基于壓電主動(dòng)桿的空間桁架自抗擾控制器設(shè)計(jì)

摘要：針對(duì)一種復(fù)雜的、較難建立精確模型的空間桁架，研究了其建模、主動(dòng)桿位置優(yōu)化及振動(dòng)控制的問(wèn)題。文中首先建立了空間桁架的機(jī)理模型。然后設(shè)計(jì)了壓電主動(dòng)桿，選取一種不依賴(lài)于控制律的基于能量的優(yōu)化準(zhǔn)則，并基于所建立的模型對(duì)其在空間桁架中的安裝位置進(jìn)行了優(yōu)化。最后對(duì)于空間桁架這種并聯(lián)結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了一種不依賴(lài)于被控對(duì)象精確模型的自抗擾控制器。仿真算例表明本文所設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 引言

隨著對(duì)太空探索的不斷深入以及我國(guó)空間光學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，人們對(duì)于太空中航天器的工作精度和穩(wěn)定運(yùn)行等方面的研究也越來(lái)越深入，特別是航天器中的撓性桁架結(jié)構(gòu)。當(dāng)有外界擾動(dòng)作用在桁架上時(shí)，由于桁架結(jié)構(gòu)自身所具有的結(jié)構(gòu)特性和太空中低阻尼環(huán)境等因素的原因，桁架結(jié)構(gòu)易產(chǎn)生非期望的振動(dòng)，從而影響航天器的正常工作。因此對(duì)于航天器內(nèi)桁架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制方面進(jìn)行研究具有重大現(xiàn)實(shí)意義。

目前，在桁架結(jié)構(gòu)的控制問(wèn)題中，大多是將主動(dòng)構(gòu)件內(nèi)嵌于桁架結(jié)構(gòu)中，從而構(gòu)成智能結(jié)構(gòu)，并以主動(dòng)構(gòu)件為核心原件，對(duì)智能結(jié)構(gòu)進(jìn)行控制。在主動(dòng)構(gòu)件的選擇中，由于壓電材料所具有的質(zhì)量輕、響應(yīng)快、低功耗等特點(diǎn)，因此被廣泛應(yīng)用于空間桁架的振動(dòng)控制之中。本文以壓電材料為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了壓電主動(dòng)桿。針對(duì)壓電主動(dòng)構(gòu)件的位置優(yōu)化問(wèn)題，目前已有基于能控/能觀性的優(yōu)化準(zhǔn)則、基于系統(tǒng)能量的優(yōu)化準(zhǔn)則等、考慮到太空中能量較為珍貴，本文選擇了一種以最小驅(qū)動(dòng)電壓產(chǎn)生最大驅(qū)動(dòng)力的優(yōu)化準(zhǔn)則。

目前對(duì)于桁架結(jié)構(gòu)的主動(dòng)振動(dòng)控制已有多種方法，如正位置反饋控制、模態(tài)控制法、最優(yōu)控制、模糊控制等方法。但由于桁架結(jié)構(gòu)具有較大的復(fù)雜性，獲得其精確的數(shù)學(xué)模型是較為困難的。因此本文選擇了一種不依賴(lài)于被控對(duì)象精確模型的自抗擾控制器，通過(guò)對(duì)本文中所建立的桁架模型進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了自抗擾控制器的有效性。

2 空間桁架結(jié)構(gòu)建模

所需控制的空間桁架節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖1所示：

所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)主要由梁?jiǎn)卧M成，共有63根柔性梁，26個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中底面的2、3、7、8節(jié)點(diǎn)為固定在地面的約束節(jié)點(diǎn)，激振力施加于底面的10號(hào)節(jié)點(diǎn)豎直方向。基于有限元的方法，可以獲得該結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為：

