有源濾波器中的相位關(guān)系考察

在使用濾波器的應(yīng)用中，通常人們對(duì)幅值響應(yīng)的興趣要比對(duì)相位響應(yīng)的興趣更濃厚。但是，在某些應(yīng)用中，濾波器的相位響應(yīng)也很重要。一個(gè)實(shí)例是 濾波器用于過程控制環(huán)路中的情形。這里，人們關(guān)心的是總的相移量，因?yàn)樗绊懙江h(huán)路的穩(wěn)定性。用來搭建濾波器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是否會(huì)造成在某些頻率點(diǎn)處符號(hào)出現(xiàn) 相反，是非常重要的。

　　將有源濾波器視為兩個(gè)級(jí)聯(lián)的濾波器是一個(gè)有用的方法。如圖1所示，其中一個(gè)濾波器是理想的濾波器，用于體現(xiàn)傳遞函 數(shù);另一個(gè)是構(gòu)成濾波器的放大器。在閉環(huán)的負(fù)反饋環(huán)路中所采用的放大器可以被視為一個(gè)具有一階響應(yīng)的、簡(jiǎn)單的低通濾波器。當(dāng)頻率超過某一點(diǎn)后，增益將隨著 頻率的增長(zhǎng)而出現(xiàn)滾降現(xiàn)象。此外，如果放大器使用反相放大結(jié)構(gòu)的話，則所有頻率點(diǎn)上還將出現(xiàn)附加的180°相移。

　　圖1. 以兩個(gè)級(jí)聯(lián)的傳遞函數(shù)的形式表示的濾波器

　　濾 波器設(shè)計(jì)過程可分為兩步。首先選定濾波器的響應(yīng)特性，接下來選出適當(dāng)?shù)碾娐方Y(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn)它。濾波器的響應(yīng)是指衰減曲線的形狀，這常常可以歸為經(jīng)典的響應(yīng)特性 中的一種，如Butterworth、Bessel或者某種Chebyshev型。雖然這些響應(yīng)特性的選擇往往會(huì)影響幅值響應(yīng)特性，但它們也會(huì)影響相位響 應(yīng)特性的形狀。在本文中，為了進(jìn)行比較，忽略幅值響應(yīng)，認(rèn)為其幾乎不變。

　　濾波器的復(fù)雜性往往通過濾波器的“階數(shù)”來定義，該參數(shù)與儲(chǔ)能元 件(電感和電容)的數(shù)量有關(guān)。濾波器傳遞函數(shù)分母的階數(shù)定義了隨著頻率的上升而呈現(xiàn)的衰減速率。漸近線型的濾波器滾降速率為-6ndB/倍頻程，或者 -20ndB/十倍頻程，其中n是極點(diǎn)的數(shù)量。倍頻程是指頻率的二倍或者一半，十倍頻程是頻率的十倍增長(zhǎng)或者縮減。因此，一個(gè)一階(或者單極點(diǎn))濾波器的 滾降速率為-6dB/倍頻程或者-20dB/十倍頻程。類似的，一個(gè)二階(或者2極點(diǎn))濾波器的滾降速率為-12dB/倍頻程或者-40dB/十倍頻程。 更高階次的濾波器往往是由級(jí)聯(lián)的一階和二階基本單元所構(gòu)成的。自然，我們可以利用單個(gè)有源放大電路級(jí)來構(gòu)建三階、甚至四階濾波器，但是對(duì)于元件值的敏感， 以及元件之間的相互作用對(duì)頻率響應(yīng)所造成影響的大幅度上升，會(huì)使這些選擇不那么具有吸引力。

　　傳遞函數(shù)

　　首先，我們考察一下傳遞函數(shù)的相位響應(yīng)。對(duì)于同樣階數(shù)的濾波器選項(xiàng)來說，它們的傳遞函數(shù)的相移特性都相同。

　　對(duì)于單極點(diǎn)、低通的情形，傳遞函數(shù)的相移為φ，由下式給出。

(1)

　　式中：ω = 頻率(弧度/秒)

　　ω0 = 中心頻率(弧度/秒)

　　以弧度/秒為單位的頻率等于2π乘以以Hz為單位的頻率，這是因?yàn)槊總€(gè)360°周期對(duì)應(yīng)著2π弧度。由于上面的表達(dá)式是一個(gè)無量綱的比值，故f和ω都可以采用。

　　中 心頻率還可以被稱為截止頻率(即該單極點(diǎn)、低通濾波器的幅值響應(yīng)特性下降3dB——約30%——的頻率點(diǎn))。在相位關(guān)系方面，中心頻率是相移量達(dá)到其最終 值-–90°(在這個(gè)例子中)的50%時(shí)的頻率點(diǎn)。圖2是一幅半對(duì)數(shù)圖，描述了公式1所表述的相位響應(yīng)關(guān)系，其頻率范圍是中心頻率以下的兩個(gè)十倍頻程至中 心頻率以上的兩個(gè)十倍頻程。中心頻率(=1)處的相位移動(dòng)為–45°。

　　圖2. 一個(gè)單極點(diǎn)、低通濾波器在中心頻率附近的相位響應(yīng)(同相，左軸;反相響應(yīng)，右軸) 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle(in-phase)——相角(同相)，Phase Angle(inverted)——相角(反相)