman 的手寫字符數(shù)據(jù)集和用于擬合它的架構 Chow（1962）（準確率約為 58%）也會引起很多人的共鳴。

3、為什么深度學習與眾不同？ 
1992 年，Geman、Bienenstock 和 Doursat 寫了一篇關于神經(jīng)網(wǎng)絡的悲觀文章，認為 “當前的前饋神經(jīng)網(wǎng)絡在很大程度上不足以解決機器感知和機器學習中的難題”。具體來說，他們認為通用神經(jīng)網(wǎng)絡在處理困難任務方面不會成功，而它們成功的唯一途徑是通過人工設計的特征。用他們的話說：“重要屬性必須是內(nèi)置的或“硬連接的”…… 而不是以任何統(tǒng)計意義上的方式學習?！?現(xiàn)在看來 Geman 等人完全錯了，但更有意思的是了解他們?yōu)槭裁村e了。 深度學習確實不同于其它學習方法。雖然深度學習似乎只是預測，就像最近鄰或隨機森林一樣，但它可能有更多的復雜參數(shù)。這看起來似乎只是量的差異，而不是質的差異。但在物理學中，一旦尺度變化了幾個數(shù)量級，通常就需要完全不同的理論，深度學習也是如此。深度學習與經(jīng)典模型（參數(shù)化或非參數(shù)化）的基礎過程完全不同，雖然它們的數(shù)學方程（和 Python 代碼）在更高層次上來看是相同的。
為了說明這一點，下面考慮兩個不同的場景：擬合統(tǒng)計模型和向學生教授數(shù)學。
場景 A：擬合一個統(tǒng)計模型
通過數(shù)據(jù)去擬合一個統(tǒng)計模型的典型步驟如下：
1.這里有一些數(shù)據(jù)(是的矩陣；是維向量，即類別標簽。把數(shù)據(jù)認為是來自某個有結構且包含噪聲的模型，就是要去擬合的模型)
2.使用上面的數(shù)據(jù)擬合一個模型，并用優(yōu)化算法來最小化經(jīng)驗風險。就是說通過優(yōu)化算法找到這樣的，使得最小，代表損失（表明預測值有多接近真實值），是可選的正則化項。
3. 模型的總體損失越小越好，即泛化誤差的值相對最小。

Effron 從包含噪聲的觀測中恢復牛頓第一定律的展示圖
這個非常通用的范例其實包含許多內(nèi)容，如最小二乘線性回歸、最近鄰、神經(jīng)網(wǎng)絡訓練等等。在經(jīng)典統(tǒng)計場景中，我們通常會碰到下面的情況：
權衡：假設是經(jīng)過優(yōu)化的模型集合(如果函數(shù)是非凸的或包含正則化項，精心選擇算法和正則化，可得到模型集。的偏差是元素所能達到的最接近真值的近似值。集合越大，偏差越小，并且可能為 0(如果)。
然而，越大，需要縮小其成員范圍的樣本越多，因此算法輸出模型的方差越大。總體泛化誤差是偏差和方差的總和。因此，統(tǒng)計學習通常是 Bias-Variance 權衡，正確的模型復雜度是將總體誤差降至最低。事實上，Geman 等人證明了其對神經(jīng)網(wǎng)絡的悲觀態(tài)度，他們認為：Bias-Variance 困境造成的基本限制適用于所有非參數(shù)推理模型，包括神經(jīng)網(wǎng)絡。
“多多益善”并不總是成立：在統(tǒng)計學習中，更多的特征或數(shù)據(jù)并不一定會提高性能。例如，從包含許多不相關特征的數(shù)據(jù)中學習是很難的。類似地，從混合模型中學習，其中數(shù)據(jù)來自兩個分布中的一個（如和），比獨立學習每個分布更難。
收益遞減：在很多情況中，將預測噪聲降低到水平所需的數(shù)據(jù)點數(shù)量與參數(shù)和是有關的，即數(shù)據(jù)點數(shù)量約等于。在這種情況下，需要大約 k 個樣本才能啟動，但一旦這樣做，就面臨著回報遞減的情況，即如果需要個點才能達到 90% 的準確率，則需要大約額外的個點來將準確率提高到 95%。一般來說，隨著資源增加（無論是數(shù)據(jù)、模型復雜度還是計算），人們希望獲得越來越精細的區(qū)分，而不是解鎖特定的新功能。
對損失、數(shù)據(jù)的嚴重依賴性：當將模型擬合到高維數(shù)據(jù)時，任何小細節(jié)都可能會產(chǎn)生很大的差異。L1 或 L2 正則化器等選擇很重要，更不用說使用完全不同的數(shù)據(jù)集。不同數(shù)量的高維優(yōu)化器相互之間也非常不同。
數(shù)據(jù)是相對 “單純” 的：通常會假設數(shù)據(jù)是獨立于某些分布進行采樣的。雖然靠近決策邊界的點很難分類，但考慮到高維度上測量集中現(xiàn)象，可以認為大多數(shù)點的距離都是相近的。因此在經(jīng)典的數(shù)據(jù)分布中，數(shù)據(jù)點間的距離差異是不大的。然而，混合模型可以顯示這種差異，因此，與上述其他問題不同，這種差異在統(tǒng)計中很常見。
場景 B：學習數(shù)學
在這個場景中，我們假設你想通過一些說明和練習來教學生數(shù)學（如計算導數(shù)）。這個場景雖然沒有正式定義，但有一些定性特征：