通過(guò)求解式(3)所得出的，代回模態(tài)變換從而得出各節(jié)點(diǎn)位移。

3 壓電主動(dòng)桿設(shè)計(jì)及位置優(yōu)化

由于壓電材料具有正、逆壓電效應(yīng)，是以其既可作為作動(dòng)器，也可作為傳感器，并且具有質(zhì)量輕、響應(yīng)快、低功耗和易裝配等特點(diǎn)，因此其廣泛的應(yīng)用于桁架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制中。

3.1 壓電主動(dòng)桿的設(shè)計(jì)

由于壓電片的壓電應(yīng)變系數(shù)d33一般很小，因此單個(gè)壓電片所能輸出的位移非常小。而對(duì)于在實(shí)際工程應(yīng)用中的主動(dòng)控制構(gòu)件來(lái)說(shuō)，即需要具有能夠滿(mǎn)足需求的輸出位移量，同時(shí)也要求其能承擔(dān)住一定的壓力。而如果只通過(guò)一片壓電片，在輸入電壓受到限制的情況下，一般無(wú)法達(dá)到實(shí)際的需求。因此通過(guò)設(shè)計(jì)多個(gè)壓電片以力學(xué)上串聯(lián)、電學(xué)上并聯(lián)的方法堆疊在一起構(gòu)成壓電堆，則可以克服較低電壓驅(qū)動(dòng)下單個(gè)壓電片位移過(guò)小的缺點(diǎn)，通過(guò)多個(gè)壓電片變形量的線性疊加，則可以使用較低的電壓，獲得較大的輸出位移，從而增加了輸出的位移量，滿(mǎn)足了實(shí)際的需求。

壓電堆的輸出位移為：

其中，δi為單個(gè)壓電片的輸出位移，n為壓電片的個(gè)數(shù)，l為厚度，是恒定電場(chǎng)下的彈性柔順系數(shù)，d33為壓電應(yīng)變系數(shù)，Ks稱(chēng)為壓電堆的等效剛度，ds稱(chēng)為壓電堆等效壓電應(yīng)變常數(shù)，F(xiàn)為軸向所受的力，V為軸向所施加的電壓，A為截面積。

采用180片壓電片疊加構(gòu)成壓電堆，然后基于壓電堆，設(shè)計(jì)了壓電主動(dòng)桿，其結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

壓電主動(dòng)桿的輸出位移和輸出力是進(jìn)行壓電主動(dòng)桿設(shè)計(jì)時(shí)所需考慮的重點(diǎn)內(nèi)容。本文所設(shè)計(jì)的壓電主動(dòng)桿主要由壓電堆、直線軸承、鋼珠和外部包裝的鋼殼等幾部件構(gòu)成。

壓電堆內(nèi)部放置了碟片彈簧進(jìn)行預(yù)壓，使壓電堆始終工作在受壓狀態(tài)并保證其內(nèi)部壓電片之間緊密相連。但是為了保證壓主動(dòng)桿內(nèi)部各部件之間不存在間隙，還需要在主動(dòng)桿內(nèi)部設(shè)計(jì)一個(gè)彈簧，以保證主動(dòng)桿內(nèi)部各零件之間緊密接觸。同時(shí)，在壓電堆的一側(cè)使用鋼珠作為傳力裝置以保證壓電堆只會(huì)受到外部軸向載荷的作用，從而避免其可能出現(xiàn)承受彎曲載荷的情況。同時(shí)，為了減小輸出桿在運(yùn)動(dòng)時(shí)所產(chǎn)生的摩擦，使用直線軸承內(nèi)套輸出桿，以保證輸出桿靠近鋼珠端不會(huì)與主動(dòng)桿外殼接觸，并且在直線軸承內(nèi)要保證足夠的光滑，以最大限度的減小軸向摩擦力。

3.2 主動(dòng)桿的優(yōu)化準(zhǔn)則

由于在太空中，能源是比較珍貴的資源。所以對(duì)于剛架的控制希望是主動(dòng)桿的振動(dòng)控制能盡可能的節(jié)省電能。因此，總是希望主動(dòng)桿的安裝位置能夠保證其在使用盡可能小的驅(qū)動(dòng)電壓的情況下輸出最大的控制力。

