電阻組合：用1kΩ電阻可以組合出多少值來？

凡是模擬設計師恐怕都有通過標準阻值電阻的串聯(lián)/并聯(lián)得到非標準阻值的經驗吧？為了盡量避免生產中的調試工作，我們可以使用0.1%精度的電阻得到精密分壓器。為了獲得非標準阻值，將兩個或更多個電阻串聯(lián)起來是很好的一個方法——總的電阻值就是它們的和，因此計算非常容易。有效值是較大的電阻，串聯(lián)中的小值電阻用于精細調整。

即使是日常生活瑣事，比如修理繞線散熱電阻出現(xiàn)開路的老式真空管電子琴，從廢料箱中找出一串5W電阻然后將它們焊接在一起也能挽救大局。當然，隨著熱量的散發(fā)，這些電阻還能比原始器件冷卻得更快。

并聯(lián)電阻的計算稍微難一點，計算公式是RTOTAL = （R1×R2） / （R1 + R2）。并聯(lián)非常適合像穩(wěn)壓器等需要人工微調的電路，這時經常需要拿一個大值電阻與小值電阻并聯(lián)焊接在一起。這對于大規(guī)模生產來說并不是一個好方法，但對于一種一個的裝置來說是極好的，而可調電位器的取消意味著今后的校準工作會更加方便。

Martin Rowe給我出了一個不大不小的問題：“只用1kΩ電阻可以組合得到多少值？”

好吧，這聽起來很有趣，也是我以前從未認真考慮過的事。我立馬來勁了，想要知道多達10個1kΩ電阻在各種串聯(lián)/并聯(lián)組合下的值。但做到5個電阻時，可能的排列組合就變得讓人難以應付了。

那么n個1kΩ電阻究竟能得出多少個排列組合呢？

首先最明顯的排列是全部串聯(lián)和全部并聯(lián)。當n=2時，可能的排列是兩個值（圖1）。

兩個電阻，兩種組合。這個很簡單。

當n=3時，有4種可能的排列?？焖儆嬎慵记?mdash;—當所有電阻都是相同值時，它們的等效電阻是它們的值除以并聯(lián)電阻的數(shù)量。將電路分解為小的串聯(lián)/并聯(lián)電阻對，然后一步步算出最終的等效電阻值。成對的使用能使并聯(lián)計算容易得多（圖2）。

3個電阻，4種組合。

當n=4時，排列數(shù)字很快增加到9種（圖3）。我想我已經覆蓋了所有變化，但如果有人發(fā)現(xiàn)還有遺漏的，請通過評論讓我知道。

4個電阻產生9種組合。

最右邊的組合結果是1000Ω，與單個電阻相同。這種組合的優(yōu)勢是通過使用4個電阻，散熱能力增加了4倍，耐壓能力則翻倍。當你想要全部使用貼片電阻時，這是一個很有用的技巧。

當電阻數(shù)量增加到n=5時，排列數(shù)量增加到23，假設我沒有忽略任何可能性的話。同樣，如果你發(fā)現(xiàn)還有新的排列，請在評論中告訴我。

5個電阻我想出了23種組合。還有其它組合嗎？

這時我認識到，我是沒有希望達到我設定的10個電阻這個目標了，即使達到也沒有足夠的紙讓我把各種組合全部畫出來。也許一些數(shù)學奇才有辦法計算出n個電阻時可能的排列組合數(shù)量，那就請他不吝賜教了。

你能給出任意數(shù)量的串聯(lián)/并聯(lián)電阻時的排列數(shù)量公式嗎？