學習一項技能，而不是去近似一個統(tǒng)計分布：在這種情況下，學生學習的是一種技能，而不是某個量的估計 / 預測。具體來說，即使將練習映射到解的函數(shù)不能被用作解決某些未知任務的“黑盒”，但學生在解決這些問題時形成的思維模式仍然對未知任務是有用的。 多多益善：一般來說，做題越多、題型涉獵越廣的學生表現(xiàn)越好。同時做一些微積分題和代數(shù)題，不會導致學生的微積分成績下降，相反可能幫助其微積分成績提升。
從提升能力到自動化表示：雖然在某些情況下，解決問題的回報也會遞減，但學生的學習會經(jīng)歷幾個階段。有一個階段，解決一些問題有助于理解概念并解鎖新的能力。此外，當學生重復某一特定類型的問題時，他們見到同類問題就會形成自動化的解題流程，從之前的能力提升轉變?yōu)樽詣踊忸}。
表現(xiàn)獨立于數(shù)據(jù)和損失：教授數(shù)學概念的方法不止一種。使用不同書、教育方法或評分系統(tǒng)學習的學生最終可以學習到相同的內(nèi)容以及相似的數(shù)學能力。 有些問題更困難：在數(shù)學練習中，我們經(jīng)常看到不同學生解決同一問題的方式之間存在著很強的相關性。對于一個問題來說，似乎確實存在一個固有的難度水平，以及一個對學習最有利的自然難度遞進。
4、深度學習更像是統(tǒng)計估計還是學生學習技能？
上面兩個場景的比喻中，哪一個用來描述現(xiàn)代深度學習更恰當？具體來說，它成功的原因是什么？統(tǒng)計模型擬合可以很好地使用數(shù)學和代碼來表達。實際上，規(guī)范的 Pytorch 訓練循環(huán)通過經(jīng)驗風險最小化訓練深度網(wǎng)絡：

在更深的層次上，這兩種場景之間的關系并不清楚。為了更具體，這里以一個特定的學習任務為例?？紤]使用 “自監(jiān)督學習 + 線性探測” 方法訓練的分類算法。具體算法訓練如下：
1. 假設數(shù)據(jù)是一個序列，其中是某個數(shù)據(jù)點（比如一張圖片），是標簽。
2. 首先得到表示函數(shù)的深度神經(jīng)網(wǎng)絡。通過最小化某種類型的自監(jiān)督損失函數(shù)，僅使用數(shù)據(jù)點而不使用標簽來訓練該函數(shù)。這種損失函數(shù)的例子是重建（用其它輸入恢復輸入）或對比學習（核心思想是正樣本和負樣本在特征空間對比，學習樣本的特征表示）。
3. 使用完整的標記數(shù)據(jù)擬合線性分類器（是類數(shù)），以最小化交叉熵損失。我們的最終分類器是:
步驟 3 僅適用于線性分類器，因此 “魔術” 發(fā)生在步驟 2 中（深度網(wǎng)絡的自監(jiān)督學習）。在自監(jiān)督學習中有些重要屬性：
學習一項技能而不是去近似一個函數(shù)：自監(jiān)督學習不是逼近函數(shù)，而是學習可用于各種下游任務的表示(這是自然語言處理的主導范式)。通過線性探測、微調(diào)或激勵獲得下游任務是次要的。
多多益善：在自監(jiān)督學習中，表示質量隨著數(shù)據(jù)量的增加而提高，不會因為混合了幾個來源的數(shù)據(jù)而變糟。事實上，數(shù)據(jù)越多樣化越好。

