低能電子對(duì)單面介質(zhì)加載微波部件微放電的影響*

*基金項(xiàng)目：湖南省自然科學(xué)基金（2017JJ3314）

0   引言

微放電效應(yīng)（也被稱(chēng)為二次電子倍增效應(yīng)）是在真空條件下運(yùn)行在微波和毫米波子系統(tǒng)中，在微波設(shè)備和微波元件中經(jīng)常能觀察到的一種高功率共振電子放電，存在于各種不同的高功率微波場(chǎng)景中，如衛(wèi)星通信有效載荷的無(wú)源部件、行波管、高功率射頻窗口以及粒子加速器等^[1]。

在許多現(xiàn)代射頻系統(tǒng)中，二次電子倍增效應(yīng)是在真空或接近真空條件下工作的一個(gè)重要失效機(jī)制^[2]。這種現(xiàn)象表現(xiàn)為自由電子在真空器件內(nèi)的雪崩式增長(zhǎng)，這是在射頻電場(chǎng)的作用下，被加速的高能電子撞擊器件表面時(shí)，從器件表面激發(fā)出新的二次電子發(fā)射引起的。在不同的射頻系統(tǒng)中，如星載通信、射頻加速器和高功率微波發(fā)生器，二次電子倍增擊穿問(wèn)題變得越來(lái)越嚴(yán)重，這是為了滿足高性能的需求，微波功率不斷增加，并且盡可能減小制造微波裝置的尺寸所導(dǎo)致的。由于二次電子倍增放電可以顯著限制甚至損壞射頻系統(tǒng)，所以研究射頻系統(tǒng)中的二次電子倍增放電，對(duì)減少射頻系統(tǒng)的損壞有至關(guān)重要的作用^[3-6]。這項(xiàng)工作將對(duì)快速發(fā)展的二次電子倍增效應(yīng)的研究做出重大貢獻(xiàn)，將使研究人員能夠更好地設(shè)計(jì)射頻系統(tǒng)，同時(shí)，也使得二次電子倍增效應(yīng)成為了空間研究領(lǐng)域重點(diǎn)關(guān)注的熱點(diǎn)課題之一^[7]。在過(guò)去幾十年中，存在于金屬表面和介質(zhì)表面之間的二次電子倍增效應(yīng)已經(jīng)引起了極大的關(guān)注。介質(zhì)表面的二次電子倍增與金屬表面不同，在射頻電場(chǎng)的作用下，二次電子不會(huì)在金屬表面積累電荷，但會(huì)在介質(zhì)表面積累相應(yīng)的正電荷或負(fù)電荷^[8]，這些積累在介質(zhì)表面的電荷會(huì)形成一個(gè)靜電場(chǎng)，影響電子的運(yùn)動(dòng)^[9]。

本文將通過(guò)對(duì)比經(jīng)典的Vaughan 模型和Rice 模型在單面介質(zhì)加載微波部件中二次電子倍增效應(yīng)的差異，以獲得低能電子對(duì)單面介質(zhì)加載微波部件中微放電的影響。

