預(yù)測和負(fù)延遲濾波器：你應(yīng)該知道的五件事

所有系統(tǒng)，包括濾波器，都是因果關(guān)系。這意味著它們不能在激勵源激勵之前對激勵(不可預(yù)知)做出任何反應(yīng)。那么，又該如何設(shè)計一款可“預(yù)測”的濾波器呢?好吧，這一切都取決于你對品質(zhì)的期待有多高以及這一預(yù)測的相關(guān)性。

那么，我們再次祭起曾非常流行的“五件你應(yīng)該知道的事”這一招式之旗，我們提出五個核心問題，其答案可以幫助我們繞過這個“濾波器”陷阱。

濾波器如何延緩信號?

信息可以通過多種方式加載于信號，它總是需要一段限定的時間來通過處理系統(tǒng)。你可能很熟悉數(shù)字模塊的傳輸延遲概念。延遲，就是在輸入發(fā)生某些狀態(tài)變化到輸出發(fā)生相應(yīng)狀態(tài)變化這段時間差。有數(shù)字概念的讀者首先想到的可能是一個‘1’和‘0’的碼流，以作為不同電壓或電流水平的物理表述。對于這樣的信號，傳輸延遲沒有害處;但當(dāng)我們考慮到模擬信號(實際上，沒有確定的特性對應(yīng)特定的時間點)時，就不是那么簡單了。

我們經(jīng)常對信號和數(shù)據(jù)序列進(jìn)行低通濾波以消除“噪聲”--高頻率變異，我們已確定其沒有任何意義，且它還是我們要觀察的更重要的基本頻點的障礙。雖然濾波過程對我們的觀察影響巨大，但它絕對是一個影響觀察的案例。當(dāng)我們查看響應(yīng)圖形時，傳統(tǒng)濾波方式最明顯的后果是，在輸入信號的變化和濾波后輸出的相應(yīng)變化之間有明確的時間延遲。當(dāng)我們看一些例子時，我們將在某一時刻借助測試信號清楚地看到這點。

我們?nèi)绾瘟炕@種形式的延遲?

濾波器(或任何其它線性信號處理模塊)輸入信號和相應(yīng)輸出之間的這種“滯后”，

與組延遲緊密相關(guān)，組延遲相當(dāng)于(或略低于)相位響應(yīng)與派生頻率。為此應(yīng)選用明智的單位;如果你用弧度測量相位，以其每秒弧度的角形式表達(dá)頻率，那么，(弧度)除以(弧度每秒)，你就可得到以秒表示的答案?；蛘吣憧梢允褂?ldquo;周期”—— 一個周期，是一個完整旋環(huán)，或360度。相位差以周期表示，除以赫茲(與每秒的周期數(shù)相同)表示的常規(guī)頻率差，也會給出以秒表述的答案。

我們可能忍不住要問：如果要避免這種滯后，為什么不設(shè)計一款沒有任何組延遲的濾波器?如果你以前讀過我的專欄，你可能會認(rèn)識到這句話中的“危險成分”。因為，你猜對了——它并非這么容易。如果你查找或計算“標(biāo)準(zhǔn)”的低通濾波器響應(yīng)，你會發(fā)現(xiàn)，他們的組延時是總是正向的，一直降到零頻率。這里，我們需要來點別出心裁。

我們可以消除(或者不僅僅是消除)這種延遲嗎?

如果你想讓延遲在任一頻率都為零，那嚴(yán)格的答案是‘不能‘。但確實有種技術(shù)可用以開發(fā)補(bǔ)償濾波器，當(dāng)其與原來的濾波器級聯(lián)時，可以給你零延遲;當(dāng)DC時，甚至是負(fù)的組延遲。正如我們將看到的，這可能非常有用。你不需要進(jìn)行任何試錯——現(xiàn)在，可將麻煩扼殺在未發(fā)。

比方說，某種低通傳遞函數(shù)H，它們在DC時有整體增益。可以容易地論證：新傳遞函數(shù)H’ = 2-H，在DC時也是整體增益，且在DC時的組延遲具有與H相同的

幅值，但卻是負(fù)值。如果你級聯(lián)H和H‘(即串聯(lián)它們)，你會得到一個整體傳遞函數(shù)，我們稱其為H1，它具有DC整體增益和DC零組延時。對于S或Z域的任何線性傳遞函數(shù)來說，H1就等于HH’，即H1 = H(2-H)。無論哪類濾波器，只要H是可實現(xiàn)的，這也就可以實現(xiàn)。

這看起來似乎很怪誕。因為函數(shù)H‘與H的階相同(無論使用模擬或數(shù)字濾波器)，你可以看到，將其組合起來會使濾波器的尺寸加倍，因此實現(xiàn)其所需的資源也要加倍。也許不太容易想象的是，它可能會大大降低濾波器的衰減性能。如果H是一個具有DC整體增益的低通函數(shù)，而在所有其它頻率也具有整體增益(或小于整體增益)，那么函數(shù)2-H就有一個會在1和3之間振蕩的值，也就是說，它可以在響應(yīng)中引入一個高達(dá)9.5dB的“凸點”。如果該凸點落于整體濾波器的阻帶內(nèi)，那么所發(fā)生的一切就只是衰減功能的惡化。如果凸點落在通帶內(nèi)，那么該級聯(lián)的整個通帶內(nèi)的響應(yīng)會與單個H時的大相徑庭。

這里有個簡單例子。對以100kps采樣率數(shù)字方式實現(xiàn)的H，在10kHz時，以n=2的巴特沃斯濾波器開始。為了設(shè)計濾波器并獲得圖表，我使用了新版(2012年2月發(fā)布)的PSoC Creator濾波器工具，它為H給出了以下系數(shù)，幅度和組延時曲線在圖1表示。

雙二階濾波器的最終系數(shù)：

系數(shù)序列為A0，A1，A2，B1和B2

0.0674552917480469

0.134910583496094

0.0674552917480469

-1.14298057556152

0.412801742553711

圖1：0.01 Fs時，N=2的巴特沃斯濾波器的幅度和組延時。

補(bǔ)償濾波器H’與H同分母，而分子等于兩個負(fù)數(shù)(H的分子)。我用快速電子表格進(jìn)行了計算，并將結(jié)果反饋給PSoC Creator濾波器工具。工具為這兩個雙二階部分給出了最好的排序和增益;它獲得了4dB增益，以確保凸點響應(yīng)不高于0dB，見圖2：

雙二階濾波器的最終系數(shù)：

系數(shù)序列為：A0，A1，A2，B1和B2

0.216065168380737

-0.2706618309021

0.0847635269165039

-1.14298057556152

0.412801742553711

0.372884273529053

0.745768547058105

0.372884273529053

-1.14298057556152

0.412801742553711

圖2：帶補(bǔ)償濾波器的N=2巴特沃斯級聯(lián);零DC組延遲

在通帶內(nèi)，頻率響應(yīng)明顯是非平坦(內(nèi)有凹凸)的，而且已經(jīng)放棄了一些相對阻帶抑制。如果你熟悉控制系統(tǒng)理論，你馬上會看到，我們得到的是增加的傳遞函數(shù)零，其組延時的貢獻(xiàn)準(zhǔn)確取消了原始的濾波器極點(以及新極點也會出現(xiàn))。但它并非太過糟糕的一個響應(yīng)——它仍能去掉數(shù)據(jù)序列的高頻率噪聲——如圖3所示，某些神秘數(shù)據(jù)(哇!)：