在式(2)中，令：

A=φTBKv (5)

由上式可以看出，矩陣4是由模態(tài)矩陣φT、主動(dòng)桿的安裝位置矩陣B和主動(dòng)桿的性能矩陣Kv所組成。因此，矩陣A不僅與系統(tǒng)自身的模態(tài)相關(guān)，而且很大程度上會(huì)受到主動(dòng)桿的安裝位置和其致動(dòng)特性的影響，所以稱(chēng)A為主動(dòng)桿位置配置矩陣。令：

由上式可以看出，若λ的值越大，則表明模態(tài)控制力和控制電壓的比值也就越大，即表示使用的控制電壓較小時(shí)，可以產(chǎn)生的模態(tài)控制力較大，此時(shí)系統(tǒng)的作動(dòng)效率較高。所以當(dāng)保證ATA的所有特征值都很大并且分布較為集中時(shí)，可以獲得較大的作動(dòng)效率。如此則可以得出作動(dòng)器的優(yōu)化準(zhǔn)則為：

在上述的優(yōu)化準(zhǔn)則中，前半部分是ATA所有特征值的算術(shù)平均值，后半部分是所有特征值的幾何平均值，求這兩項(xiàng)乘積的最大值就能得出一個(gè)特征值較大且分布集中的A。

3.3 遺傳算法優(yōu)化結(jié)果

使用遺傳算法對(duì)前面所得優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行主動(dòng)桿的位置優(yōu)化，選取腓為遺傳算法的適應(yīng)度函數(shù)。選擇使用三個(gè)主動(dòng)桿。優(yōu)化流程圖如圖3所示。

根據(jù)流程所示的過(guò)程，得出了在剛架中配置3個(gè)主動(dòng)桿時(shí)的最優(yōu)安裝位置如表1所示。圖4為遺傳算法優(yōu)化過(guò)程中最優(yōu)適應(yīng)值的迭代過(guò)程圖。

4 自抗擾控制器

由于空間桁架結(jié)構(gòu)模型較為復(fù)雜，很難獲得其精確的數(shù)學(xué)模型。而自抗擾控制器不依賴(lài)于被控對(duì)象的精確模型，并且對(duì)于擾動(dòng)能夠進(jìn)行很好的抑制，具有較強(qiáng)的魯棒性，因此非常適用于對(duì)空間桁架結(jié)構(gòu)的控制之中。

圖5為自抗擾控制器的結(jié)構(gòu)框圖，其主要由擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(ESO)和非線性誤差反饋控制率(NLSEF)組成。

4.1 擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的核心思想是將系統(tǒng)的外部擾動(dòng)和內(nèi)部建模不確定性等未知擾動(dòng)一起視作“總擾動(dòng)”，將此“總擾動(dòng)”擴(kuò)張成為一個(gè)新的狀態(tài)變量，從而構(gòu)建一個(gè)能夠觀測(cè)此擾動(dòng)變量的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器。

對(duì)于二階的非線性系統(tǒng)

式中f(x1，x2，ω)為系統(tǒng)外繞和內(nèi)部未知因素的總合。將原二階系統(tǒng)中的f(x1，x2，ω)擴(kuò)張成一個(gè)新的狀態(tài)變量x3，并記 ，即可得到系統(tǒng)新的狀態(tài)方程：

式中，β01、β02和β03等均為觀測(cè)器的參數(shù)，通過(guò)調(diào)節(jié)這三個(gè)參數(shù)，可以使得z1(t)→x1(t)、z2(t)→x2(t)和z3(t)→x3(t)。fal函數(shù)是為了避免在數(shù)值仿真時(shí)出現(xiàn)的高頻顫振而設(shè)計(jì)的冪次函數(shù)，此函數(shù)在原點(diǎn)周?chē)哂芯€性的特性，定義如下：

