深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（DNN）模型與前向傳播算法

　　深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Deep Neural Networks，以下簡(jiǎn)稱(chēng)DNN）是深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而要理解DNN，首先我們要理解DNN模型，下面我們就對(duì)DNN的模型與前向傳播算法做一個(gè)總結(jié)。

　　1.從感知機(jī)到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

　　在感知機(jī)原理小結(jié)中，我們介紹過(guò)感知機(jī)的模型，它是一個(gè)有若干輸入和一個(gè)輸出的模型，如下圖:

　　輸出和輸入之間學(xué)習(xí)到一個(gè)線(xiàn)性關(guān)系，得到中間輸出結(jié)果：

　　z=∑i=1mwixi+bz=∑i=1mwixi+b

　　接著是一個(gè)神經(jīng)元激活函數(shù):

　　sign(z)={?11z<0z≥0sign(z)={?1z<01z≥0

　　從而得到我們想要的輸出結(jié)果1或者-1。

　　這個(gè)模型只能用于二元分類(lèi)，且無(wú)法學(xué)習(xí)比較復(fù)雜的非線(xiàn)性模型，因此在工業(yè)界無(wú)法使用。

　　而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)則在感知機(jī)的模型上做了擴(kuò)展，總結(jié)下主要有三點(diǎn)：

　　1）加入了隱藏層，隱藏層可以有多層，增強(qiáng)模型的表達(dá)能力，如下圖實(shí)例，當(dāng)然增加了這么多隱藏層模型的復(fù)雜度也增加了好多。

　　2）輸出層的神經(jīng)元也可以不止一個(gè)輸出，可以有多個(gè)輸出，這樣模型可以靈活的應(yīng)用于分類(lèi)回歸，以及其他的機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域比如降維和聚類(lèi)等。多個(gè)神經(jīng)元輸出的輸出層對(duì)應(yīng)的一個(gè)實(shí)例如下圖，輸出層現(xiàn)在有4個(gè)神經(jīng)元了。

　　3）對(duì)激活函數(shù)做擴(kuò)展，感知機(jī)的激活函數(shù)是sign(z)sign(z),雖然簡(jiǎn)單但是處理能力有限，因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中一般使用的其他的激活函數(shù)，比如我們?cè)谶壿嫽貧w里面使用過(guò)的Sigmoid函數(shù)，即：

　　f(z)=11+e?zf(z)=11+e?z

　　還有后來(lái)出現(xiàn)的tanx,softmax,和ReLU等。通過(guò)使用不同的激活函數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的表達(dá)能力進(jìn)一步增強(qiáng)。對(duì)于各種常用的激活函數(shù)，我們?cè)诤竺嬖賹?zhuān)門(mén)講。

　　2.DNN的基本結(jié)構(gòu)

　　上一節(jié)我們了解了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基于感知機(jī)的擴(kuò)展，而DNN可以理解為有很多隱藏層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。這個(gè)很多其實(shí)也沒(méi)有什么度量標(biāo)準(zhǔn),多層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)DNN其實(shí)也是指的一個(gè)東西，當(dāng)然，DNN有時(shí)也叫做多層感知機(jī)（Multi-Layer perceptron,MLP）,名字實(shí)在是多。后面我們講到的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)都默認(rèn)為DNN。

　　從DNN按不同層的位置劃分，DNN內(nèi)部的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層可以分為三類(lèi)，輸入層，隱藏層和輸出層,如下圖示例，一般來(lái)說(shuō)第一層是輸入層，最后一層是輸出層，而中間的層數(shù)都是隱藏層。

　　層與層之間是全連接的，也就是說(shuō)，第i層的任意一個(gè)神經(jīng)元一定與第i+1層的任意一個(gè)神經(jīng)元相連。雖然DNN看起來(lái)很復(fù)雜，但是從小的局部模型來(lái)說(shuō)，還是和感知機(jī)一樣，即一個(gè)線(xiàn)性關(guān)系z(mì)=∑wixi+bz=∑wixi+b加上一個(gè)激活函數(shù)σ(z)σ(z)。

　　由于DNN層數(shù)多，則我們的線(xiàn)性關(guān)系系數(shù)ww和偏倚bb的數(shù)量也就是很多了。具體的參數(shù)在DNN是如何定義的呢？

　　首先我們來(lái)看看線(xiàn)性關(guān)系系數(shù)ww的定義。以下圖一個(gè)三層的DNN為例，第二層的第4個(gè)神經(jīng)元到第三層的第2個(gè)神經(jīng)元的線(xiàn)性系數(shù)定義為w324w243。上標(biāo)3代表線(xiàn)性系數(shù)ww所在的層數(shù)，而下標(biāo)對(duì)應(yīng)的是輸出的第三層索引2和輸入的第二層索引4。你也許會(huì)問(wèn)，為什么不是w342w423,而是w324w243呢？這主要是為了便于模型用于矩陣表示運(yùn)算，如果是w342w423而每次進(jìn)行矩陣運(yùn)算是wTx+bwTx+b，需要進(jìn)行轉(zhuǎn)置。將輸出的索引放在前面的話(huà)，則線(xiàn)性運(yùn)算不用轉(zhuǎn)置,即直接為wx+bwx+b。總結(jié)下，第l?1l?1層的第k個(gè)神經(jīng)元到第ll層的第j個(gè)神經(jīng)元的線(xiàn)性系數(shù)定義為wljkwjkl。注意，輸入層是沒(méi)有ww參數(shù)的。