1   模型介紹

圖1 展示了在下表面加載了介質(zhì)的金屬平行板波導(dǎo)的示意圖，其中金屬平行板的長(zhǎng)度和間距分別為a 和d。加載的介質(zhì)層厚度為h，介質(zhì)表面和金屬表面之間的間隙為H = d-h。在模型中設(shè)置了余弦變化的射頻電場(chǎng)（其中，E0 的取值為2×10⁶ V/m），工作頻率為f（對(duì)應(yīng)不同的諧振階數(shù)時(shí)，f 的取值有所不同），其對(duì)應(yīng)的仿真時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為RF 周期的1/1 000，在每個(gè)射頻周期內(nèi)電子運(yùn)動(dòng)1 000 個(gè)時(shí)間步，以保證仿真的精確度。設(shè)置初始電子的數(shù)目為N₀ = 1 000，在前500 個(gè)時(shí)間步內(nèi)，每個(gè)時(shí)間步從介質(zhì)表面發(fā)射出2 個(gè)初始電子。每個(gè)初始電子的權(quán)重都設(shè)置為1，為了更加高效地進(jìn)行計(jì)算，將電子數(shù)目的閾值上限設(shè)置為N_th = 1×10⁶。當(dāng)電子的數(shù)目超過(guò)N_th 時(shí)，會(huì)在下一步的模擬中將電子的數(shù)目隨機(jī)減少一半，同時(shí)使剩余電子的電荷和質(zhì)量增加1 倍。在相反的情況下，當(dāng)電子數(shù)目少于Nth 的10% 時(shí)，會(huì)在下一步的模擬中將每個(gè)電子分成2 個(gè)電子，并將電子的電荷和質(zhì)量減半^[10]。以這樣的方法進(jìn)行計(jì)算，既保證了計(jì)算可行性，同時(shí)又保證了參與計(jì)算的電子數(shù)目。當(dāng)激發(fā)出新的二次電子時(shí)，等效的正電荷會(huì)在介質(zhì)表面積聚，形成非均勻分布的靜電場(chǎng)。隨著正電荷的不斷積聚，靜電場(chǎng)的強(qiáng)度亦隨之增強(qiáng)，雙面倍增可能演變?yōu)閱蚊姹对霾⒆晕揖S持或熄滅，這容易受到許多其他因素的影響。當(dāng)單面倍增發(fā)生時(shí)，電子云將在每個(gè)整數(shù)射頻周期內(nèi)沖擊介質(zhì)表面。

設(shè)置材料的最大二次電子產(chǎn)額系數(shù)為δmax0 = 2.36，與之對(duì)應(yīng)的入射能量為Wmax0 = 300 eV^[11]，兩種模型的SEY 隨入射能量的變化如圖2 所示。從圖中可知，經(jīng)典的Vaughan 模型將能量低于12.5 eV 的電子視為無(wú)效電子，沒(méi)有考慮其與金屬或介質(zhì)表面的碰撞，而Rice模型則將其考慮在內(nèi)并視為彈性散射電子^[12]。經(jīng)典的Vaughan 二次電子發(fā)射模型如下所示：

Rice 模型對(duì)經(jīng)典的Vaughan 模型進(jìn)行了修改，其模型如下所示：

其中，v = (Wim-Wth) / (Wmax-Wth)，參數(shù)δ_max、W_max 和W_th 由材料和表面處理所決定。

初始電子從介質(zhì)表面被隨機(jī)發(fā)射出去，初始電子的發(fā)射能量W₀ 滿足Maxwell-Boltzmann 分布，如式（3）所示：

初始電子的發(fā)射角度服從正弦分布，如式（4）所示：

圖1 單面介質(zhì)加載平行板波導(dǎo)模型

圖2 SEY曲線

2   靜電場(chǎng)的計(jì)算

當(dāng)電子與介質(zhì)表面發(fā)生碰撞時(shí)，會(huì)在介質(zhì)表面積聚電荷，然而電子與金屬表面碰撞則不會(huì)在金屬表面積聚電荷，兩者之間存在著差異。當(dāng)介質(zhì)表面的電荷積聚到一定數(shù)量時(shí)，就會(huì)形成一個(gè)非均勻分布的靜電場(chǎng)來(lái)影響電子的運(yùn)動(dòng)。所以，模型中靜電場(chǎng)的精確求解，對(duì)后續(xù)電子的運(yùn)動(dòng)具有重要的影響。本文采用數(shù)值的方法對(duì)介質(zhì)表面由電荷積聚所產(chǎn)生的靜電場(chǎng)進(jìn)行求解，設(shè)置電荷位于介質(zhì)表面的r（x，h，0）處，靜電場(chǎng)的求解如式（5）所示：