其中δ為線性區(qū)間的長(zhǎng)度。

4.2 非線性誤差反饋律

為了消除振動(dòng)，系統(tǒng)輸入的參考位移和速度均為0。根據(jù)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器輸出的狀態(tài)變量的估計(jì)值可以得到系統(tǒng)的位移誤差e1和速度誤差e2。從而設(shè)計(jì)的非線性誤差為：

u0=β1fal(e1，a1，δ)+β2fal(e2，a2，δ) (14)

4. 3 擾動(dòng)補(bǔ)償

將ESO估計(jì)的總擾動(dòng)z3(t)在控制律中予以補(bǔ)償可得：

將式(15)的控制量輸入到式(10)的二階非線性系統(tǒng)后，可以得到補(bǔ)償后的系統(tǒng)為：

在補(bǔ)償后的控制系統(tǒng)中，已經(jīng)沒(méi)有未知的擾動(dòng)項(xiàng)，并且將控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為了簡(jiǎn)單的積分器串聯(lián)型的形式。

4.4 并聯(lián)系統(tǒng)自抗擾控制

將前面所建立的解耦后的剛架動(dòng)力學(xué)方程分解為下式，這種結(jié)構(gòu)稱(chēng)為并聯(lián)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。

對(duì)于不能夠精確確定的剛架結(jié)構(gòu)各階固有頻率、阻尼比或其他一些不確定因素，可將這些不確定的部分認(rèn)為是內(nèi)部未知因素，從而可以將以上系統(tǒng)變換為：

式中的ω0和ξ0均為自己設(shè)計(jì)的已知參數(shù)。

對(duì)式(18)進(jìn)行變換，可得以y作為狀態(tài)變量的新系統(tǒng)模型為：

上式中前四項(xiàng)的參數(shù)均為已知的，是系統(tǒng)的已知部分、外界已知的激振力和系統(tǒng)的控制律，最后一項(xiàng)是系統(tǒng)未知的部分。

5 自抗擾控制的仿真曲線

使用壓電主動(dòng)桿對(duì)空間桁架進(jìn)行振動(dòng)控制，共使用了三個(gè)壓電主動(dòng)桿，1號(hào)主動(dòng)桿安裝位置為底面的節(jié)點(diǎn)3—10，2號(hào)主動(dòng)桿為側(cè)面的節(jié)點(diǎn)15—16以及3號(hào)主動(dòng)桿為頂部節(jié)點(diǎn)21—24。安裝好壓電主動(dòng)桿以后的空間桁架結(jié)構(gòu)前10階固有頻率如表2所示。

選取底面10號(hào)節(jié)點(diǎn)的方向?yàn)榧ふ顸c(diǎn)，選取的正弦激振力幅值為10，激振頻率與桁架結(jié)構(gòu)的一階固有頻率相同，為54.9rad/s，這樣可以激起桁架結(jié)構(gòu)模型的一階振動(dòng)模態(tài)，從而激起較大的振動(dòng)位移。并聯(lián)系統(tǒng)中的參數(shù)ω0=60，ξ0=0。

控制節(jié)點(diǎn)為三個(gè)主動(dòng)桿安裝位置所在的節(jié)點(diǎn)，分別為10號(hào)節(jié)點(diǎn)的x方向，16號(hào)節(jié)點(diǎn)的z方向和21號(hào)節(jié)點(diǎn)的y方向，另外選取19號(hào)節(jié)點(diǎn)的y方向作為觀測(cè)節(jié)點(diǎn)。

從圖6中可以看出，施加控制以后，在添加了主動(dòng)桿的三個(gè)連接節(jié)點(diǎn)可以獲得很好的減振效果，系統(tǒng)在受到外力時(shí)激起的振動(dòng)得到了有效的抑制，并且有效的抑制了19號(hào)節(jié)點(diǎn)在產(chǎn)生振動(dòng)時(shí)的位移響應(yīng)。四個(gè)節(jié)點(diǎn)的振動(dòng)位移均減少了近兩個(gè)數(shù)量級(jí)。