Google PaLM 模型的數(shù)據(jù)集。 解鎖新能力：隨著資源（數(shù)據(jù)、計算、模型大?。┩度氲脑黾?，深度學習模型也在不連續(xù)地改進。在一些組合環(huán)境中也證明了這一點。

隨著模型規(guī)模的增加，PaLM 在基準測試中顯示出不連續(xù)的改進，并且解鎖令人驚訝的功能，比如解釋笑話為什么好笑。
性能幾乎與損失或數(shù)據(jù)無關：存在多個自監(jiān)督損失，圖像研究中其實使用了多種對比和重建損失，語言模型使用單邊重建（預測下一個 token）或使用 mask 模型，預測來自左右 token 的 mask 輸入。也可以使用稍微不同的數(shù)據(jù)集。這些可能會影響效率，但只要做出 “合理” 的選擇，通常原始資源比使用的特定損失或數(shù)據(jù)集更能提升預測性能。
有些情況比其他情況更困難：這一點并不特定于自監(jiān)督學習。數(shù)據(jù)點似乎有一些固有的 “難度級別”。事實上，不同的學習算法具有不同的“技能水平”，不同的數(shù)據(jù) dian 具有不同的” 難度水平“（分類器正確分類點的概率隨的技能而單調(diào)提升，隨難度單調(diào)降低）。
“技能與難度（skill vs. difficulty）”范式是對 Recht 等人和 Miller 等人發(fā)現(xiàn)的 “accuracy on the line” 現(xiàn)象的最清晰解釋。Kaplen、Ghosh、Garg 和 Nakkiran 的論文還展示了數(shù)據(jù)集中的不同輸入如何具有固有的“難度剖面”，對于不同的模型族，該剖面通常是穩(wěn)健的。

CIFAR-10 上訓練并在 CINIC-10 上測試的分類器的 accuracy on the line 現(xiàn)象。圖源：https://millerjohnp-linearfits-app-app-ryiwcq.streamlitapp.com/

頂部的圖描述了最可能類別的不同 softmax 概率，作為某個類別分類器的全局精度的函數(shù)，該類別由訓練時間索引。底部的餅圖顯示了不同數(shù)據(jù)集分解為不同類型的點(注意，這種分解對于不同的神經(jīng)結構是相似的)。
訓練就是教學：現(xiàn)代大模型的訓練似乎更像是教學生，而不是讓模型擬合數(shù)據(jù)，當學生不懂或感到疲倦時，就 “休息” 或嘗試不同的方法（訓練差異）。Meta 的大模型訓練日志很有啟發(fā)性——除了硬件問題外，我們還可以看到干預措施，例如在訓練過程中切換不同的優(yōu)化算法，甚至考慮 “hot swapping” 激活函數(shù)（GELU to RELU）。如果將模型訓練視為擬合數(shù)據(jù)，而不是學習表示，則后者沒有多大意義。

Meta 訓練日志摘錄
4.1）但是監(jiān)督學習怎樣呢？
前面討論了自監(jiān)督學習，但深度學習的典型例子，仍然是監(jiān)督學習。畢竟，深度學習的 “ImageNet 時刻” 來自 ImageNet。那么上面所討論的是否仍然適用于這個設定？
首先，有監(jiān)督的大規(guī)模深度學習的出現(xiàn)在某種程度上是個偶然，這得益于大型高質量標記數(shù)據(jù)集（即 ImageNet）的可用性。如果你想象力豐富，可以想象另一種歷史，即深度學習首先開始通過無監(jiān)督學習在自然語言處理方面取得突破性進展，然后才轉移到視覺和監(jiān)督學習中。 其次，有證據(jù)表明，盡管使用完全不同的損失函數(shù)，但監(jiān)督學習和自監(jiān)督學習在”內(nèi)部“的行為其實是相似的。兩者通常都能達到相同的性能。具體地，對于每一個，人們可以將通過自監(jiān)督訓練的深度為 d 的模型的前 k 層與監(jiān)督模型的最后 d-k 層合在一起，而性能損失很小。

