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石英諧振器的數(shù)學(xué)描述

作者: 時(shí)間:2011-08-15 來源:網(wǎng)絡(luò) 收藏

在壓電材料中,電流和電壓與彈性位移和應(yīng)力的耦合
{T} = [c] {S} - [e] {E}
{D} = [e] {S} + [∈] {E}
式中:
{T} = 應(yīng)力張量, [c] =彈性剛度矩陣,{S} =應(yīng)變張量, [e] =壓電矩陣
{E} = 電場矢量, {D} =電位移矢量, [∈] = 介電矩陣
對于線性壓電材料

式中:

石英的電彈性矩陣
除了各主斜線完全相易,其它各線連接
數(shù)值方程。
○表示●的負(fù)值
◎表示數(shù)值方程的兩倍
×表示1/2(C11-C12)
獨(dú)立的非零常數(shù)的數(shù)量取決于晶體的對
稱性。對于石英(三角晶系,32 中晶類),

有10 個(gè)獨(dú)立的線性常數(shù):6 個(gè)彈性常數(shù),2 個(gè)壓電常數(shù)和2 個(gè)介電常數(shù)。這些“常數(shù)”均與
溫度、應(yīng)力、坐標(biāo)系有關(guān)。
為了描述諧振器的性能,必須在晶片表面相當(dāng)?shù)碾姾蜋C(jī)械邊界條件下連續(xù)求解牛頓運(yùn)動(dòng)
定律和麥克斯韋微分方程*

這些方程很“凌亂”,對實(shí)際上可以實(shí)現(xiàn)的三維諧振器,決不能以閉合形式求解。幾乎
所有的理論文章均采用近似值。
某些最重要的諧振器現(xiàn)象(如加速度靈敏度)是由于非線性效應(yīng)引起的。石英具有許多
高階常數(shù),例如14 個(gè)三階彈性常數(shù)和23 個(gè)四階彈性常數(shù),以及16 個(gè)三階壓電系數(shù);非線
性方程很“凌亂”。
*磁場效應(yīng)一般可以忽略不計(jì);石英是非磁性的,但磁場能夠影響安裝結(jié)構(gòu)和電極。



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