圖7和圖8分別為擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器輸出的跟蹤位移和速度益線，從圖中可以看出，擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器觀測(cè)獲得的三個(gè)控制節(jié)點(diǎn)的位移和速度曲線基本與原系統(tǒng)的速度和位移曲線一致，說(shuō)明了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器很好的跟蹤了原系統(tǒng)的狀態(tài)。

圖9為擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器觀測(cè)得到的三個(gè)控制器的擾動(dòng)跟蹤曲線。由于在實(shí)際控制中，擾動(dòng)是不可被精確得知的，但由于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)輸出的位移和速度的跟蹤效果很好，所以可以認(rèn)為所設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器也能夠準(zhǔn)確的跟蹤上總擾動(dòng)。

所施加的正弦擾動(dòng)幅值為30，頻率分別為50rad/s、200rad/s、600rad/s，在不同擾動(dòng)頻率下觀測(cè)獲得的四個(gè)節(jié)點(diǎn)控制曲線如圖10和圖11所示。

從圖10和圖11中可以看出，在控制輸入端增加了三種不同頻率的擾動(dòng)以后，控制器的控制效果依然很好。其中當(dāng)輸入頻率為200rad/s和 600rad/s時(shí)，控制器的輸出基本和不添加擾動(dòng)時(shí)的一樣，僅在當(dāng)擾動(dòng)頻率為50rad/s時(shí)，控制效果會(huì)相對(duì)于沒(méi)有擾動(dòng)時(shí)的控制效果略有變差，但仍然具有很好的振動(dòng)抑制作用。施加擾動(dòng)頻率為50rad/s時(shí)控制效果略有變差的原因是因?yàn)榇藭r(shí)擾動(dòng)信號(hào)的頻率與激振力的頻率相近，所以會(huì)對(duì)系統(tǒng)有一定的影響。因此，可以看出自抗擾控制器具有較好的魯棒性。

圖12中對(duì)比了未加擾動(dòng)時(shí)和施加了頻率為50rad/s擾動(dòng)時(shí)三個(gè)主動(dòng)桿的控制電壓的差別。由于主動(dòng)桿最大所能承受的電壓為1 50V，如果主動(dòng)桿輸入的電壓超過(guò)150V，則有可能對(duì)其造成很大的損害，所以對(duì)于主動(dòng)桿的輸入電壓需要進(jìn)行限幅。從上圖中可以看出，控制21號(hào)節(jié)點(diǎn)的主動(dòng)桿在0.5s到0.8s和1.75s到2s左右時(shí)，已經(jīng)達(dá)到了最大的輸入電壓，所以位移響應(yīng)的控制效果也會(huì)有所下降。而這也與圖9和圖1 0中所示的位移響應(yīng)在0.5s到0.8s和1.75s到2s左右時(shí)的位移控制效果相對(duì)最差所相對(duì)應(yīng)。在這2個(gè)時(shí)間段內(nèi)，擾動(dòng)會(huì)對(duì)系統(tǒng)造成較大的影響，但在這段時(shí)間過(guò)后，系統(tǒng)依然可以獲得較好的振動(dòng)控制效果。

6 結(jié)論

本文對(duì)于所建立的空間桁架模型，選取了壓電主動(dòng)桿作為其控制元件，建立了桁架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程。然后設(shè)計(jì)了壓電主動(dòng)桿，并使用基于能量的優(yōu)化準(zhǔn)則和遺傳算法進(jìn)行了主動(dòng)桿的位置優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用了由擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器和非線性誤差反饋控制律組成的自抗擾控制器對(duì)建立的模型進(jìn)行了仿真分析。通過(guò)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的準(zhǔn)確觀測(cè)，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)中未知擾動(dòng)的補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明，本文所設(shè)計(jì)的自抗擾控制器能夠有效、準(zhǔn)確的對(duì)空間桁架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)進(jìn)行控制。最后在控制系統(tǒng)中加入正弦擾動(dòng)，驗(yàn)證了自抗擾控制器有較好的魯棒性。