SimCLR v2 論文的表格。請注意監(jiān)督學習、微調(diào)（100%）自監(jiān)督和自監(jiān)督 + 線性探測之間在性能上的一般相似性（圖源：https://arxiv.org/abs/2006.10029）

拼接自監(jiān)督模型和 Bansal 等人的監(jiān)督模型（https://arxiv.org/abs/2106.07682）。左：如果自監(jiān)督模型的準確率（比如）比監(jiān)督模型低 3%，則當層的 p 部分來自自監(jiān)督模型時，完全兼容的表示將導致拼接懲罰為 p 3%。如果模型完全不兼容，那么我們預計隨著合并更多模型，準確率會急劇下降。右：合并不同自監(jiān)督模型的實際結果。
自監(jiān)督 + 簡單模型的優(yōu)勢在于，它們可以將特征學習或 “深度學習魔法”（由深度表示函數(shù)完成）與統(tǒng)計模型擬合（由線性或其他“簡單” 分類器在此表示之上完成）分離。
最后，雖然這更像是一種推測，但事實上 “元學習” 似乎往往等同于學習表征（參見：https://arxiv.org/abs/1909.09157，https://arxiv.org/abs/2206.03271），這可以被視為另一個證據(jù)，證明這在很大程度上是在進行的，而不管模型優(yōu)化的目標是什么。
4.2）過度參數(shù)化怎么辦？
本文跳過了被認為是統(tǒng)計學習模型和深度學習在實踐中存在差異的典型例子：缺乏 “Bias-Variance 權衡” 以及過度參數(shù)化模型的良好泛化能力。
為什么要跳過？有兩個原因：

• 首先，如果監(jiān)督學習確實等于自監(jiān)督 + 簡單學習，那么這可能解釋了它的泛化能力。
• 其次，過度參數(shù)化并不是深度學習成功的關鍵。深度網(wǎng)絡之所以特別，并不是因為它們與樣本數(shù)量相比大，而是因為它們在絕對值上大。事實上，通常在無監(jiān)督 / 自監(jiān)督學習中，模型不會過度參數(shù)化。即使對于非常大的語言模型，它們的數(shù)據(jù)集也更大。
  

Nakkiran-Neyshabur-Sadghi“deep bootstrap”論文表明，現(xiàn)代架構在 “過度參數(shù)化” 或“欠采樣”狀態(tài)下表現(xiàn)類似（模型在有限數(shù)據(jù)上訓練多個 epoch，直到過度擬合：上圖中的 “Real World”），在“欠參數(shù)化” 或者 “在線” 狀態(tài)下也是如此（模型訓練單個 epoch，每個樣本只看一次：上圖中的 “Ideal World”）。圖源：https://arxiv.org/abs/2010.08127
總結
統(tǒng)計學習當然在深度學習中發(fā)揮著作用。然而，盡管使用了相似的術語和代碼，但將深度學習視為簡單地擬合一個比經(jīng)典模型具有更多參數(shù)的模型，會忽略很多對其成功至關重要的東西。教學生數(shù)學的比喻也不是完美的。
與生物進化一樣，盡管深度學習包含許多復用的規(guī)則（如經(jīng)驗損失的梯度下降），但它會產(chǎn)生高度復雜的結果。似乎在不同的時間，網(wǎng)絡的不同組件會學習不同的東西，包括表示學習、預測擬合、隱式正則化和純噪聲等。研究人員仍在尋找合適的視角提出有關深度學習的問題，更不用說回答這些問題。
原文鏈接：https://windowsontheory.org/2022/06/20/the-uneasy-relationship-between-deep-learning-and-classical-statistics/