精通信號處理設(shè)計小Tips（5）：三個應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)概念

　　本文作者maxfiner，畢業(yè)于西安電子科技大學(xué)，擁有信號與信息處理專業(yè)碩士學(xué)位。maxfiner曾供職于華為通信技 術(shù)公司無線通信部門，擁有多年的工程項目研發(fā)經(jīng)驗，同時兼?zhèn)渌惴ɡ碚撗芯浚抡骝炞C，以及對應(yīng)的硬件設(shè)計實現(xiàn)能力；具備通信物理層開發(fā)設(shè)計各個方面的實戰(zhàn) 經(jīng)驗...

　　從事信號處理相關(guān)工作，不可避免的用到一些數(shù)學(xué)知識。通常來說，用到啥，就回頭去看啥，或者說，缺啥補啥。有一些數(shù)學(xué)知識，是頻繁和反復(fù)用到的，因此有必要把它們匯總下。數(shù)學(xué)方面的東西，只看數(shù)學(xué)書籍的話，一般情況下，是相當乏味和枯燥的，但是和實際應(yīng)用結(jié)合起來，就發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力、力量和威力還是很強大的。和實際問題結(jié)合起來，數(shù)學(xué)也就變得有趣起來。在這里，暫時舉出三例，后續(xù)繼續(xù)豐富和完善。

　　一 復(fù)數(shù)的概念

　　復(fù)數(shù)可以說是我們從小到大一路走來，最后學(xué)到的一種數(shù)了。從歷史的角度看，它也是最后引入的幾個數(shù)之一，直到最近幾百年才開始引入并推廣應(yīng)用。它是為了解方程的方便而引入的，而且一開始還一直不被人們接受，這些人中包括很多大數(shù)學(xué)家。可見一個新的事物，一個新的概念，一種新的思想，要想被人接受是很困難的，很漫長的一件事情。但是，隨著時間的發(fā)展，由于它的獨特價值，最終被人接受并廣泛應(yīng)用。復(fù)數(shù)除了解方程之外，在工程領(lǐng)域，最能體現(xiàn)復(fù)數(shù)應(yīng)用價值的是兩個方向，一個是量子力學(xué)，一個就是電磁學(xué)。

　　復(fù)數(shù)的概念在電子工程，電磁場與電磁波等領(lǐng)域應(yīng)用極為廣泛，在信號處理方向更是如此。不論是信號處理的基礎(chǔ)理論——傅里葉變換，還是信號的基帶表示和帶通表示，解析表示，不論是頻譜的分析，還是討論信號的時移和相位，都離不開復(fù)數(shù)這個有力的工具的支撐。

　　相關(guān)概念：

　　應(yīng)用舉例簡述如下，在相關(guān)章節(jié)會分別進行更詳細的介紹。

　　BPSK，QPSK，16QAM等調(diào)制方式，信號星座可看做信號正交分量和同相分量的復(fù)數(shù)域的表示。

　　發(fā)射機的EVM測試，即根據(jù)星座點在復(fù)平面上的位置進行計算，計算的目標就是實際測得的星座點和參考星座點之間的距離，或者說就是復(fù)平面上兩個點的距離。

　　接收機存在某個頻率偏移時，星座圖上的星座點會以恒定速率旋轉(zhuǎn)，圍繞原點做勻速圓周運動，運動角速度和頻率偏移大小成正比。

　　電路的阻抗分析、諧振分析均以復(fù)數(shù)運算為基礎(chǔ)。

　　實信號的頻譜是共軛對稱的。頻譜的鏡像可用共軛成分來表示。

　　安捷倫和羅德施瓦茨都有矢量信號發(fā)生器，矢量信號分析儀，這些信號都是復(fù)數(shù)形式的信號。

　　信道估計算法，本質(zhì)上可以看做是復(fù)數(shù)的除法運算。

　　發(fā)射機的正交上變頻，接收機的正交下變頻，本質(zhì)上可以看做復(fù)數(shù)的乘法運算。

　　接收機頻偏的補償，本質(zhì)上可以看做復(fù)數(shù)的乘法運算。

　　發(fā)射機鏈路和接收機鏈路上各個節(jié)點的功率的計算，為復(fù)數(shù)的模平方的計算，在信號功率監(jiān)測，模擬自動增益控制（AAGC），數(shù)字自動增益控制（DAGC）等領(lǐng)域中有廣泛應(yīng)用。

　　二 信號的伸縮和平移

　　信號的伸縮和平移，尤其是平移，在信號處理的理論和實踐中有著廣泛的應(yīng)用。信號時域的平移和頻域的相移之間的關(guān)系，是非常奇妙而又應(yīng)用廣泛的一對關(guān)系。信號的伸縮和平移，從數(shù)學(xué)上來說，就是函數(shù)的伸縮和平移的應(yīng)用，這是高中初等數(shù)學(xué)的范疇，應(yīng)該是非常一般的，即使很久不用數(shù)學(xué)也不會忘記的一個概念和方法。但是因為它如此的重要，因此有必要單獨拿出來進行一個小小的總結(jié)，從而更好的利用這一有效工具去解決各種信號處理相關(guān)的問題。這一章節(jié)專門討論和總結(jié)平移。伸縮的討論等到真正用到它時（比如信號的插值和抽?。┰龠M行相應(yīng)描述。

　　信號的平移，最簡單的是記住四個字——“加左減右”。即移動量是正值，則整個信號波形向左移動，即向x坐標軸的負軸方向移動。移動量是負值，則整個信號波形向右移動，即向x坐標軸的正軸方向移動。雖然想象左右比想象上下的心理反應(yīng)時間要慢些，但多多體會就會熟記于心的。

　　舉個例子，比如單位采樣信號為不妨想一下，和單位沖擊信號有何區(qū)別呢？），如下圖所示：

　　若是信號形式為則整個波形向左移動5個采樣點，如下圖所示：

　　對于一般的一個信號可以根據(jù)單位采樣信號的平移性質(zhì)，表示成如下形式：

　　也就是說，任何一個離散信號，都可以表示成單位采樣信號的線性疊加形式。從信號與系統(tǒng)的角度來說，這是系統(tǒng)線性疊加的體現(xiàn)。這里的系統(tǒng)，當然是線性時不變系統(tǒng)，滿足齊次性，疊加性和時不變性，這是我們所有關(guān)于信號與系統(tǒng)的分析的前提。

　　三 和差化積公式

　　積化和差公式最普遍、最頻繁的應(yīng)用就是信號的上下變頻處理。后續(xù)我們結(jié)合信號的基帶表示和帶通表示的時候會進行更細致的描述。

　　若是一下子記不住這四個公式，可以先理解第三個，然后依次類推。雖然說數(shù)學(xué)需要理解，但是實踐證明，為了更好和更高效的應(yīng)用，一些極其常用的概念和公式還是記牢的好。

　　比如諸如積化和差之類的三角公式，比如香農(nóng)公式，比如2的N次方（2N16）。

下期開講——精通信號處理設(shè)計小TIps（6）：卷積是怎么得到的？敬請關(guān)注！

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