石英諧振器的數(shù)學(xué)描述

在壓電材料中，電流和電壓與彈性位移和應(yīng)力的耦合
{T} = [c] {S} - [e] {E}
{D} = [e] {S} + [∈] {E}
式中：
{T} = 應(yīng)力張量， [c] =彈性剛度矩陣，{S} =應(yīng)變張量， [e] =壓電矩陣
{E} = 電場(chǎng)矢量， {D} =電位移矢量， [∈] = 介電矩陣
對(duì)于線性壓電材料

式中：

石英的電彈性矩陣
除了各主斜線完全相易，其它各線連接
數(shù)值方程。
○表示●的負(fù)值
◎表示數(shù)值方程的兩倍
×表示1/2（C11－C12）
獨(dú)立的非零常數(shù)的數(shù)量取決于晶體的對(duì)
稱性。對(duì)于石英（三角晶系，32 中晶類），

有10 個(gè)獨(dú)立的線性常數(shù)：6 個(gè)彈性常數(shù)，2 個(gè)壓電常數(shù)和2 個(gè)介電常數(shù)。這些“常數(shù)”均與
溫度、應(yīng)力、坐標(biāo)系有關(guān)。
為了描述諧振器的性能，必須在晶片表面相當(dāng)?shù)碾姾蜋C(jī)械邊界條件下連續(xù)求解牛頓運(yùn)動(dòng)
定律和麥克斯韋微分方程*

這些方程很“凌亂”，對(duì)實(shí)際上可以實(shí)現(xiàn)的三維諧振器，決不能以閉合形式求解。幾乎
所有的理論文章均采用近似值。
某些最重要的諧振器現(xiàn)象（如加速度靈敏度）是由于非線性效應(yīng)引起的。石英具有許多
高階常數(shù)，例如14 個(gè)三階彈性常數(shù)和23 個(gè)四階彈性常數(shù)，以及16 個(gè)三階壓電系數(shù)；非線
性方程很“凌亂”。
*磁場(chǎng)效應(yīng)一般可以忽略不計(jì)；石英是非磁性的，但磁場(chǎng)能夠影響安裝結(jié)構(gòu)和電極。