　　再來(lái)看看偏倚bb的定義。還是以這個(gè)三層的DNN為例，第二層的第三個(gè)神經(jīng)元對(duì)應(yīng)的偏倚定義為b23b32。其中，上標(biāo)2代表所在的層數(shù)，下標(biāo)3代表偏倚所在的神經(jīng)元的索引。同樣的道理，第三個(gè)的第一個(gè)神經(jīng)元的偏倚應(yīng)該表示為b31b13。同樣的，輸入層是沒(méi)有偏倚參數(shù)bb的。

　　3.DNN前向傳播算法數(shù)學(xué)原理

　　在上一節(jié)，我們已經(jīng)介紹了DNN各層線(xiàn)性關(guān)系系數(shù)ww,偏倚bb的定義。假設(shè)我們選擇的激活函數(shù)是σ(z)σ(z)，隱藏層和輸出層的輸出值為aa，則對(duì)于下圖的三層DNN,利用和感知機(jī)一樣的思路，我們可以利用上一層的輸出計(jì)算下一層的輸出，也就是所謂的DNN前向傳播算法。

　　對(duì)于第二層的的輸出a21,a22,a23a12,a22,a32，我們有：

　　a21=σ(z21)=σ(w211x1+w212x2+w213x3+b21)a12=σ(z12)=σ(w112x1+w122x2+w132x3+b12)

　　a22=σ(z22)=σ(w221x1+w222x2+w223x3+b22)a22=σ(z22)=σ(w212x1+w222x2+w232x3+b22)

　　a23=σ(z23)=σ(w231x1+w232x2+w233x3+b23)a32=σ(z32)=σ(w312x1+w322x2+w332x3+b32)

　　對(duì)于第三層的的輸出a31a13，我們有：

　　a31=σ(z31)=σ(w311a21+w312a22+w313a23+b31)a13=σ(z13)=σ(w113a12+w123a22+w133a32+b13)

　　將上面的例子一般化，假設(shè)第l?1l?1層共有m個(gè)神經(jīng)元，則對(duì)于第ll層的第j個(gè)神經(jīng)元的輸出aljajl，我們有：

　　alj=σ(zlj)=σ(∑k=1mwljkal?1k+blj)ajl=σ(zjl)=σ(∑k=1mwjklakl?1+bjl)

　　其中，如果l=2l=2,則對(duì)于的a1kak1即為輸入層的xkxk。

　　從上面可以看出，使用代數(shù)法一個(gè)個(gè)的表示輸出比較復(fù)雜，而如果使用矩陣法則比較的簡(jiǎn)潔。假設(shè)第l?1l?1層共有m個(gè)神經(jīng)元，而第ll層共有n個(gè)神經(jīng)元，則第ll層的線(xiàn)性系數(shù)ww組成了一個(gè)n×mn×m的矩陣WlWl,第ll層的偏倚bb組成了一個(gè)n×1n×1的向量blbl,第l?1l?1層的的輸出aa組成了一個(gè)m×1m×1的向量al?1al?1，第ll層的的未激活前線(xiàn)性輸出zz組成了一個(gè)n×1n×1的向量zlzl,第ll層的的輸出aa組成了一個(gè)n×1n×1的向量alal。則用矩陣法表示，第l層的輸出為：

　　al=σ(zl)=σ(Wlal?1+bl)al=σ(zl)=σ(Wlal?1+bl)

　　這個(gè)表示方法簡(jiǎn)潔漂亮，后面我們的討論都會(huì)基于上面的這個(gè)矩陣法表示來(lái)。

　　4.DNN前向傳播算法

　　有了上一節(jié)的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，DNN的前向傳播算法也就不難了。所謂的DNN的前向傳播算法也就是利用我們的若干個(gè)權(quán)重系數(shù)矩陣WW,偏倚向量bb來(lái)和輸入值向量xx進(jìn)行一系列線(xiàn)性運(yùn)算和激活運(yùn)算，從輸入層開(kāi)始，一層層的向后計(jì)算，一直到運(yùn)算到輸出層，得到輸出結(jié)果為值。

　　輸入:總層數(shù)L，所有隱藏層和輸出層對(duì)應(yīng)的矩陣WW,偏倚向量bb，輸入值向量xx

　　輸出：輸出層的輸出aLaL

　　1）初始化a1=xa1=x

　　2)for l=2l=2 to LL,計(jì)算：

　　al=σ(zl)=σ(Wlal?1+bl)al=σ(zl)=σ(Wlal?1+bl)

　　最后的結(jié)果即為輸出aLaL。

　　5.DNN前向傳播算法小結(jié)

　　單獨(dú)看DNN前向傳播算法，似乎沒(méi)有什么大用處，而且這一大堆的矩陣WW,偏倚向量bb對(duì)應(yīng)的參數(shù)怎么獲得呢？怎么得到最優(yōu)的矩陣WW,偏倚向量bb呢？這個(gè)我們?cè)谥vDNN的反向傳播算法時(shí)再講。而理解反向傳播算法的前提就是理解DNN的模型與前向傳播算法。這也是我們這一篇先講的原因。

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　　參考資料：

　　1）Neural Networks and Deep Learning by By Michael Nielsen

　　2）Deep Learning,book by Ian Goodfellow,Yoshua Bengio,and Aaron Courville

　　3）UFLDL Tutorial