快速傅里葉變換(FFT)結(jié)果的物理意義是什么？

雖然很多人都知道FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道FFT之后的結(jié)果是什么意思、如何決定要使用多少點來做FFT。

現(xiàn)在就根據(jù)實際經(jīng)驗來說說FFT結(jié)果的具體物理意義。一個模擬信號，經(jīng)過ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號。采樣定理告訴我們，采樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。

采樣得到的數(shù)字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個點的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT運算，通常N取2的整數(shù)次方。

假設(shè)采樣頻率為Fs，信號頻率F，采樣點數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個為N點的復(fù)數(shù)。每一個點就對應(yīng)著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關(guān)系呢?假設(shè)原始信號的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個點(除了第一個點直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量(即0Hz)，而最后一個點N的再下一個點(實際上這個點是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個點，也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后)則表示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點平均分成N等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率Fs為1024Hz，采樣點數(shù)為1024點，則可以分辨到1Hz。1024Hz的采樣率采樣1024點，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時間的信號并做FFT，則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數(shù)，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數(shù)關(guān)系。

假設(shè)FFT之后某點n用復(fù)數(shù)a+bi表示，那么這個復(fù)數(shù)的模就是An=根號a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以計算出n點(n≠1，且n<=N/2)對應(yīng)的信號的表達(dá)式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對于n=1點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。

由于FFT結(jié)果的對稱性，通常我們只使用前半部分的結(jié)果，即小于采樣頻率一半的結(jié)果。

好了，說了半天，看著公式也暈，下面以一個實際的信號來做說明。

假設(shè)我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos參數(shù)為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個信號進(jìn)行采樣，總共采樣256點。按照我們上面的分析，F(xiàn)n=(n-1)*Fs/N，我們可以知道，每兩個點之間的間距就是1Hz，第n個點的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz，應(yīng)該分別在第1個點、第51個點、第76個點上出現(xiàn)峰值，其它各點應(yīng)該接近0。實際情況如何呢?我們來看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。

FFT的結(jié)果

從圖中我們可以看到，在第1點、第51點、和第76點附近有比較大的值。我們分別將這三個點附近的數(shù)據(jù)拿上來細(xì)看：

1點： 512+0i

2點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i

3點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50點：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i

51點：332.55 - 192i

52點：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75點：-2.2199E-13 -1.0076E-12i

76點：3.4315E-12 + 192i

77點：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

很明顯，1點、51點、76點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認(rèn)為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結(jié)果如下：

1點： 512

51點：384

76點：192

按照公式，可以計算出直流分量為：512/N=512/256=2;50Hz信號的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5?？梢?，從頻譜分析出來的幅度是正確的。