為了求解模型中靜電場(chǎng)的分布，我們應(yīng)該先對(duì)表面電荷積聚所產(chǎn)生的電勢(shì)求解，利用疊加原理，通過(guò)增加每個(gè)電荷各自的貢獻(xiàn)，就可以得到介質(zhì)表面的電荷在波導(dǎo)中產(chǎn)生的電勢(shì)分布，其表達(dá)式如下所示：

其中，G 為單位電荷形成電勢(shì)的格林函數(shù)，求解出電勢(shì)的格林函數(shù)就能求解得到電勢(shì)。G的展開(kāi)如式（7）所示：

為了方便計(jì)算，在本文中假設(shè)點(diǎn)電荷沉積的位置位于介質(zhì)表面和真空區(qū)域的交界處來(lái)進(jìn)行計(jì)算。所考慮問(wèn)題的幾何特征和線性性質(zhì)使得狄拉克函數(shù)的展開(kāi)可以如式（8）（9）所示：

其中，kxn = nπ/a，kz 是沿著z 方向的傅里葉變換。

其中，是頻域中的格林函數(shù)。結(jié)合式（7）就可以求解出為：

把代入到式（5）中，就能求解出介質(zhì)表面的電荷在模型中的電勢(shì)分布，從而求解出模型中靜電場(chǎng)的空間分布。

為了驗(yàn)證所求出的靜電場(chǎng)在模型中的分布是否正確，下面在介質(zhì)表面積聚固定數(shù)量的正電荷來(lái)進(jìn)行模擬。令介質(zhì)表面每個(gè)位置都均勻分布了1×10⁷ 個(gè)正電荷，在模型中產(chǎn)生的靜電場(chǎng)分布如圖3 所示，圖中箭頭的方向代表靜電場(chǎng)的方向，箭頭的長(zhǎng)度代表靜電場(chǎng)的強(qiáng)度。從圖中可以看出，靜電場(chǎng)沿著介質(zhì)表面呈現(xiàn)均勻分布，隨著與介質(zhì)表面之間距離的增加，靜電場(chǎng)的強(qiáng)度呈現(xiàn)逐漸減弱的趨勢(shì)。取x = 5 mm 處的靜電場(chǎng)進(jìn)行分析，靜電場(chǎng)的強(qiáng)度隨介質(zhì)表面距離的變化，如圖4 所示，此時(shí)，靜電場(chǎng)最強(qiáng)的位置為介質(zhì)表面達(dá)到了Edc = 1.37×10⁵，在金屬表面的靜電場(chǎng)的強(qiáng)度最弱。模擬的結(jié)果和理論的結(jié)果保持一致，驗(yàn)證我們理論的可行性。

圖3 靜電場(chǎng)在模型中的分布

圖4 靜電場(chǎng)的強(qiáng)度隨介質(zhì)表面距離的變化

3   電子的動(dòng)力學(xué)方程

我們通過(guò)忽略RF 磁場(chǎng)簡(jiǎn)化了模型，可以通過(guò)在每個(gè)時(shí)間步中數(shù)值求解洛倫茲方程來(lái)計(jì)算電子的軌跡。在射頻電場(chǎng)ERF 的作用下，電子在金屬與介質(zhì)表面之間周期性地運(yùn)動(dòng)，當(dāng)與介質(zhì)表面碰撞時(shí)，在激發(fā)新二次電子的同時(shí)會(huì)積聚相應(yīng)的電荷，形成靜電場(chǎng)從而影響電子的運(yùn)動(dòng)。模型中電子的動(dòng)力學(xué)方程如式（12）~（19）所示：

