電阻組合：用1kΩ電阻可以組合出多少值來？

凡是模擬設(shè)計(jì)師恐怕都有通過標(biāo)準(zhǔn)阻值電阻的串聯(lián)/并聯(lián)得到非標(biāo)準(zhǔn)阻值的經(jīng)驗(yàn)吧？為了盡量避免生產(chǎn)中的調(diào)試工作，我們可以使用0.1%精度的電阻得到精密分壓器。為了獲得非標(biāo)準(zhǔn)阻值，將兩個(gè)或更多個(gè)電阻串聯(lián)起來是很好的一個(gè)方法——總的電阻值就是它們的和，因此計(jì)算非常容易。有效值是較大的電阻，串聯(lián)中的小值電阻用于精細(xì)調(diào)整。

即使是日常生活瑣事，比如修理繞線散熱電阻出現(xiàn)開路的老式真空管電子琴，從廢料箱中找出一串5W電阻然后將它們焊接在一起也能挽救大局。當(dāng)然，隨著熱量的散發(fā)，這些電阻還能比原始器件冷卻得更快。

并聯(lián)電阻的計(jì)算稍微難一點(diǎn)，計(jì)算公式是RTOTAL = （R1×R2） / （R1 + R2）。并聯(lián)非常適合像穩(wěn)壓器等需要人工微調(diào)的電路，這時(shí)經(jīng)常需要拿一個(gè)大值電阻與小值電阻并聯(lián)焊接在一起。這對(duì)于大規(guī)模生產(chǎn)來說并不是一個(gè)好方法，但對(duì)于一種一個(gè)的裝置來說是極好的，而可調(diào)電位器的取消意味著今后的校準(zhǔn)工作會(huì)更加方便。

Martin Rowe給我出了一個(gè)不大不小的問題：“只用1kΩ電阻可以組合得到多少值？”

好吧，這聽起來很有趣，也是我以前從未認(rèn)真考慮過的事。我立馬來勁了，想要知道多達(dá)10個(gè)1kΩ電阻在各種串聯(lián)/并聯(lián)組合下的值。但做到5個(gè)電阻時(shí)，可能的排列組合就變得讓人難以應(yīng)付了。

那么n個(gè)1kΩ電阻究竟能得出多少個(gè)排列組合呢？

首先最明顯的排列是全部串聯(lián)和全部并聯(lián)。當(dāng)n=2時(shí)，可能的排列是兩個(gè)值（圖1）。

兩個(gè)電阻，兩種組合。這個(gè)很簡(jiǎn)單。

當(dāng)n=3時(shí)，有4種可能的排列?？焖儆?jì)算技巧——當(dāng)所有電阻都是相同值時(shí)，它們的等效電阻是它們的值除以并聯(lián)電阻的數(shù)量。將電路分解為小的串聯(lián)/并聯(lián)電阻對(duì)，然后一步步算出最終的等效電阻值。成對(duì)的使用能使并聯(lián)計(jì)算容易得多（圖2）。

3個(gè)電阻，4種組合。

當(dāng)n=4時(shí)，排列數(shù)字很快增加到9種（圖3）。我想我已經(jīng)覆蓋了所有變化，但如果有人發(fā)現(xiàn)還有遺漏的，請(qǐng)通過評(píng)論讓我知道。

4個(gè)電阻產(chǎn)生9種組合。

最右邊的組合結(jié)果是1000Ω，與單個(gè)電阻相同。這種組合的優(yōu)勢(shì)是通過使用4個(gè)電阻，散熱能力增加了4倍，耐壓能力則翻倍。當(dāng)你想要全部使用貼片電阻時(shí)，這是一個(gè)很有用的技巧。

當(dāng)電阻數(shù)量增加到n=5時(shí)，排列數(shù)量增加到23，假設(shè)我沒有忽略任何可能性的話。同樣，如果你發(fā)現(xiàn)還有新的排列，請(qǐng)?jiān)谠u(píng)論中告訴我。

5個(gè)電阻我想出了23種組合。還有其它組合嗎？

這時(shí)我認(rèn)識(shí)到，我是沒有希望達(dá)到我設(shè)定的10個(gè)電阻這個(gè)目標(biāo)了，即使達(dá)到也沒有足夠的紙讓我把各種組合全部畫出來。也許一些數(shù)學(xué)奇才有辦法計(jì)算出n個(gè)電阻時(shí)可能的排列組合數(shù)量，那就請(qǐng)他不吝賜教了。

你能給出任意數(shù)量的串聯(lián)/并聯(lián)電阻時(shí)的排列數(shù)量公式嗎？