系統(tǒng)微分方程的解―系統(tǒng)的全響應(yīng)
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線性系統(tǒng)必須同時滿足齊次性與疊加性。所以,要證明線性系統(tǒng)的微分方程是否是線性的,就必須證明它是否同時滿足齊次性與疊加性。 線性系統(tǒng)微分方程的一般形式是 | |||
(2-5) | |||
設(shè)該方程對輸入f1(t)的解是y1(t),則有 | |||
(2-6) | |||
設(shè)該方程對輸入f2(t)的解是y2(t),則有 | |||
(2-7) | |||
給式(2-6)等號兩端同乘以任意常數(shù)A1,給式(2-7)等號兩端同乘以任意常數(shù)A2,則有 | |||
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將此兩式相加即有 | |||
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這就是說,若 f1(t) y1(t), f2(t) y2(t) 則 A1f1(t)+A2f2(t) A1y1(t)+A2y2(t),即式(2-5)所描述的系統(tǒng)是線性的。 | |||
二、 系統(tǒng)微分方程的解——系統(tǒng)的全響應(yīng)
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求系統(tǒng)微分方程的解,實際上就是求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。系統(tǒng)微分方程的解就是系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。線性系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t),可分解為零輸入響應(yīng)yx(t)與零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的疊加,即 。下面證明此結(jié)論。 | |||
在圖2-2中,若激勵f(t)=0,但系統(tǒng)的初始條件不等于零,此時系統(tǒng)的響應(yīng)即為零輸入響應(yīng)yx(t),如圖2-4(a)所示。根據(jù)式(2-5)可寫出此時系統(tǒng)的微分方程為: | |||
(2-8) | |||
在圖2-2中,若激勵 ,但系統(tǒng)的初始條件等于零(即為零狀態(tài)系統(tǒng)),此時系統(tǒng)的響應(yīng)即為零狀態(tài)響應(yīng)yf(t),如圖2-4(b)所示。根據(jù)式(2-5)可寫出此時系統(tǒng)的微分方程為 | |||
(2-9) | |||
將式(2-8)與式(2-9)相加得 | |||
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即 | |||
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式中 | |||
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可見 確是系統(tǒng)微分方程(2-5)的解。這個結(jié)論提供了求系統(tǒng)全響應(yīng)y(t)的途徑和方法,即先分別求出零輸入響應(yīng)yx(t)與零狀態(tài)響應(yīng)yf(t),然后再將yx(t)與yf(t)疊加,即得系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t),即 。這種方法稱為零輸入零狀態(tài)法。 |
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