設(shè)置初始條件，初始時(shí)刻t=0 時(shí)的速度為：

沿著x，y 方向的速度分別為：

沿著x，y 方向的位移分別為：

4   實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

平行板波導(dǎo)模型的長(zhǎng)度為a = 10 mm，間隙距離為d = 1 mm，介質(zhì)層的厚度為h = 0.05 mm。因此，金屬與介質(zhì)表面之間的間距為H = 0.95 mm。設(shè)置RF 電壓VRF = 1.9 kV，工作頻率f = 6 GHz，在該參數(shù)下為一階的諧振階數(shù)。兩種模型下，電子數(shù)目隨時(shí)間的變化如圖5 所示，通過(guò)對(duì)比電子數(shù)目Ne 隨時(shí)間的變化可知，Rice 模型的二次電子倍增速率要大于經(jīng)典的Vaughan模型， 并且在達(dá)到短暫的飽和時(shí)電子數(shù)目達(dá)到了Ne_R = 4×108，比經(jīng)典的Vaughan 模型達(dá)到飽和時(shí)的電子數(shù)目Ne_V = 6×106 要更多， 兩種模型在達(dá)到短暫飽和之后的趨勢(shì)也有所不同，Rice 模型在達(dá)到飽和之后，Ne_R 仍然以極小的速度繼續(xù)增長(zhǎng)，但是經(jīng)典的Vaughan 模型在達(dá)到飽和之后，Ne_V 呈現(xiàn)下降的趨勢(shì)。與之對(duì)應(yīng)的靜電場(chǎng)Edc 隨時(shí)間的變化如圖6 所示，兩種模型在達(dá)到飽和之后Edc 都達(dá)到了飽和并保持穩(wěn)定，但Rice 模型達(dá)到飽和時(shí)的靜電場(chǎng)為Edc_R = 4×105，而經(jīng)典的Vaughan 模型在達(dá)到飽和時(shí)的靜電場(chǎng)為Edc_V = 2.3×105。圖7 展示了兩種模型在電子數(shù)目達(dá)到飽和之后，電子相的空間分布。從圖7（a）中可以看出，在達(dá)到飽和時(shí)，經(jīng)典的Vaughan 模型的電子在波導(dǎo)中呈現(xiàn)均勻分布的狀態(tài)，而從圖7（b）中可知，在達(dá)到飽和時(shí)，Rice 模型的電子主要分布在波導(dǎo)的介質(zhì)表面附近，隨著與介質(zhì)表面距離的增加，電子數(shù)目呈現(xiàn)減少的趨勢(shì)。圖8 和圖9 分別展示了兩個(gè)模型下平均SEY 和平均電子能量隨時(shí)間的變化，從圖8（a）可知，經(jīng)典的Vaughan 模型在達(dá)到飽和之后平均SEY<1，入射電子大于激發(fā)的二次電子，電子數(shù)目呈下降趨勢(shì)，與之對(duì)應(yīng)平均電子能量如圖9（a）所示，穩(wěn)定在Wave = 21 eV，Rice 模型在達(dá)到飽和之后平均SEY > 1，入射電子大于激發(fā)的二次電子，電子數(shù)目呈現(xiàn)緩慢的增長(zhǎng)，如圖8（b）所示，平均電子能量穩(wěn)定在Wave = 15 eV，如圖9（b）所示。

圖5 電子數(shù)目隨時(shí)間的變化

圖6 靜電場(chǎng)隨時(shí)間的變化

圖7 電子的相空間分布，（a）為Vaughan模型，（b）為Rice模型

圖8 平均SEY隨時(shí)間的變化，（a）為Vaughan模型，（b）為Rice模型

圖9 平均電子能量隨時(shí)間的變化，（a）為Vaughan模型，（b）為Rice模型

4   結(jié)束語(yǔ)

本文分別對(duì)經(jīng)典的Vaughan 模型和Rice 模型在單面介質(zhì)加載微波部件中的微放電效應(yīng)進(jìn)行了模擬仿真。研究結(jié)果表明，Rice 模型在電子的增長(zhǎng)速率、達(dá)到飽和時(shí)電子的數(shù)目和靜電場(chǎng)的強(qiáng)度都要高于經(jīng)典的Vaughan模型，考慮低能電子的二次電子發(fā)射模型更適合用于研究微波設(shè)備的微放電效應(yīng)。

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（本文來(lái)源于《電子產(chǎn)品世界》雜志2021年10月期）